计算机学院计算机学院 第 三 篇 代 数 系 统 计算机学院计算机学院 人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程，往往要借助某些数学工具譬如，在微积分学中，可以用导数来描述质点运动的速度，可以用定积分来计算面积、体积等；在代数学中，可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数，可以用集合之间的“并”、“交”运算来描述单位与单位之间的关系等 第三篇第三篇 代数系统（代数系统（Algebraic System ）） 计算机学院计算机学院 针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述，这就是所谓的“数学模型”可见，数学结构在数学模型中占有极为重要的位置我们这里所要研究的是一类特殊的数学结构—由集合上定义若干个运算而组成的系统我们通常称它为代数系统它在计算机科学中有着广泛的应用 第三篇第三篇 代数系统（代数系统（Algebraic System ）） 计算机学院计算机学院 本章在集合、关系和函数等概念基础上，从一般代数系统的引入出发，，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系如代数系统的同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。
它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究 前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键 第五章第五章 代数结构（代数结构（Algebraic Structure ）） 计算机学院计算机学院 5-1 代数系统的引入5-2 运算及其性质5-3 半群5-4 群与子群5-5 阿贝尔群与循环群*5-6 置换群与伯恩赛德定理5-7 陪集与拉格朗日 定理5-8 同态与同构 5-9 环 和 域 第五章第五章 代数结构（代数结构（Algebraic Structure ）） 计算机学院计算机学院 5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入介绍代数系统之前，引进在一个集合A上的运算概念例1：f：R→R g: R→R f(x)=1/x , x≠0 g(x)=[x]将这些映射称为在集合R上的一元运算；例2： f：R2→R g: R2→R f()=x+y, g()=x*y, x+y=z x*y=z 在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是集合R上的二元运算； 计算机学院计算机学院 至于对集合R上的三个数x，y，z，程序设计语言中的条件算术表达式:if x==0 then y else z，这就是集合R上的三元运算。
上述一些例子，有一个共同的特征，就是其运算结果都是在原来的集合R中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的,简称闭运算相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入 计算机学院计算机学院 定义5-1.1 [ n元运算] 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算如果BA，则称该n元运算是封闭的定义定义5-1.2[代数系统代数系统] 一个非空集合一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的连同若干个定义在该集合上的运算运算f1,f2,…,fk所组成的系统就称为一个代数系统，所组成的系统就称为一个代数系统，记作记作5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入 计算机学院计算机学院 正整数集合I+以及在该集合上的普通加法运算“+”组成一个代数系统又如，一个有限集S，由S的幂集P (S)以及在该集合上的集合运算“∪”、“∩” 、 “~”组成一个代数系统< P (S),∪,∩,~>虽然，有些代数系统具有不同的形式，但是，他们之间可能有一些共同的运算规律5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入 计算机学院计算机学院 容易找到与具有相同运算规律的一些代数系统，如表所示： 集合运算封闭性交换律结合律 I为整数集合·为普通乘法x·y∈Ix·y=y·x(x·y)·z=x·(y·z )R为实数集合+为普通加法x+y∈Rx+y=y+x(x+y)+z=x+(y+z)P(S)是S的幂集∪为集合的“并”A∪B∈P(S)A∪B=B∪A(A∪B)∪C=A∪(B∪C)P(S)是S的幂集∩为集合的“交”A∩B∈P (S)A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入 计算机学院计算机学院 5-2 运算及其性质 运算及其性质定义5-2.1[运算封闭] 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*y∈A,则称二元运算*在A上是封闭的。
定义5-2.2[运算可交换] 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*y=y*x，则称该二元运算*是可交换的，或运算满足交换律 计算机学院计算机学院 定义5-2.3[运算可结合] 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈A都有(x*y)*z=x*(y*z),则称该二元运算*是可结合的，或运算满足结合律5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义5-2.4[运算可分配] 设设* *，，Δ是定义在集合是定义在集合A上的两个二元运算，如果上的两个二元运算，如果对于任意的对于任意的x,y,z∈ ∈A都有都有 x* *(yΔz)=(x* *y)Δ(x* *z) (yΔz)* *x=(y* *x)Δ(z* *x)则称运算则称运算* *对于运算对于运算Δ是可分配的是可分配的5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题1 设设A={x|x=2n,n∈ ∈N},问乘法运算是否封问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？闭？对加法运算呢？解：对于任意的解：对于任意的2r,2s A; r,s N; 2r.2s= 2r+s A(因为因为r+s N)所以乘法运算是封闭的。
所以乘法运算是封闭的 而对于加法运算是不封闭而对于加法运算是不封闭 的，因为至少的，因为至少 有有2+22=6 A5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题2 设设Q是有理数集合，是有理数集合，Δ是是Q上的二元运算，上的二元运算，对任意的对任意的a，，b∈ ∈Q, aΔb=a+b-a·b，问运算，问运算Δ是是否可交换否可交换解：因为解：因为aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa，所以运，所以运算算Δ是可交换的是可交换的5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题3 设设A是一个非空集合，是一个非空集合，★★是是A上的二元运上的二元运算，对于任意算，对于任意a,b∈ ∈A,有有a★★b=b,证明证明★★是可结是可结合运算证明：证明： 因为对于任意的因为对于任意的a,b,c∈ ∈A，， (a★★b)★★c=b★★c=c，， 而而 a★★(b★★c)=a★★c=c，， 所以所以 (a★★b)★★c=a★★(b★★c)5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题 4 设集合设集合A={α，，β}，在，在A上定义两个二运算上定义两个二运算*和和Δ如表所如表所示。
运算示运算Δ对于运算对于运算*可分配吗？运算可分配吗？运算*对于运算对于运算Δ呢？呢？解：容易验证运算解：容易验证运算Δ对于运算对于运算*是可分配的是可分配的 但是运算但是运算*对于运算对于运算Δ是不可分配的，是不可分配的， 因为因为 β*(αΔβ) =β*α=β，， 而而 （（β*α））Δ（（β*β））=βΔα=α 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义5-2.5[吸收律] 设设* *，，Δ是定义在集合是定义在集合A上的两个可交换二元运上的两个可交换二元运算，如果对于任意的算，如果对于任意的x,y∈ ∈A,都有都有 x* *(xΔy)=x xΔ(x* *y)=x则称运算则称运算* *和运算和运算Δ满足吸收律满足吸收律5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题5：： 设集合设集合N为自然数全体，在为自然数全体，在N上定义两个上定义两个二元运算二元运算* *和和★★，对于任意，对于任意x,y∈ ∈N,有有 x* *y=max(x,y) x★★y=min(x,y)验证运算验证运算* *和和★★满足吸收律。
满足吸收律解：解： 对于任意对于任意a,b∈ ∈N，， a*(a★★b)=max(a,min(a,b))=a，， a★★(a*b)=min(a,max(a,b))=a因此，因此，*和和★★满足吸收律满足吸收律5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义定义5-2.6[运算等幂运算等幂] 设设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如果对上的一个二元运算，如果对于任意的于任意的x∈ ∈A,都有都有x* *x=x,则称运算则称运算* *是等幂的，是等幂的，或称运算满足等幂律或称运算满足等幂律 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义定义5-2.7[幺元幺元] 设设* *是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如果有上的一个二元运算，如果有一个元素一个元素el∈ ∈A,对于任意的元素对于任意的元素x∈ ∈A都有都有el* *x=x,则称则称el为为A中关于运算中关于运算* *的的左幺元左幺元；如果有一个元；如果有一个元素素er∈ ∈A,对于任意的元素对于任意的元素x∈ ∈A都有都有x* *er=x,则称则称er为为A中关于运算中关于运算* *的的右幺元右幺元；； 如果如果A中的一个元素中的一个元素e,它既是左幺元又是右它既是左幺元又是右幺元，则称幺元，则称e为Ａ中关于运算为Ａ中关于运算* *的的幺元幺元。
