（可编）初等数学研究答案.docx

当a>b时，由乘法单调性知ac>bc.当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与acbc矛 盾则a>b4. 解：(1 ) 3+1=3=43 + 2 = 3 + 1=4 = 53 + 3 = 3 + 2=5 = 6(2) 3-1 = 3 3・2 = 3・1 + 3 = 6 3・3 = 3・2 = 3・2 + 3 = 95 证明：当 n二 1 时，4n+15n-l = 18S9W倍数假设当n=k时4, +典-1是9的倍数则 当 n二k+1 时4k+, +15(k + l)-l = 4(4k +151; — 1)一451< + 18是90勺倍数则对VneN, 4n+15n-l是9的倍数.6证明：当n = l时,十一 3兰爻=-3;则当n = l时成立l-2n假设当n=k时成立，即(Il + 2k(2k— I)：当「= 1<+1 时,(T(UJ (2k+ 1)2)l + 2k3 + 2k l + 2(k + l)l-2k(2k+ 1)l + 2k l-2(k + l)当「= 1< + 1时成立。

7 解：(1) •: a*p = 3,矽=一1,(2) va-a"1 =3,=3(3) Jj n=l 时，A、= a「= ]0 是 10(旳倍数53假设当n=k时a火应是1O0勺倍数则当n=k+l时则对VncN, A川是10的倍数.•.,alb, a I c： /. r e Z 使得 b = aq c = ar,则 kb=kaq.lc = lar：9证明：假设存在b ,使得a <得，3k e N,使彳豹=a + k.右k = l,贝ljb =a +1；右 k > L 贝 ljb = a + k>a + l：即 b > a + 1：因此bva + 1是不可能的10i5a = —. b = —> c =— (P], p?, p5 € Zt q「q2> q3 e Z*)； Pi P2 Pj则a(bc)=(业.史)也=必金=四业1 =堕(也.％ =的0Pl P2 Pl ( P1P2> Pl Pi(P?P3) Pl P2 P311答：(1)加法，乘法，减法；构成数环(2)乘法,除法；(3)加法,乘法;(4)加法,乘法;(5)加法，乘法，除法;(6)乘法；(7)加法,乘法,减法:构成数环(8)加法.乘法.减法:构成数环12证明：方法一.•・3〈罟=bl b2 b3 b”即a?b] >ajb2. anbj >&如3| + a2 H an31■=+a2 + - +an) b] — &(b] + b? + ・・ + bQ禺+b2 +…+如 b(bj + b2 + - +bn) b]VZL<71 b?p.an "p：aj < btq， a2 < b2q ,=Kqbiq + b2q+ - +baq则 b】P + b?p+ ・ +bnP < & +% + …+ Lb]+b.+ ・，+ bn bj + b叩 pv%i+ f

15 解：2汗一退題 2x3.1416 -1.7321 =4.5511、4.55116证明：方法一：n・.・s = ^m 是有理数，则其不包含x：cx + d口 c ax + b k (cx + d) + (a-kc) x + b-kd . a-kc h-kdcx+d cx+d cx+d cx+d.L a = kc, b = kd；即ad = tx?o=.• ad = be；令其为p,则d = —, c =—,代入 S =得， a b cx + ds = B = 4、=四为有理数cx + d Px +P Pb a方法二；=>・.・，=三三 是有理数，则3ni.ncZ.^^S = i^^ = -.;cx + d cx + d n贝i](ax + b)n = (ex + d)m, 即(an - cm)x = dm - bn.又由于a, b, c, d eQ\x是无理数则，an = me dm = bn7 c ax + b (ax + b)d adx + bd „<=•/ S = = = r ； 乂 ad = be.cx + d (ex +d)d cdx + cL(ax + b)d则s = 2cx + d (ex +d)dadx + bcl b(cx +d) /?cdx + d2 d(cx + d) d.•.S = B cx + d是冇理数17 证明：a + >/c = b +、0」.u-b = yfd 一& = —^L_VJ+Vc则若a = b时,d =Co 而+据=兰得项=虹+槌;=a-b abJd - Vc即无理数等于有理数矛盾，则d=c18 解：(1) 2 3 4 n+1 2 3 4n + 2 n 2 >0；并且场ts时并且Z睥E•・・此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.2 TOn + 1 n + 1 n +1(2) v0<0<0<-<0< •••；-> ->->••> > •••2 3 4 n + l>0;并且当n->s时-一0 =二_一0n + I n + 1并且一_0 =—-n + 1 n + 1 此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0.(3) \ 1<-<-< <^^< >1 >2 4 6 2n并且1_爻二！ = _!_>0；并且当n—oo时1-爻二！ = _LtO 2n 2n 2n 2n此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1. 19. (1) (x)答：負数集与其平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应；(2) (x)答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共辄复数(3) (x)答：共轴虚数的正整数次幕仍是共钮复数；(4) (X)答：一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.20证明:当n = 3k时,( ] + VJi 3k 3k 2 2当 n = 3k + l 时,(T +心产1 + (土匝)瞄=_].2 2当 n = 3k + 20 寸,(-1 + 丙产♦? +( 土匝)33 =_].2 2 21 解：Z=1+(^-—!-)7 = l + (cos—+ isiii —)7 =1+ (cos—+ isin—)=1 - —- —i2 6 6 6 6 2 2 则IZI=J(l-^-)2+-!-=V2-V3= —：则6> = 2^-arctan (JJ + 2). V 2 4 2 222 解：・.・lzl=l, . •.令z = cosa + isina,则z2 -z + 1 = 2cos2tz一coscz + (2cososincr • sina)iR!) u=l z2 -z +11= >/4cos2(7 -4coscr +1 =当cosa = -Btumax = 3：当coscr = -时=0.23.解方程(z + l)n =(z-l)% (n>LneN).解：由于(Z + l)n=(Z—I)**,则(a)"=l,即7 — 1z + 1 2*..2k^ ,, - ■ e ■、 =cos + ism ;(k = 0.L2,..・n・l);z-1 nn, 2k/r一 2k-r1 + COS + ism 则八火/..2成"严=0丄…n-1)厂 cc _ 丄 ic — — 1Xr I Unn24 解：(l)v = h(cy2)n =1, (/yn),r = 1;二口， ,切”是1的n个不同的n次方根(n次单位根):(2) l-n =(1-6>)( l + 65 + ty2 + + con }) = 0：而1 一刃工0".1 +少+切：+ + tyn 1 = 0；(3) Zn-l = (Z-l)( 1 + Z + Z2+……+Znl)=(z-l) (z-/Xz-