高等数学备课教案：第六章 定积分的应用 第五节 功水压力和引力.doc

第五节 功 水压力和引力分布图示 ★ 变力沿直线所做的功 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 水压力 ★ 例6 ★ 例7★ 引力 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5★ 返回内容要点 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力例题选讲变力沿直线所作的功例1(E01) 设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米?解 如图(见系统演示)，根据胡克定律，有当弹簧从10厘米拉长到15厘米时，它伸长量完为 5厘米＝0.05米.因有即故得于是可写出这样，弹簧从15厘米拉长到18厘米，所作的功为(焦).例2 (E02) 把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方, 那么电场对它的作用力的大小为 如图6-5-2所示，当这个单位正电荷 在电场中从 处沿轴移动到处时, 计算电场力对它所作的功.解 取为积分变量，任取一小区间功微元:所求功为如果要考虑将单位电荷从点移到无穷远处例3 在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为)从点处推移到处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.解 如图，活塞的位置可用坐标表示. 由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强与体积的乘积是常数即 或因为 所以故作用在活塞上的力在气体膨胀过程中，体积是变的，因而也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的.取为积分变量，它的变化区间为 设为上任一小区间. 当活塞从移动到时，变力所作的功近似于即功微元为于是所求的功为 例4 一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米, 池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功?解 建立如下坐标系，取为积分变量，取任一小区间 这一薄层水的重力为功微元 所求功 (千焦).例5 (E03) 设有一直径为20m的半球形水池, 池内贮满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功.解 如图，选取区间微元相应该微元上的一层水的体积(),抽出这层水需作的功为(焦)其中( kg/)是水的密度，是重力加速度. 故微元所求功为 (焦).水压力例6 (E04) 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为, 水的比重为, 计算桶的一端面上所受的压力.解 在桶一端面建立如图坐标系，取为积分变量，取任一小区间小矩形片上各处压强近似相等小矩形片的压力微元为端面上所受的压力 例7 (E05) 将直角边各为及的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.解 建立如图坐标系，取任一小区间面积微元压力微元 所求压力 引力例8 (E06) 假设有一长度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点M，试计算该棒对质点的引力.解 建立如下坐标系，取为积分变量任取一微元小段与质点的距离为小段对质点的引力水平方向的分力微元由对称性，在铅直方向分力为 例9 (E07) 计算半径为a, 密度为均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为m的质点P. 此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上, 最短距离PQ等于b.解 建立如图坐标系.由于薄板均质均质且关于两坐标轴对称，在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的分力为0，在垂直方向的分力指向轴的正向，所求的引力看成分布在区间上.选取区间微元对于以为内半径的圆环，其质量 对质点的引力即相应于微元的引力微元从而 即所求引力的大小方向指向轴的正向.课堂练习1.有一圆台形的桶, 盛满了汽油, 桶高为3米, 上、下底半径分别为1米及2米, 试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度)2.一矩形水闸门, 宽20米, 高16米, 水面与闸门顶齐, 求闸门上所受的总压力.。