显然，对显然，对于任一于任一x∈ ∈A,有有e* *x=x* *e=x5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题 6：： 设集合设集合S={α，，β，，γ，，δ}，在，在S上定义的两个上定义的两个二元运算二元运算* *和和★★如表示试指出左幺元或右幺元试指出左幺元或右幺元解：解：由表可知：由表可知：β，，δ都是都是S中关于运算中关于运算*的左幺元，的左幺元， 而 而α是是S中关于运算中关于运算★★的右幺元的右幺元α β γ δαβγδδ α β γα β γ δα β γ γα β γ δ★α β γ δαβγδα β δ γβ α γ δγ δ α βδ δ β γ5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定理定理5-2.1 设设* *定义在集合定义在集合A上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在A中中有关于运算有关于运算* *的左幺元的左幺元el和右幺和右幺er,则则el=er=e,且且A中中的幺元是唯一的的幺元是唯一的 证明：先证先证左幺元左幺元el=右幺元右幺元er=e el= el er = er=e 再证再证幺元幺元e是唯一的是唯一的 设还有一个幺元设还有一个幺元e’ A,则则 e’ = e’ e = e 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义定义5-2.8[零元零元] 设设* *是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如果有上的一个二元运算，如果有一个元素一个元素θl∈ ∈S，对于任意的元素，对于任意的元素x∈ ∈A都有都有θl* *x=θl,则则称称θl为为A中关于运算中关于运算* *的左零元的左零元，如果，如果有一个元素有一个元素θr∈ ∈A，对于任意的元素，对于任意的元素x∈ ∈A都有都有x* *θr=θr,则则称称θr为为A中关于运算中关于运算*的右零元的右零元；；如果如果A中的一个中的一个元素元素θ，它，它既是左零元又是右既是左零元又是右零元零元，则称，则称θ为为A中关于运算中关于运算* *的的零元零元。
显然，对显然，对于于任一任一x∈ ∈A，有，有 θ* *x=x* *θ=θ 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定理定理5-2.2 设设* *是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在A中中有关于运算有关于运算* *的左零元的左零元θl和右零元和右零元θr，那么，，那么，θl=θr=θ，且，且A中的零元是唯一的中的零元是唯一的证明：证明：先证先证先证先证左左零零元元 l l= =右右零零元元 r r= = l= l r= r= 再证再证再证再证零零元元 是唯一的是唯一的 设还有一个幺元设还有一个幺元设还有一个幺元设还有一个幺元 ’ A,则则 ’= ’ = 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定理定理5-2.3 设设是一个代数系统，且集合是一个代数系统，且集合A中元素的个数中元素的个数大于大于1。
如果该代数系统中存在幺元如果该代数系统中存在幺元e和零元和零元θ,则则θ≠e证明：证明：用反证法：用反证法：用反证法：用反证法： 设设幺幺元元e e = =零零元元 ，，则对于任意则对于任意x x A A ，，必有必有 x = e e x = x = = e e 于是，推出于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾中所有元素都是相同的，矛盾 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定义定义5-2.9[逆元逆元]设代数系统设代数系统，这里，这里*是定义在是定义在A上的一个二元运上的一个二元运算，且算，且e是是A中关于运算中关于运算*的幺元如果对于的幺元如果对于A中的一中的一个元素个元素a存在着存在着A中的某个元素中的某个元素b,使得使得b*a=e,那么那么称称b为为a的的左逆元左逆元；如果；如果a*b=e成立，那么成立，那么称称b为为a的的右逆右逆元元；如果一个；如果一个元素元素b,它它既是既是a的左逆元又是的左逆元又是a右逆元右逆元，，那么就那么就称称b是是a的一个的一个逆元逆元。
很明显，如果很明显，如果b是是a的逆元，那么的逆元，那么a也是也是b是逆元，简是逆元，简称称a与与b互为逆元今后一个元素互为逆元今后一个元素x的逆元记为的逆元记为x-15-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题 7：： 设集合设集合S={浅色，深色浅色，深色}，定义在，定义在S上的上的一个二元运算一个二元运算*如表所示，试指出零元和幺元如表所示，试指出零元和幺元解：深色是解：深色是S中关于运算中关于运算*的零元，的零元， 浅色是浅色是S中关于运算中关于运算*的幺元浅色 深色浅色 深色浅色浅色深色深色浅色 深色浅色 深色深色 深色深色 深色5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题8：： 设集合设集合S={α,β,γ,δ,}，定义在，定义在S上的一个二元运上的一个二元运算算*如表所示试指出代数系统如表所示试指出代数系统中各个元素的左、中各个元素的左、右逆元情况右逆元情况 * *αα β β γ γ δδ ααββγγδδ α α β β γ γ δ δ β β δ δ α α γ γ δδγγ α α β β αα ββδ δ αα γ γ δ δ γγ δ δ αα γγ 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 解解：：αα是是幺幺元元；；ββ的的左左逆逆元元和和右右逆逆元元都都是是γγ；；即即ββ和和γγ互互为为逆逆元元；；δδ的的左左逆逆元元是是γγ而而右右逆逆元元是是ββ；；ββ有有两两个个左左逆逆元元γγ和和δδ；； 的的右右逆逆元元是是γγ，，但但没没有有左左逆元。
逆元5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 定理定理5-2.4 设代数系统设代数系统, 这里这里*是定义在是定义在A上的一个二上的一个二元运算，元运算，A中中存在幺元存在幺元e，且，且每一个元素都有左逆每一个元素都有左逆元元如果*是是可结合的可结合的运算，那么，这个代数系运算，那么，这个代数系统中统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元逆元，，且每个元素的逆元是唯一的且每个元素的逆元是唯一的5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 证明：证明：设设a,b,c∈ ∈A,且且b是是a的左逆元，的左逆元，c是是b的左逆元的左逆元因为因为 （（b*a））*b=e*b=b （运算可结合）（运算可结合）所以所以 e=c*b=c*((b*a)*b)=(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b=(e*a)*b=a*b 因此， 因此，b也是也是a的右逆元的右逆元设元素设元素a有两个逆元有两个逆元b和和c,那么那么b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c因此，因此，a的逆元是唯一的的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 可以指出：可以指出：是一个代数系统，是一个代数系统，*是是A上的一个二上的一个二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出那就是：接看出那就是： 1、运算、运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于都属于A2、运算、运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的线是对称的3、运算、运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 4、、A关于关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都与该元素相同和列中元素都与该元素相同 5、、A关于关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致和列依次与运算表的行和列相一致6、设、设A中有幺元，中有幺元，a和和b互逆，当且仅当位于互逆，当且仅当位于a所所在行，在行，b所在列的元素以及其所在列的元素以及其b所在行，所在行，a所在所在列的元素都是幺元。
列的元素都是幺元5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题9：： 试构造一个代数系统，使得其中只有一个试构造一个代数系统，使得其中只有一个元素具有逆元元素具有逆元解：解： 设设m,n∈ ∈I,T={x|x∈ ∈I,m≤x≤n},那么，代数系统那么，代数系统中有一个幺元是中有一个幺元是m,且只有且只有m有逆元，因有逆元，因为为m=max(m,m)5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题10：： 对于代数系统对于代数系统，这里，这里R 是实数的是实数的全体，全体，·是普通的乘法运算，是否每个元素都有是普通的乘法运算，是否每个元素都有逆元解：解： 该代数系统中的幺元是该代数系统中的幺元是1，除了零元素，除了零元素0外，外，所有的元素都有逆元所有的元素都有逆元5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 例题例题11：： 对于代数系统对于代数系统，这里，这里Nk={0，，1，，2，，…，，k-1},+k是定义在是定义在Nk上的模上的模k加法运算，定义如下：加法运算，定义如下： 对于任意对于任意x,y∈ ∈Nk，若，若 x+y
试问是否每个元素都有逆元解：解： 可以验证，可以验证，+k是一个可结合的二元运算，是一个可结合的二元运算，Nk中关于运算中关于运算+k的幺元是的幺元是0，，Nk中的每一个元素都有唯一的逆元，即中的每一个元素都有唯一的逆元，即0的逆元的逆元是是0，每个非零元素，每个非零元素x的逆元是的逆元是k-x5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 练练习习：：N4是是整整数数中中模模4同同余余关关系系产产生生的的等等价价类类集集合合，，N4={［［0］，［］，［1］，［］，［2］，［］，［3］］}，， N4上运算上运算+4，，×4定义为定义为 ［［m］］+4［［n］］=［［(m+n)mod4］］ ［［m］］×4［［n］］=［［(m·n)mod4］］其中其中m,n∈∈{[0],[1],[2],[3]}, 求特殊元素求特殊元素5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 解解 由表由表5.2.4可知，［可知，［0］为幺元，］为幺元，［［1］］-1 =［［3］，［］，［2］］-1=［［2］，无零元。
