转化思想解题经典.doc

转化思想 解题经典转化是中考命题中重点考查的一种数学思想方法，是创造性思维的一种重要形式.所谓转化，就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使复杂问题简单化，化难为易，使未知的问题已知化，最终达到解决问题的目的.转化在初中数学中应用十分广泛.例1 （2005盐城中考）已知，如图1所示，现有a×a、b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次），在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两种纸片之间既不重叠，也无缝隙，拼出的图形中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长与宽.图1aaabbbaaabbb图2分析：把化为，并把两因式分别作为矩形的长和宽即可拼出.答案不唯一，只要符合题意即可.如图2.例2 某片绿地的形状如图3所示，其中AB⊥BC，AD⊥CD，∠A=，AB=200米，CD=100米，求AD、BC的长（精确到1米，）.分析：先把四边形ABCD转化成直角三角形，再利用特殊角的三角函数值及解直角三角形的知识求出AD、BC的长.解：延长AD、BC交于点EABCED图3在Rt△ABE中，∠A=，∠B=，AB=200，∴AE===400， BE==400×=200.在Rt△CDE中，∠E=，∠CDE=，CD=100，∴CE=2CD=2×100=200， DE=CE=200×=100，∴AD==400-100227（米），BC==200-200146（米）.例3 （2005重庆中考）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC、于M、N、E、F，设a=，b=，解答下列问题：⑴当四边形ABCD是矩形时，如图4所示，请判断a与b的大小关系，并说明理由；⑵当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，如图5所示，⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶在⑵的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得=，若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由.ABCDEFPMN图5图4ABCDEFPMN分析：⑴当四边形ABCD是矩形时，a==S矩形PEAM，b==S矩形PFCN，把a与b的大小关系转化为面积之间的关系；⑵当四边形ABCD是平行四边形时，S四边形PEAM=，S四边形PNCF=，而=，类比⑴可得出相同的结论；⑶把图形面积之比转化为边长之比，用已知条件k来表示即可.解：⑴∵四边形ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD，∴四边形PEAM、PNCF也是矩形，∴a== S矩形PEAM，b== S矩形PFCN， 且△PMB≌△BFP, △PDE≌△DPN, △DAB≌△BCD,而S矩形PEAM=S△DAB- S△PMB- S△PDE，S矩形PNCF=S△BCD- S△BFP- S△DPN，∴S矩形PEAM= S矩形PNCF， 即a=b；⑵成立.∵四边形ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD，∴四边形PEAM、PNCF也是平行四边形， 仿⑴可得S四边形PEAM= S四边形PNCF，而S四边形PEAM=，S四边形PNCF=，又∵=， ∴=，即a=b；ABCDEFPMN图6⑶连接AP（如图6），设△PBM、△PBM、△PBM、△PBM的面积分别为S1、S2、S3、S4，则，，∴，，S2= S3，∴，S2= S3=k S4，∴==，∴=，整理，得 ， ∴，，∴存在实数或，使得=.1。