Neyman-Pearson基本引理.ppt

基本概念 Neyman-Pearson基本引理 一致最优势检验统计推断的三个方面:抽样分布，参数估计与假设检验根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否成立的问题 称为假设检验问题.比如, 总体X的均值是否等于0;总体X是否服从正态分布等.1chap7§7.1 基本概念1.关于分布p的原假设与备择假设记为 H0: pP0, H1: pP1P0与P1 是分布族P的互不相交的非空子集.关于参数的原假设与备择假设记为0 与 1 是  的互不相交的非空子集.给定H0和H1就等于给定检验问题，记为检验问题(H0,H1).2. 定义：在检验问题(H0,H1)中，检验法则（简称检验法或检验）就是设法把样本空间X划分为互不相交的两个可测集：并规定：当观测值xW时,就拒绝原假设H0，认为备择假设H1成立.当观测值xW时(即 ),就不拒绝H0，认为原假设H1成立 , 称W为检验的拒绝域.选定了检验法确定了拒绝域2chap7怎样选检验法,即怎样确定拒绝域 ？例1. 交换台单位时间内接到的呼唤次数X～P(), >0. 为单位时间内接到的平均呼唤次数.为考察该台的是否不超 过1，考虑检验问题设x=(x1,…,xn)是交换台的n次记录，即来自P()的样本 X=(X1,…,Xn)的一个观测值. 取(检验)统计量(通常从参数的估计出发寻找检验统计量） — 的充分，完备的统计量.是的MLE.如H0成立，则的估计量 不应太大 ，于是T也不应太大.因此,当T≥c (c是某个常数)时，就要拒绝 H0 .拒绝域可用检验统计量T 表示为c 称为临界值.T 的观测值.拒绝域用来确定 拒绝域的 统计量称 为检验统 计量3chap73. 两类错误 当原假设H0为真时，样本观测值却落在拒绝域W 中，从而使 我们拒绝原假设.这种错误称为第一类错误，犯第一类错误 的概率为当原假设H0不真时，样本观测值却没落在拒绝域W 中，而落 在接受域 中，从而使我们没有拒绝原假设.这种错误称为 第二类错误.犯第二类错误的概率为例1中的检验犯两类错误的概率？已知X1,…,Xn独立，且都服从P().由卷积公式，即4chap7犯第一类错误的概率犯第二类错误的概率由以上两式可知 n 固定时不可能使得犯两类错的概率都减少 .1.() 1－ () 不同5chap74.势函数的定义：称样本观察值落在拒绝域的概率为检验的势函数(功效函数) ， 记为 由定义知 在0 时，g()= () 是犯第一类错的概率. 在1 时,g()=1-(), 1-g()是犯第二类错的概率.势函数是假设检验中最重要的概念之一.因为同一个原假设可以 有许多检验法，其中自然有优劣之分.这区分的依据，就取决于 检验的势函数.这由上知，在0 时，即H0为真时,希望势函数g()尽量小。

在1 时,即H1为真时,希望势函数g()尽量大例1中检验的势函数：是的严增函数.对取定的样本容量n,临界值c不同时,对应的检验势不同 即通过c,可使势函数减小或增大.注意:  取值 在全空间6chap7是的严增函数右端可以看成是,形状参数为c,尺度参数为1的伽马分布的 分布函数,因而是积分上限的严增函数,即的严增函数.7chap7Neyman和Pearson的假设检验理论基本思想：寻找先控制犯第一类错误的概率在某一个范围内，然后寻 找使犯第二类错误的概率尽可能小的检验.即 对选定的一个较小的数 (00}上 考虑 p(x;1)> p(x;0).G()是非负r.v. 的概率，因此是 的分布函数,是非降，右连续.(1)对给定的(00,假设Q()是的严增(或严减)函数,则在10 (1) 存在水平为的UMPT检验函数(3)若 是满足 的任一检验函数,则即检验(I)犯第一类错误的概率最小.前提30chap7证明(1):先考虑简单原假设H0:=0,对简单备择假设H1: =1 (1>0)检验问题.从N-P基本引理，应在比较大时,拒绝原假设.由定理条件(x)是T(x)的非降函数，所以应在T(x)比较大时，拒绝原假设.• 当T(x)为连续型r.v时，取 c由 确定, 拒绝域为• 当T(x)为离散型r.v时，取c由 确定, 取因此无论T(x)连续还是离散都满足(I)和(II).31chap7在T(x)=c时,设(x)=k. 由于(x)是T(x)的非降函数满足(I)的检验(T(x)) 必满足N-P基本引理中(II), 满足(II)的检验(T(x))  必满足N-P基本引理中(I),于是由N-P基本引理的结论(2), (T(x))是简单假设检验问题水平为的MPT.由以上过程知检验(T(x))与1无关,只要求1>0, 所以由引理5知(T(x))也是单边假设检验问题H0:= 0 对 H1: >0 的水平为的UMPT.下面接着证明检验(I)是UMPT。

TckH0:0 对 H1: >019页32chap7(T(x))关于T(x)非降, 由MLR分布族的性质知 是的非降函数.故 0时对原假设H0: 0, (T(x))是水平为的检验.由引理4知, (T(x))是单边假设检验问题的水平为的UMPT.H0:0 对 H1: >0证明:前面已知, g()=E(T(x)) 是的非降函数. 下证g( )在{ :01, 2,1 { :0g(1). 由N-P基本引理, (T(x))也是 H0:=1 对 H1:=2 (2 >1) 的 水平为 的MPT. 因此在0<1<1时 由MPT性质(Th3.3,p19),有(2)g()=E(T(x))是非降的,且在{ :0

由条件，关于T(x)非降,于是关于T(x)非增.因此T(x)比较小时拒绝原假设.即拒绝域W={T(x)