］，无零元 由表由表5.2.5可知，［可知，［1］为幺元，］为幺元， ［［3］］-1=［［3］，［］，［0］］,［［2］无逆元，［］无逆元，［0］为零元］为零元5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 作业作业 5-1，，2P178 (2)P185 (1), (2), (5) 5-2 运算及其性质 运算及其性质 计算机学院计算机学院 半半群群与与群群都都是是具具有有一一个个二二元元运运算算的的代代数数系系统统，，群群是是半半群群的的特特殊殊例例子子事事实实上上，，群群是是历历史史上上最最早早研研究究的的代代数数系系统统，，它它比比半半群群复复杂杂一一些些，，而而半半群群概概念念是是在在群群的的理理论论发发展展之之后后才才引引进进的的群群论论在在各各种种不不同同的的领领域域(如如量量子子力力学学、、结结晶晶学学））中中都都有有应应用用它它有有半半群群、、含含幺幺半半群群与与群群三三个个基基本本类类型型在在计计算算机机科科学学的的不不同同领领域域，，它们的应用越来越广泛它们的应用越来越广泛半半群群和和含含幺幺半半群群，，在在自自动动机机理理论论、、形形式式语语言言等等方方面面的的应应用用已已卓有成效。
卓有成效群群的的概概念念在在自自动动机机理理论论、、编编码码理理论论和和快快速速加加法法器器的的设设计计等等方方面都有广泛的应用它们的逻辑关系见图面都有广泛的应用它们的逻辑关系见图5.3.15-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 图图 5.3.1 群群含幺半群含幺半群半群半群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定义定义5-3.1[广群广群] 一个代数系统一个代数系统,其中其中S是非空集合，是非空集合，*是是S上的一个二元运算，如果上的一个二元运算，如果运算运算*是封闭的是封闭的，则称代，则称代数系统数系统为为广群广群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定义定义5-3.2[半群半群]一个代数系统一个代数系统,其中其中S是非空集合，是非空集合，*是是S上上的一个二元运算，如果的一个二元运算，如果 （（1）） 运算运算*是封闭的是封闭的2）） 运算运算*是可结合的，即对任意的是可结合的，即对任意的 x,y,z∈ ∈S, 满足满足 （（x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统则称代数系统为半群。
为半群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 再如，设再如，设Σ是有限字母表，是有限字母表，Σ+是是Σ中的字母串中的字母串Σ*={ФФ}∪∪Σ+，其中，其中ФФ是不含字母的空串，运算是不含字母的空串，运算τ是是字母串的字母串的“连接连接”运算，则运算，则〈〈Σ*,τ〉〉是半群如是半群如Com∈∈Σ*,puter∈∈Σ*,经经τ运算后，得运算后，得Computer仍仍是字母串是字母串许多代数系统都是半群例如，许多代数系统都是半群例如，〈〈N,+〉〉,〈〈Z,×〉〉,〈〈2S, 〉〉, 〈〈SS, 〉〉（（ SS ={f | f: S→S}, 是复合是复合运算）均是半群但运算）均是半群但〈〈Z,-〉〉不是半群不是半群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.1】】 则则〈〈S,·〉〉是半群这里是半群这里·代表普通的矩阵乘法运算代表普通的矩阵乘法运算 证明证明 对任意的对任意的 因为因为 且且a1a2≠0,所以所以 ,因此因此“·”运算封闭运算封闭 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.2】】,则则〈〈S,+〉〉不是半群这里不是半群这里+代表普通的矩阵加法运算。
代表普通的矩阵加法运算 证明证明 对任意的对任意的 取取a2=-a1,则则 且且a1+a2=0，所以，所以 因此因此*运算不封闭运算不封闭 所以所以〈〈S,+〉〉不是半群不是半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.3】】则则〈〈S,·〉〉不是半群这里不是半群这里·代表普通的矩阵乘法运算代表普通的矩阵乘法运算证明证明: 取取 则则 所以所以 , 因此因此*运算不封闭运算不封闭 所以所以〈〈S,·〉〉不是半群不是半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.45.3.4】】设设S= ={ {a, b} }上的二元运算如下表上的二元运算如下表: :则则〈〈S,*〉〉为半群证证: : 只只需需验验证证“*”满满足足结结合合律律，，由由于于“*”满满足足交交换换律律 所以仅需要考虑以下两种情况：所以仅需要考虑以下两种情况： (a*a)*b =b*b=b= a*a=a*(a*b) (a*b)*b =a*b=a= a*b=a*(b*b) * a bab b a a b故故〈〈S,*〉〉为半群。
为半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.55.3.5】】设设S为任意非空集合为任意非空集合, ,对任意对任意a,b∈∈S,规定规定a*b= a,则则〈〈S,*〉〉为半群证明证明: : a,b,c∈∈S,有有 (a*b)*c = a*c = a, a*(b*c) = a* b = a所以所以 (a*b)*c = a*(b*c) .故故 〈〈S,*〉〉为半群 5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.65.3.6】】对任意对任意a,b∈∈R,规定规定a*b= (a+b)/2,则则〈〈R,*〉〉不是半群不是半群证明证明: : 对于对于1,2,3∈∈R,有有 所以所以 “*” 不满足结合律不满足结合律 .故故 〈〈S,*〉〉不是半群不是半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.75.3.7】】 设S={a,b,c},在S上的一个二元运算Δ定义如表所示Δa b cabca b ca b ca b c验证验证 是一个半群是一个半群解：解： 从表中可知运算从表中可知运算ΔΔ是封闭的，同时是封闭的，同时a,ba,b和和c c都是左幺元。
所以，对于任意的都是左幺元所以，对于任意的x,y,z∈S,x,y,z∈S,都都有有xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)ΔzxΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz，因此，，因此，是半群 计算机学院计算机学院 定理定理5-3.1设设是一个半群，是一个半群，B S 且且*在在B上上是封闭的，那么是封闭的，那么也是一个半群通常称也是一个半群通常称是半群是半群的的子半群子半群证明：证明：因为因为*在在S上是可结合的，而上是可结合的，而B S且且*在在B上封闭，所以上封闭，所以*在在B上也是可结合的，因此，上也是可结合的，因此，是一个半群是一个半群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 【【例例5.3.85.3.8】】 设设·表示普通的乘法运算，那么表示普通的乘法运算，那么<[0,1],·>、、< [0,1) ,·>和和都是都是的子半群的子半群解解：： 首先，运算首先，运算·在在R上是封闭的，且是可结合的，上是封闭的，且是可结合的，所以所以是一个半群其次，运算是一个半群。
其次，运算·在在[0,1]，，[0,1) 和和I上都是封闭的，且上都是封闭的，且[0,1] R，， [0,1) R，，I R因此，由定理因此，由定理5-3.1可知可知<[0,1],·>、、< [0,1),·>和和都是都是的子半群的子半群5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定理定理5-3.2设设是一个半群，如果是一个半群，如果S是一个有限集，则必有是一个有限集，则必有a∈ ∈S,使得使得a*a=a证明：证明： 因为因为是半群对于任意的是半群对于任意的b∈ ∈S,由由*的封闭性可知的封闭性可知 b*b∈ ∈S,记记b2=b*b b2 *b= b*b2∈ ∈S ,记记b3=b2*b …因为因为S是有限集，所以必定存在是有限集，所以必定存在j>i,使得使得bi=bj令令 p=j-i，便有，便有 bi = bp * bi ，所以，所以 bq = bp * bq q≥i因为因为 p≥1,所以总可以找到所以总可以找到k≥1,使得使得kp≥i, 对于对于S中的元素中的元素bkp,就有就有bkp = bp * bkp = bp *(bp * bkp ) = b2p * bkp = …= bkp * bkp 这就证明了在这就证明了在S中存在元素中存在元素a= bkp, 使得使得 a*a=a5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定义定义5-3.3[独异点独异点]含有幺元的半群称为独异点。
