线性代数课件 05.特征值及特征向量.ppt

一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义注意（1） 是方阵（2）特征向量 是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一定义1设 是 阶方阵，若数 和 维非零列向量 ，使得成立，则称为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量是方阵 的一个特征值，定义定义满足设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量则称 为 A 的特征值，非零向量 称为 A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量把(1)改写为是 A 的特征值 使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.分析或已知所以齐次线性方程组有非零解或是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式定义2 已知 数，则为A的特征矩阵称为矩阵 的特征方程特征方程的根即为A的特征值由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。

因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行定理5.1.2推论推论设 n 阶方阵 特征值为, 则又定理5.1.3设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量证明(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x证性质1二、特征值与特征向量的性质设 是方阵 A 的特征值， 则 是 的特征值的特征值如果 A 可逆，则的特征值是是推广性质2： 矩阵 和 的特征值相同注意：特征值相同并不意味着特征向量相同4）定理5.1.1设3阶矩阵A的三个特征值为求解 A的特征值全不为零，故A可逆的三个特征值为计算得因此，例1是对应于 的特征向量，两边左乘A，证 设有一组数性质三注意１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．三、特征值与特征向量的求法求出 即为特征值;例2 求解 的特征值与特征向量.当时, 解同解方程组特征值为是时全部特征向量。

得基础解系为当时, 解同解方程组是时全部特征向量得基础解系为T解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解例3齐次线性方程组为得基础解系是对应于的全部特征向量.当 时，系数矩阵自由未知量:令 得基础解系:常数)是对应于 的全部特征向量.齐次线性方程组为当 时，证明A 的特征值只能取1或2.解特征值只能取0，例4、(1) 向量 满足 , 是 A 的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗 ? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.，A 有一个特征值为______.(4) ，A 有一个特征值为______.可逆, A 的特征值一定不等于______.回答问题(5) 一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(后面证明)(6) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值是___, 它对应的特征向量是______。

特征向量的个数=____是 的一个特征值，它对应的最大无关的一、单选题１．可逆矩阵Ａ与矩阵（ ）有相同的特征值．①ＡＴ； ② Ａ－１； ③ Ａ2； ④ Ａ＋Ｅ２．Ａ为n 阶方阵，则（ ）结论成立．① Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量也是Ａ－１属于λ－１的特征向量；② Ａ的特征向量既为方程(λＥ－Ａ)Ｘ＝０的全部解；③ 特征向量的线性组合仍是特征向量．④ Ａ与ＡＴ特征向量相同． 课堂练习一、单选题答案： １．①； ２．①; 3. ④３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（ ）① 有零特征值 ② 有二重特征值零③ 可能有也可能无零特征值 ④ 无零特征值二、填空题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则|A|＝（ ），Ａ－１的特征值为（ ），ＡＴ的特征值为（ ），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（ ）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ） ．３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ ） ．－６１，-1/2, 1/3１，－２，３． 4, 1, 1600, 1二、填空题4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（ ）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ ）。

1, -1, 3-72求矩阵 A，B 的特征值和特征向量解 （对矩阵A）备用题A 的特征值为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为（对矩阵B）B 的特征值为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为一、相似矩阵的定义及性质二、矩阵可对角化的条件（重点)第二节第二节 相似矩阵相似矩阵设A，B都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使则称 B 是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。

对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.定义特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的.性质 (1) 相似关系是一种等价关系;(2) A与B相似, 则r(A)=r(B);(3) A与B相似, 则 ;从而A与B有相同的特征值;(4) A与B相似, 则 ;(5) A与B相似, 则 ;(6) A与B相似, 则 与 相似; 其中(7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似例1设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|.解所以，A+3E的特征值： 4，5，…，n+3例2解例2(1) a+2+2=4+1+1|A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0|A-2E|=0(1) 与相似，求x与y和A的特征值2) 与相似，求a与b解 (1) A的特征值等于B的特征值为：例3(2)二、矩阵的对角化（利用相似变换把方阵对角化）定理5.2.1 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）有 个线性无关的特征向量。

推论1 若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,则 可对角化与对角阵相似）(逆命题不成立)注意：这时P和对角阵是如何构成的？下面讨论对角化的问题这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化定理定理n阶矩阵A可对角化的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的即设 是矩阵A的不同的特征值，又设 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则仍是线性无关的引理例4 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得得基础解系当 时，齐次线性方程组为当 时，齐次线性方程组为得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化得基础解系所以 不能化为对角矩阵.当 时，齐次线性方程组为设 的所有不同的特征值为则注： 就是 的重根数，称之为 的(代数)重数， 就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。

该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数个数至少有一个，至多不会超过它的重数如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量定理5.2.2推论推论 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数即 设互不同，此时则 A可对角化的充要条件是亦即： 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数简称简称: :几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量. .一、实对称矩阵的性质二、实对称矩阵可对角化的条件（重点）第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）一、实对称矩阵的性质性质1的意义因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量是实系数方程组注未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数性质2 实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。

是依次与之对应的特征向量证 设 是对称矩阵 的两个特征值，且则于是为实对称矩阵，即 正交例：A定理5.3.1 (实对称矩阵必可对角化)对于任一 阶实对称矩阵 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵一定存在 n 阶正交矩阵 使得推论： 为 阶实对称矩阵， 是 的 重特征值，即 的基础解系所含向量个数为则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 （则 。