含有幺元的半群称为独异点例如：代数系统例如：代数系统是一个独异点是一个独异点 因为，因为，是一个半群，且是一个半群，且0是是R中关于中关于运算运算+的幺元另外，代数系统的幺元另外，代数系统, , 都是具有幺元都是具有幺元1的半群，因此它们都是独的半群，因此它们都是独异点5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定理定理 5-3.3设设是一个独异点，则在关于运算是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的的运算表中任何两行或两列都是不相同的证明证明: 设设S中关于运算中关于运算*的幺元是的幺元是e因为对于任因为对于任意的意的a,b∈ ∈S且且a≠b时，时， 总有总有e*a=a≠b=e*b 和和 a*e=a≠b=b*e 所以，在所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是的运算表中不可能有两行或两列是相同的 5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 例题3: 设Z 是整数集合，m是任意正整数，Zm 是由模m的同余类组成的同余类集，在Zm 上定义两个二元运算+m和×m分别如下： 对于任意的[i], [j] ∈Zm [i] +m [j]=[(i+j) (mod m)], [i]×m [j]=[(i×j) (mod m)]试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 上例中，如果给定上例中，如果给定m=5，那么，，那么，+5和和×5的运算表的运算表分别如表分别如表5-3.2和表和表5-3.3所示 +5 5 [0] [1] [2] [3] [4][0] [1] [2] [3] [4][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][0] [1] [2] [3] [4][0] [1] [2] [3] [4][1] [2] [3] [4] [0][1] [2] [3] [4] [0][2] [3] [4] [0] [1][2] [3] [4] [0] [1][3] [4] [0] [1] [2][3] [4] [0] [1] [2][4] [0] [1] [2] [3][4] [0] [1] [2] [3]××5 5 [0] [1] [2] [3] [4][0] [1] [2] [3] [4][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][0] [0] [0] [0] [0][0] [0] [0] [0] [0][0] [1] [2] [3] [4][0] [1] [2] [3] [4][0] [2] [4] [1] [3][0] [2] [4] [1] [3][0] [3] [1] [4] [2][0] [3] [1] [4] [2][0] [4] [3] [2] [1][0] [4] [3] [2] [1]5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 证明证明: 考察代数系统考察代数系统和和 。
1)由运算由运算+m和和×m的定义，可知它们在的定义，可知它们在Zm上是封闭的上是封闭的2)对于任意对于任意[i],[j],[k]∈ ∈Zm ([i] +m [j]) +m [k]=[i] +m ([j] +m [k]) =[(i+j+k) (mod m)] ([i]×m[j]) ×m [k]=[i] ×m([j] ×m[k]) =[(i×j×k) (mod m)] 即 即+m，，×m都是可结合的都是可结合的3) 因为因为 [0] +m [i]= [i] +m [0]=[i],所以，所以，[0]是是中的幺元中的幺元因为因为[1] ×m [i]= [i] ×m [1]=[i],所以所以[1]是是中的幺元中的幺元因此，代数系统因此，代数系统，，都是独异点由定理都是独异点由定理5-3.3可知，可知，这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 定理定理5-3.4 设设是独异点，对于任意是独异点，对于任意a,b∈ ∈S,且且a,b均有逆元，均有逆元， 则则 a) (a-1)-1=a b) a*b有逆元，且有逆元，且(a*b)-1 =b-1*a-1证明证明 a) 因为因为a-1是是a的逆元，即的逆元，即 a*a-1 = a-1*a=e 所以 所以(a-1)-1 =a b) 因为因为 (a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1 =a*e* a-1 =a* a-1 =e 同理可证同理可证 (b-1*a-1)*(a*b)=e 所以所以 (a*b)-1 = b-1*a-1 5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 作业作业5-3P190 (1),(3),(5),(6)5-3 半群 半群 计算机学院计算机学院 5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups)5-4.1 群的基本概念群的基本概念( The concept of group)5-4.2 群的基本性质群的基本性质( The properties of groups)5-4.3 子群子群(Subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.1设设是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中G是非空集是非空集合，合，*是是G上一个二元运算，如果上一个二元运算，如果 （（1）） 运算运算*是封闭的。
是封闭的2）） 运算运算*是可结合的是可结合的3）） 存在幺元存在幺元e4）） 对于每一个元素对于每一个元素x∈ ∈G,存在着它的逆元存在着它的逆元x-1则称则称是一个群是一个群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.2 [有限群有限群][无限群无限群]设设是一个群如果是一个群如果G是有限集是有限集，那么称，那么称为为有限群有限群，，G中元素的个数通常称为该中元素的个数通常称为该有有限群的阶数限群的阶数，记为，记为|G|；如果；如果G是无限集是无限集，则称，则称为为无限群无限群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.1】】设设R={0°，，60°，，120°，，180°，，240°，，300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设旋转角度的六种可能情况，设★★是是R上的二元上的二元运算，对于运算，对于R中任意两个元素中任意两个元素a和和b,a★★b表示平表示平面图形连续旋转面图形连续旋转a和和b得到的总旋转角度。
并规得到的总旋转角度并规定旋转定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过等于原来的状态，就看作没有经过旋转验证旋转验证是一个群是一个群解：解：（见书（见书P191））5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.2】】 (1)〈〈Z,+〉〉,〈〈Q,+〉〉,〈〈R,+〉〉,〈〈C,+〉〉均均为为群群（（加加群群））,数数0 为其幺元为其幺元 (2) 〈〈R, ·〉〉,〈〈Z, ·〉〉,〈〈Q, ·〉〉都都不不是是群群因因为为0没没有有逆逆元3)〈〈R-{0}, ·〉〉, ,〈〈Q-{0},-{0},·〉〉, ,〈〈Q+,·〉〉（（正正有有理理数数与与数乘）数乘）均均为群，为群，1为其么元但为其么元但〈〈Z-{0},-{0},·〉〉不是群 (4)〈〈N4,＋＋4〉〉为一为一4阶群阶群,数数0为其么元为其么元5) A≠ ,〈〈2A,∪∪〉〉是是半半群群，，幺幺元元为为 ，，非非空空集集合合无无逆元逆元, 所以不是群所以不是群 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.3】】设设g={a,b,c,d},*为为G上上的的二二元元运运算算，，它它由由表表5.4.1给给出出,不不难难证证明明G是是一一个个群群。
且且e是是G中中的的幺幺元元；；G中中任任何何元元素素的的逆逆元元就就是是它它自自己己，，在在a,b,c三三个个元元素素中中，，任任何何两两个个元元素素运算的结果都等于另一个元素，这个群称为运算的结果都等于另一个元素，这个群称为klein四元群 5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.4】】设设g={a,b,c,d},*为为G上上的的二二元元运运算算，，它它由由表表5.4.2给给出出,不不难难证证明明G是是一一个个群群，，且且e是是G中中的的幺幺元元；；G中中元元素素b的的逆逆元元就就是是它它自自己己，，a与与c互互逆逆在在a,b,c三三个个元元素素中中，，任任何何两两个个元元素素运运算算的的结结果果都都等等于于另另一一个个元元素素，，这这是是除除了了klein四四元元群群外外的另一个四阶群的另一个四阶群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.5】】设设〈〈G,*〉〉是是一一个个独独异异点点,并并且且每每个个元元素素都都有有右逆元右逆元,证明证明〈〈G,*〉〉为群。
为群 证明证明 设设e是是〈〈G,*〉〉中的幺元每个元素都有右逆元，即中的幺元每个元素都有右逆元，即 x∈∈G，， y∈∈G使得使得x*y=e，而对于此，而对于此y，又，又 z∈∈G使使得得y*z=e由于 x∈∈G均有均有x*e=e*x=e，因此，因此 z=e*z=x*y*z=x*e=x 即即 x*y=e=y*z=y*x=e y既是既是x的右逆元，又是的右逆元，又是x的左逆元，故的左逆元，故x∈∈G均有逆元，均有逆元，〈〈G,*〉〉为群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点即有：群是每个元素都有逆元的独异点即有： {群群} {独异点独异点} {半群半群} {广群广群}5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 由定理由定理5-2.4可知，群中任何一个元素的逆元可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的由群中逆元的唯一性，我们可以必定是唯一的由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理。
有以下几个定理定理定理5-4.1 群中不可能有零元群中不可能有零元证明证明:当群的阶为当群的阶为1 时时(|G|=1) ，它的唯一元素视，它的唯一元素视作幺元 设设|G|>1且群且群有零元有零元θ那么群中任何元素那么群中任何元素x∈ ∈G,都有都有x*θ=θ*x=θ≠e,所以，所以，零元零元θ就不存在逆元，这与就不存在逆元，这与是群相矛盾是群相矛盾5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.2设设 是一个群，对于是一个群，对于a,b∈ ∈G,必存在唯必存在唯一的一的x∈ ∈G,使得使得a*x=b证明：设证明：设a的逆元是的逆元是a-1，令，令x=a-1*b 则 则 a*x=a*(a-1*b) =(a*a-1)*b =e*b =b 若另有一解 若另有一解x1,满足满足a*x1=b,则则 a-1*(a*x1)= a-1*b即即 x1= a-1*b 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.3设设是一个群，对于任意的是一个群，对于任意的a,b,c∈ ∈G,如果有如果有a*b=a*c或者或者b*a=c*a,则必有则必有b=c(消去律，可约性消去律，可约性)。
证明证明 设 设a*b=a*c,且且a的逆元是的逆元是a-1,则有则有 a-1*(a*b)= a-1*(a*c) (a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c b=c 当 当b*a=c*a时，可同样证得时，可同样证得b=c5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 由定理由定理5-3.3可知：可知：群的运算表中没有两行（或两列）是相同的群的运算表中没有两行（或两列）是相同的为了进一步考察群的运算表所具有的性质，现为了进一步考察群的运算表所具有的性质，现在引进置换的概念在引进置换的概念5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.3 设设S是一个非空集合，从集合是一个非空集合，从集合S到到S的一个双射的一个双射称为称为S的一个置换的一个置换例如，对于集合例如，对于集合S={a, b, c, d}，将，将a映射到映射到b, b映射到映射到d，，c映射到映射到a，，d映射到映射到c，是一个从，是一个从S到到S上的一个一对上的一个一对一映射，这个置换可以表示为一映射，这个置换可以表示为 即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素，即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素，而在下一行中写每个对应元素的像。
而在下一行中写每个对应元素的像5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.4 群群的运算表中的每一行或每一列的运算表中的每一行或每一列都是都是G的元素的一个置换的元素的一个置换证明：证明：首先，证明运算表中的任一行或任一列所首先，证明运算表中的任一行或任一列所含含G中的一个元素不可能多于一次用反证法，中的一个元素不可能多于一次用反证法，如果对应于元素如果对应于元素a∈ ∈G的那一行中有两个元素都是的那一行中有两个元素都是c,即有即有b1，，b2 ∈ ∈G a*b1=a*b2=c 且且b1≠b2由可约性可得由可约性可得b1=b2,这与这与b1≠b2矛盾5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 其次，要证明其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现行和每一列中出现考察对应于元素考察对应于元素a∈ ∈G的那一行，设的那一行，设b是是G中的任一元中的任一元素，由于素，由于b=a*(a-1*b),所以所以b必定出现在对应于必定出现在对应于a的的那一行中。
那一行中再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：可得出：的运算表中每一行都是的运算表中每一行都是G的元素的的元素的一个置换，且每一行都是不相同的同样的结论一个置换，且每一行都是不相同的同样的结论对于列也是成立的对于列也是成立的5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 由定理由定理5-4.4可知，特别地，当可知，特别地，当G为有限群时，为有限群时，*运算运算的运算表的每一行（列）都是的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个置换中元素的一个置换对于有限群，运算可用表给出对于有限群，运算可用表给出,称为群表从而有限称为群表从而有限群群〈〈G，，*〉〉的运算表中没有一行（列）上有两个元素的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的因此，当是相同的因此，当G分别为分别为1，，2，，3阶群时阶群时,*运算都只运算都只有一个定义方式有一个定义方式(即不计元素记号的不同即不计元素记号的不同,只有一张定义只有一张定义*运算的运算表运算的运算表,分别如表分别如表5.4.3、、5.4.4和和5.4.5所示所示),于是于是可以说可以说,1,2,3阶的群都只有一个。
阶的群都只有一个5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 *eee表 5.4.3 表 5.4.4* e aea e a a e表 5.4.55-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.6】】在下表的空白处填入适当的元素在下表的空白处填入适当的元素,使使〈〈{a,b,c},*〉〉构成群 a b c a b c a a c c5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.6】】在下表的空白处填入适当的元素在下表的空白处填入适当的元素,使使〈〈{a,b,c},*〉〉构成群 a b c a b c c a b a b c b c a 5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.4代数系统代数系统中，如果存在中，如果存在a∈ ∈G,有有a*a=a,则称则称a为为等幂元等幂元。
5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.5 群群中，除幺元中，除幺元e外，不可能有任外，不可能有任何别的等幂元何别的等幂元证明：证明： 因为因为e*e=e,所以所以e是等幂元是等幂元 现设 现设 a∈ ∈A,a≠e且且a*a=a 则有 则有 a=e*a=(a-1*a)*a= a-1*(a*a) = a-1*a=e 与假设与假设a≠e相矛盾5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.5[子群子群]设设是一个群，是一个群，S是是G的非空子集，如果的非空子集，如果也构成群，则称也构成群，则称是是的一个子的一个子群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.6设设是一个群，是一个群，是是的一的一个子群，那么，个子群，那么，中的幺元中的幺元e必定也是必定也是中的幺元。
中的幺元证明：证明：设设中的幺元为中的幺元为e1, 对于任一对于任一x∈ ∈S G, 必有必有e1*x=x=e*x, 故故e1=e5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 定义定义5-4.6[平凡子群平凡子群]设设是一个群，是一个群，是是的子群，如果的子群，如果 S={e}，或者，或者S=G，则称，则称为为的的平凡平凡子群子群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.7】】 是一个群，设是一个群，设IE={x|x=2n,n∈ ∈I},证明证明< IE,+>是是的一个子群的一个子群证明：（证明：（1）） 对于任意的对于任意的x,y∈ ∈IE,不妨设不妨设x=2n1,y=2n2, n1，，n2∈ ∈I,则则 x+y=2n1+2n2=2(n1 +n2)，而，而 n1+n2∈ ∈I 所以 所以 x+y∈ ∈ IE ，即，即+在在IE 上封闭2）） 运算运算+在在IE 上保持可结合性。
上保持可结合性3）） 中的幺元中的幺元0也在也在IE 中4）） 对于任意的对于任意的x∈ ∈ IE,必有必有n ∈∈I使得使得x=2n,而而 -n∈∈I，即，即2(-n) =-2n=-x, 所以 所以-x∈ ∈ IE ,而而x+(-x)=0, 因此，因此，< IE ,+>是是的一的一个子群 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.7设设是一个群，是一个群，B是是G的非空子集，如果的非空子集，如果B是一个是一个有限集，那么，只要运算有限集，那么，只要运算*在在B上封闭，上封闭，必定是必定是的的子群证明：证明：设设b是是B的任一个元素若的任一个元素若*在在B上封闭，则元素上封闭，则元素b2=b*b,b3=b2*b,…都在都在B中由于B是有限集，所以必存在是有限集，所以必存在正整数正整数i和和j,不妨假设不妨假设i中的幺元，且这个幺元也在子集中的幺元，且这个幺元也在子集B中如果如果j-i>1,那么由那么由bj-i =b* bj-i-1可知可知bj-i-1是是b的逆元，且的逆元，且bj-i-1 ∈ ∈B;如果如果j-i=1,那么由那么由bi = bi*b可知可知b就是幺元，而幺元是以自就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。
身为逆元的 因此，因此，是是的一个子群的一个子群 计算机学院计算机学院 定理定理5-4.8设设是群，是群，S是是G的非空子集，如果对于的非空子集，如果对于S中的任中的任意元素意元素a和和b有有aΔb-1∈ ∈S,则则是是的子群证明：证明：首先证明，首先证明，G中的幺元中的幺元e也是也是S中的幺元中的幺元 任取 任取S中的元素中的元素a,a∈ ∈S G,所以所以e=aΔa-1 ∈ ∈S且且 aΔe=eΔa=a,即即e也是也是S中的幺元中的幺元 其次证明，其次证明，S中的每一元素都有逆元中的每一元素都有逆元 对任一对任一a∈ ∈S, 因为因为e∈ ∈S, 所以所以eΔa-1∈ ∈S即即a-1∈ ∈S 最后证明，最后证明，Δ在在S上是封闭的上是封闭的 对任意的对任意的a,b∈ ∈S，由上可知，由上可知b-1∈ ∈S 而而 b=(b-1)-1 所以所以 aΔb=aΔ (b-1)-1 ∈ ∈S 至于运算至于运算Δ在在S上的可结合性是保持的上的可结合性是保持的 因此，因此，是是的子群。
的子群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.8】】 Klein四四元元群群，，〈〈{e},*〉〉,〈〈{e,a},*〉〉,〈〈{e,b},*〉〉,〈〈{e,c},*〉〉均均是是其其子群例例5.4.9】】设设G为群，为群，a∈∈G,令令H={ak|k∈∈ Z},即即a的所的所有的幂构成的集合，则有的幂构成的集合，则H是是G的子群，称为由的子群，称为由a生成生成的子群，记作的子群，记作〈〈a〉〉a称为生成元称为生成元(generator) 证明证明: 因为因为a∈∈〈〈a〉〉，所以，所以〈〈a〉〉≠ 任取am,al∈∈〈〈a〉〉, (m>n),有有 am(al)-1=ama-l=am-l∈∈〈〈a〉〉由定理由定理5-4.8可知可知〈〈a〉〉≤G5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 【【例例5.4.10】】设设和和都是群都是群的子群，的子群，试证明试证明也是也是的子群证明：证明：设任意的设任意的a,b∈ ∈H∩K, 因为因为和和都是子群，都是子群， 所以所以b-1∈ ∈H∩K, 由于由于*在在H和和K中的封闭性，中的封闭性， 所以所以a*b-1∈ ∈H∩K, 由定理由定理5-4.8即得即得是是的子群。
的子群5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 作业作业5-4P197 (2) (3) 5-4 群与子群群与子群(groups and subgroups) 计算机学院计算机学院 5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定义定义 5-5.1：：如果群如果群中的运算中的运算*是可交换的，是可交换的，则称该群为则称该群为阿贝尔群阿贝尔群，或称，或称交换群交换群例题例题 1：： 设设G为所有为所有n阶非奇异（满秩）矩阵的阶非奇异（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算作为定义在集合集合，矩阵乘法运算作为定义在集合G上的上的二元运算，则二元运算，则是一个不可交换群是一个不可交换群 计算机学院计算机学院 解：解： 任意两个任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算奇矩阵，所以运算 是封闭的是封闭的 矩阵乘法运算是可结合的矩阵乘法运算是可结合的n阶单位阵阶单位阵E是是G中的幺元中的幺元任意一个非奇阵任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使存在着唯一的逆阵，使A A-1=A-1 A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，但矩阵乘法是不可交换的，因此，是一是一个不可交换群。
个不可交换群5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 定理定理5-5.1: 设设是一个群，是一个群，是阿贝尔群的充要条件是阿贝尔群的充要条件是对任意的是对任意的a,b∈ ∈G,有有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)证明证明: 充分性充分性 设对任意设对任意a,b∈ ∈G,有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因为因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) =(a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b 所以所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1 =a-1*(a*(b*a)*b)* b-1 即得即得 a*b=b*a 因此，群因此，群是阿贝尔群是阿贝尔群5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 必要性必要性设设是阿贝尔群，则对任意的是阿贝尔群，则对任意的a,b∈ ∈G 有有 a*b=b*a因此因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b =a*(b*a)*b =(a*b)*(a*b)5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 定义定义5-5.2：： 设设为群，若在为群，若在G中存在一个元中存在一个元素素a，使得，使得G中的任意元素都由中的任意元素都由a的幂组成，则称的幂组成，则称该群为循环群，元素该群为循环群，元素a称为循环群称为循环群G的生成元。
的生成元例如：例如：60°就是群就是群<{0°，，60°，，120°，，180°，，240°，，300°}，，★★>的生成元，因此，该群是循环群的生成元，因此，该群是循环群5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 定理定理5-5.2：：任何一个循环群必定是阿贝尔群任何一个循环群必定是阿贝尔群证明：证明： 设设是一个循环群，它的生成元是是一个循环群，它的生成元是a, 那么那么，对于任意的，对于任意的x,y∈ ∈G,必有必有r,s∈ ∈Z，， 使得使得x=ar 和和 y=as 而且而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此，因此， 是一个阿贝尔群是一个阿贝尔群对于有限循环群，有下面的定理对于有限循环群，有下面的定理5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 定理定理5-5.3：： 设设是一个由元素是一个由元素a∈ ∈G生成的有限循环群。
生成的有限循环群如果如果G的阶数是的阶数是n,即即|G|=n,则则an=e且且G={a，，a2，，a3，，…，，an-1,an=e}，其中，，其中，e是是中的幺元，中的幺元，n是使是使an=e的最小正整数（称的最小正整数（称n为元素为元素a的阶）证明：证明： 假设对于某个正数假设对于某个正数m，，m是一个循环群，所以是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为中的任何元素都能写为ak(k∈ ∈Z)，而且，而且k=mq+r其中，其中，q是某个整数，是某个整数，0≤r
所以，不可能的所以， a，，a2，，a3，，…，，an-1,an都都不相同，因此不相同，因此G={a，，a2，，a3，，…，，an-1,an =e}5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 例题例题 2：： 设设G={α，，β，， ，， δ}，在，在G上定义二元运算上定义二元运算*如如表表5-5.2所示 表表5-5.2*α β γ δαβγδα β γ δβ α δ γγ δ β αδ γ α β5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 解：由运算表由运算表5-5.2可知运算可知运算*是封闭的，是封闭的， α是幺元β，， 和和 的逆元分别是的逆元分别是β，， 和和 可以验证运算可以验证运算*是可结合的是可结合的 所以所以是一个群是一个群在这个群中，由于在这个群中，由于 2, 3, 4, 以及以及 2 , 3, 4 故群故群是由是由 或或 生成的，因此生成的，因此是一个循环群。
是一个循环群 从本例可以看到：从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的一个循环群的生成元可以不是唯一的5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 作业作业 5-5P200 (1) (4)5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 计算机学院计算机学院 5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理定义定义5-7.1：：设设是一个群，是一个群，A，，B∈ ∈P(G)且且A≠，，B≠，记，记 AB={a*b|a∈ ∈A,b∈ ∈B} 和和 A-1 ={a-1|a ∈ ∈A }，， 分别分别称为称为A，，B的积和的积和A的逆的逆定义定义5-7.2：：设设是群是群的一个子群的一个子群a∈ ∈G，则，则集合集合{a}H （（H{a}）） 称为由称为由a所确定的所确定的H在在G中的中的左陪集左陪集（右陪集）（右陪集） ，， 简称为简称为H关于关于a的左陪集的左陪集 （右陪集）（右陪集） ，，记为记为aH (Ha) 。
元素元素a称为陪集称为陪集aH (Ha) 的的代表元素代表元素 计算机学院计算机学院 例例1：：是群是群的子群，的子群，则则 {0} IE= IE , {2} IE= IE , {-2} IE= IE , …… {1} IE= Io , {-1} IE= Io , {3} IE= Io ，，……所以，所以，{IE , Io} 是对于是对于I(整数集整数集)的一个划分的一个划分5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 定理定理5-7.1 （拉格朗日定理）（拉格朗日定理）设设是群是群的一个子群，那么的一个子群，那么R={|a∈ ∈G,b∈ ∈G且且a-1*b∈ ∈H}是是G中的一个等价关系对于中的一个等价关系对于a∈ ∈G,若记若记[a]R={x|x∈ ∈G且且∈ ∈R}，则，则[a]R=aH如果如果G是有限群，是有限群，|G|=n,|H|=m,则则m|n证明：证明：(a)对于任一对于任一a∈ ∈G, 必有必有a-1∈ ∈G, 使使a-1*a=e∈ ∈H, 所以所以∈ ∈R若若∈ ∈R,则则a-1 *b∈ ∈H，因为，因为H是是G的子群，的子群， 故故 (a-1*b)-1=b-1*a∈ ∈H，所以，所以, ∈ ∈R。
若若∈ ∈R, ∈ ∈R, 则则a-1*b∈ ∈H, b-1*c∈ ∈H, 故故a-1*b*b-1*c=a-1*c∈ ∈H, 所以所以∈ ∈R这就证明了这就证明了R是是G中中 的一个等价关系的一个等价关系5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 对于对于a∈ ∈G,我们有：我们有：b∈ ∈[a]R当且仅当当且仅当∈ ∈R,即当且仅当即当且仅当a-1*b∈ ∈H,而而a-1*b∈ ∈H就是就是b∈ ∈aH 因此，因此，[a]R=aHb)由于由于R是是G中的一个等价关系，所以必定将中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同划分成不同的等价类的等价类[a1]R,[a2]R,…，，[ak]R，，使得使得 G = 又因，又因，H中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素h1,h2,a∈ ∈G,必有必有a*h1≠a*h2,所以所以|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，，k因此 5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 推论推论1：： 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
任何质数阶的群不可能有非平凡子群这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾的阶是质数相矛盾5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 推论推论2：： 设设是是n阶有限群，那么对于任意的阶有限群，那么对于任意的a∈ ∈G,a的阶的阶必是必是n的因子且必有的因子且必有an =e,这里这里e是群是群中的幺元如中的幺元如果果n为质数，则为质数，则必是循环群必是循环群 这是因为，由这是因为，由G中的任意元素中的任意元素a生成的循环群生成的循环群 H={ai |i∈ ∈I,a∈ ∈G}，， 一定是一定是G的一个子群如果的一个子群如果H的阶是的阶是m，那么由定理，那么由定理5-5.3可知可知am=e, 即即a的阶等于的阶等于m由拉格朗日定理必有由拉格朗日定理必有n=mk, k∈ ∈I,因此，因此，a的阶的阶m是是n的因子，且有的因子，且有an =amk=(am)k =ek =e 。
因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同 5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 例题例题1：设：设K={e,a,b,c},在在K上定义二元运算上定义二元运算*如表如表5-7.1所示表表 5-7.1 * e a b ceabce a b ca e c bb c e ac b a e证明 是一个群，但不是循环群5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 证明：由表由表5-7.1可知，运算可知，运算*是封闭的和可结合的是封闭的和可结合的幺元是幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以，，每个元素的逆元是自身，所以，是群因为是群因为a,b,c都是二阶元，故都是二阶元，故不是循环群我们称不是循环群我们称为为Klein四元群Klein四元群的特点为：四元群的特点为： 群的阶数是群的阶数是4，除，除e以外以外的三个元素的三个元素a,b,c都是二阶元，且都是二阶元，且a*b=b*a=c, b*c=c*b=a, a*c=c*a=b5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 例题例题2：：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群。
四元群证明：设四阶群为设四阶群为<{e,a,b,c},*>，其中，其中e是幺元当四是幺元当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群当四阶群不含有四阶元素时，则由推论当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，可知，除幺元除幺元e外，外，a,b,c的阶一定都是的阶一定都是2a*b不可能不可能等于等于a,b或或e,否则将导致否则将导致b=e,a=c或或a=b的矛盾，的矛盾，所以所以a*b=c同样地有同样地有b*a=c以及以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a因此，这个群是因此，这个群是Klein四元群5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 作业作业 5-7P211 （（2）） （（5））5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理 计算机学院计算机学院 5-8 同态与同构 同态与同构这一节我们将讨论两个代数系统之间的联系这一节我们将讨论两个代数系统之间的联系着重研究两个代数系统之间的同态关系和同构关着重研究两个代数系统之间的同态关系和同构关系 计算机学院计算机学院 定义定义5-8.1：： 设设和和是两个代数系统，是两个代数系统，★★和和*分别是分别是A和和B上的二元（上的二元（n元）运算，设元）运算，设f是是从从A到到B的一个映射，使得对任意的的一个映射，使得对任意的a1,a2∈ ∈A, 有有f(a1★★a2)=f(a1)*f(a2)，，则称则称f为由为由到到的一个的一个同态映射同态映射(homomorphism mapping)，称，称同态于同态于,记作记作A~ ~B。
把把称为称为的一个的一个同态象同态象(image under homomorphism) 其中其中f(A)={x|x=f(a), a∈ ∈A} B5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例例1 考察代数系统考察代数系统，这里，这里I是整数集，是整数集， 是普通的乘法是普通的乘法运算如果我们对运算只感兴趣于正、负、零之间的特征运算如果我们对运算只感兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么代数系统区别，那么代数系统中运算结果的特征就可以用另中运算结果的特征就可以用另一个代数系统一个代数系统的运算结果来描述，其中的运算结果来描述，其中B={正，负，正，负，零零}，是定义在，是定义在B上的二元运算，如表上的二元运算，如表5-8.1所示所示表5-8.1⊙正 负 零正负零正 负 零负 正 零零 零 零5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 作映射作映射f: I→→B如下：如下： 正正 若若n>0f(n)= 负负 若若n<0 零零 若若n=0很明显，对于任意很明显，对于任意a,b∈ ∈I，有，有 f(a b)=f(a)⊙⊙f(b)因此，映射因此，映射f是由是由到到的一个同态。
的一个同态5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例例1 告诉我们，告诉我们，在在中研究运算结果的正、负、零的特征就等中研究运算结果的正、负、零的特征就等于在于在中的运算特征中的运算特征可以说，代数系统可以说，代数系统描述了描述了中运算结果中运算结果的这些基本特征的这些基本特征而这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要而这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义注：由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多注：由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多于一个的同态于一个的同态5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定义定义5-8.2：： 设设f是由是由到到的一个同态，的一个同态，如果如果f是从是从A到到B的一个满射，则的一个满射，则f称为满同态；称为满同态；如果如果f是从是从A到到B的一个入射，则的一个入射，则f 称为单一同称为单一同态；如果态；如果f是从是从A到到B的一个双射，则的一个双射，则f 称为称为同同构映射构映射，并称，并称和和是是同构同构的的(isomorphism)，记作，记作A≌ ≌B。
5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例例2.设设f: R→R定义为对任意定义为对任意x∈ ∈R，，f(x)=5x，那么，，那么，f是从是从到到的一个的一个单一同态f(x+y)=5x+y=5x · 5y=f(x) · f(y)f为入射因为为入射因为x1≠x2，则，则5x1 ≠5x2 , 即即f(x1)≠f(x2)又因为又因为5x>0 , 所以所以f 不是满射不是满射5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例例3.设设f: N→Nk定义为对任意的定义为对任意的x∈ ∈N，，f(x)=x mod k，那么，，那么，f是从是从到到的一个的一个满同态f(x+y)=(x+y) mod k =(x mod k) +k (y mod k) = f(x) +k f(y); 又又f是满射而而f(1)=f(K+1)=1 ∈ ∈ Nk, f 不是入射不是入射5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例例4. 设设H={x|x=dn, d是某一个正整数，是某一个正整数，n∈ ∈I}，定，定义映射义映射f:I→H为对任意为对任意n∈ ∈I，，f(n)=dn，那么，，那么，f是是到到的一个的一个同构。
所以所以I≌ ≌Hf(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n); 又又f是双射5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 例题例题5：： 设设A={a,b,c,d}，在，在A上定义一个二元运算如表上定义一个二元运算如表5-8.2所示又设所示又设B={αα,ββ,γγ,δδ},在在B上定义一个二元运上定义一个二元运算如表算如表5-8.3所示证明所示证明和和是同构的是同构的 表表 5-8.2 表表 5-8.3 ★a b c dabcda a b b c c d db b a a a a c cb b d d d d c ca a b b c c d d*α β γ δα β γ δαβγδα β γ δβ α α γβ δ δ γα β γ δ5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 证明：证明：考察映射考察映射f, 使得使得f(a)=α，，f(b)=β，，f(c)=γγ，，f(d)=δδ显然，显然，f是一个从是一个从A到到B的双射，由表的双射，由表5-8.2和表和表5-8.3，容易验，容易验证证f是由是由到到的一个同态。
因此，的一个同态因此，和和是同构的是同构的 如果考察映射如果考察映射g, 使得使得g(a)=δδ，，g(b)=γγ，，g(c)=β，，g(d)=α那么，那么，g也是由也是由到到的一个同构的一个同构由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它们之间的由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它们之间的同构映射可以是不唯一的同构映射可以是不唯一的5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定义定义5-8.3：： 设设是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果f是是由由到到的同态，则称的同态，则称f为自同态为自同态如果如果g是由是由到到的同构，则称的同构，则称g为自为自同构5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定理定理5-8.1：：设设G是代数系统的集合，则是代数系统的集合，则G中代数系中代数系统之间的同构关系是等价关系统之间的同构关系是等价关系证明：证明： 因为任何一个代数系统因为任何一个代数系统要以通过恒要以通过恒等映射与它自身同构，即自反性成立等映射与它自身同构，即自反性成立。
关于对称性，设关于对称性，设≌ ≌且有对应的同构映且有对应的同构映射射f, 因为因为f 的逆是由的逆是由到到的同构映射，的同构映射，即即≌ ≌最后，关于传递性，如果最后，关于传递性，如果f是由是由到到的同的同构映射，构映射，g是由是由到到的同构映射，那么的同构映射，那么gf就是就是到到的同构映射的同构映射5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 这是因为对于这是因为对于 a,b A, 有有f(a★★b)=f(a)*f(b), 而而 c,d B, 有有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以；所以 a,b A, 有有gf(a★★b)=g(f(a★★b))=g(f(a) *f(b)) =g(f(a))Δg(f(b))= gf(a)Δgf(b) 因此，同构关系是等价关系因此，同构关系是等价关系5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定理定理5-8.2：： 设设f 是从代数系统是从代数系统到代数系统到代数系统的同态映射。
的同态映射a）） 如果如果是半群，那么在是半群，那么在f 作用下，同态作用下，同态象象也是半群也是半群b）如果）如果是独异点，那么在是独异点，那么在f 作用下，同作用下，同态象态象也是独异点也是独异点c）如果）如果是群，那么在是群，那么在f 作用下，同态象作用下，同态象也是群5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 证明：证明：(a) 设设是半群且是半群且是一个代数系是一个代数系统，如果统，如果f是由是由到到的一个同态映射，的一个同态映射，则则f(A) B 对于任意的对于任意的a,b∈ ∈f(A)，必有，必有x,y∈ ∈A 使得使得 f(x)=a, f(y)=b在在A中，必有中，必有z=x★★y，所以，所以a*b=f(x)*f(y)=f(x★★y)=f(z)∈ ∈f(A)5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 最后，最后，*在在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任意的上是可结合的，这是因为：对于任意的a,b,c∈ ∈f(A),必有必有x,y,z∈ ∈A,使得使得f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c因为因为★★在在A上是可结合的，所以上是可结合的，所以a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z))=f(x)*f(y★★z) =f(x★★(y★★z))=f((x★★y)★★z) =f(x★★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z) =(a*b)*c因此，因此，是半群。
是半群5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 (b) 设设是独异点，是独异点，e是是A中的幺元，那么中的幺元，那么f(e)是是f(A)中的幺元这是因为对于任意的中的幺元这是因为对于任意的a∈ ∈f(A) 必有必有x∈ ∈A使使f(x)=a，所以，所以 a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★★e)=f(x)=a =f(e★★x)=f(e)*f(x)=f(e)*a 因此，因此，是独异点是独异点5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 (c) 设设是群对于任意的对于任意的a∈ ∈f(A)必有必有x∈ ∈A 使使f(x)=a，，因为因为是群，故是群，故x有逆元有逆元,且且f(x-1)∈ ∈f(A)，，而而 f(x)*f(x-1)=f(x★★x-1)=f(e)=f(x -1★★x) =f(x -1)*f(x)所以，所以，f(x-1)是是f(x)的逆元即的逆元即f(x-1)= f(x)-1因此，因此，是群5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定义定义5-8.4：：设设f是由群是由群到群到群的同的同态映射，态映射，e’是是G’中的幺元，记中的幺元，记Ker(f)={x|x∈ ∈G且且f(x)=e’}, 称称Ker(f)为同态映射为同态映射f 的核，简称的核，简称f 的的同态核。
同态核5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定理定理5-8.3：：设设f是由群是由群到群到群的同态映射，则的同态映射，则f的的同态核同态核K是是G的子群证明：证明： 由定理由定理5-8.2可知，可知，e =f(e) 设设k1,k2∈ ∈K,则则 f(k1★★k2)=f(k1)*f(k2)= e *e =e 故故k1★★k2∈ ∈K 对任意的对任意的k∈ ∈K,由定理由定理5-8.2可知可知 f(k-1)=f(k)-1=e -1=e 故故k-1∈ ∈K因此，因此，是是的子群 5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定义定义5-8.5：： 设设是一个代数系统，并设是一个代数系统，并设R是是A上的一个等价关系上的一个等价关系如果当如果当,∈ ∈R时，蕴涵着时，蕴涵着∈ ∈R, 则称则称R为为A上关于上关于★★的同余关系由这个同余关系的同余关系。
由这个同余关系将将A划分成的等价类就称为同余类划分成的等价类就称为同余类5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定理定理5-8.4：： 设设是一个代数系统，是一个代数系统，R是是A上上的一个同余关系，的一个同余关系，B={A1, A2, …, Ar}是由是由R诱诱导的导的A的一个划分，那么，必定存在新的代数的一个划分，那么，必定存在新的代数系统系统,它是它是的同态象的同态象证明：在证明：在B上定义二元运算上定义二元运算*为：为：对于任意的对于任意的Ai, Aj∈ ∈B,任取任取a1∈ ∈Ai, a2∈ ∈Aj,如果如果a1★★a2∈ ∈Ak, 则则Ai*Aj=Ak由于由于R是是A上的同余关系，所以，以上定义的上的同余关系，所以，以上定义的Ai*Aj=Ak是唯一的是唯一的5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 作映射作映射 f(a)=Ai ，，a∈ ∈Ai 显然，显然，f是从是从A到到B的满映射的满映射对于任意的对于任意的x,y∈ ∈A, x,y必属于必属于B中的某两个同余类，不妨中的某两个同余类，不妨设设x∈ ∈Ai,y∈ ∈Aj,1≤i,j≤r;同时，同时，x★★y必属于必属于B中某个同余类，中某个同余类，不妨设不妨设x★★y∈ ∈Ak,于是，就有于是，就有 f(x★★y) = Ak = Ai*Aj = f(x)*f(y)因此，因此，f是由是由到到的满同态，即的满同态，即是是的同态象。
的同态象5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 定理定理5-8.5：： 设设f是由是由到到的一个同态映射，如果在的一个同态映射，如果在A上定义二元关系上定义二元关系R为：为：∈ ∈R当且仅当当且仅当f(a)=f(b)，那么，，那么，R是是A上的一个同余关系上的一个同余关系证明： 因为因为f(a)=f(a),所以所以∈ ∈R 若若∈ ∈R,则则f(a)=f(b)即即f(b)=f(a),所以所以∈ ∈R 若若∈ ∈R,∈ ∈R则则f(a)=f(b)=f(c),所以所以∈ ∈R最后，又因为若又因为若∈ ∈R,∈ ∈R,则有则有 f(a★★c)=f(a)*f(c)=f(b)*f(d)=f(b★★d) 所以，所以，∈ ∈R 因此，因此，R是是A上的同余关系上的同余关系5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 形象地说，一个代数系统的同态象可以看作形象地说，一个代数系统的同态象可以看作是当抽去该系统中某些元素的次要特性的情况下，是当抽去该系统中某些元素的次要特性的情况下，对该系统的一种粗糙描述。
如果我们把属于同一对该系统的一种粗糙描述如果我们把属于同一个同余类的元素看作是没有区别的，那么原系统个同余类的元素看作是没有区别的，那么原系统的性态可以用同余类之间的相互关系来描述的性态可以用同余类之间的相互关系来描述5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 作业（作业（5-8））P221 (2), (3)5-8 同态与同构 同态与同构 计算机学院计算机学院 5-9 环与域 环与域以上，我们已初步研究了具有一个二元运算的以上，我们已初步研究了具有一个二元运算的代数系统代数系统——半群、独异点、群接着，我们将半群、独异点、群接着，我们将讨论具有两个二元运算的代数系统对于给定的讨论具有两个二元运算的代数系统对于给定的两个代数系统两个代数系统和和，容易将它们组合成，容易将它们组合成一个具有两个二元运算的代数系统一个具有两个二元运算的代数系统我们感兴趣于两个二元运算感兴趣于两个二元运算★★和和*之间有联系的代数系之间有联系的代数系统统，通常，我们把一个二元运算，通常，我们把一个二元运算★★称为称为“加法加法”，把第二个运算，把第二个运算*称为称为“乘法乘法”。
计算机学院计算机学院 例如，具有加法和乘法这两个二元运算的实数系例如，具有加法和乘法这两个二元运算的实数系统统和整数系统和整数系统都是我们很熟悉都是我们很熟悉的代数系统的代数系统它们运算之间的联系是乘法对加法满足分配律它们运算之间的联系是乘法对加法满足分配律5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定义定义5-9.1：： 设设是一个代数系统，如果满足：是一个代数系统，如果满足：1.是阿贝尔群是阿贝尔群2.是半群3.运算运算*对于运算对于运算★★是可分配的是可分配的则称则称是环根据定义可以清楚地看到，整数集合、有理数集合、偶数集根据定义可以清楚地看到，整数集合、有理数集合、偶数集合、复数集合以及定义在这些集合上的普通加法和乘法运算合、复数集合以及定义在这些集合上的普通加法和乘法运算都是可构成环的例子都是可构成环的例子5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 例例1 系数属于实数的所有系数属于实数的所有x的多项式所组成的集的多项式所组成的集合记作合记作R[x]，那么，，那么，R[x]关于多项式的加法和关于多项式的加法和乘法构成一个环。
乘法构成一个环例例2 元素属于实数的所有元素属于实数的所有n阶矩阵所组成的集合阶矩阵所组成的集合记作记作(R)n，那么，，那么，(R)n关于矩阵的加法和乘法关于矩阵的加法和乘法构成一个环构成一个环5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定理定理5-9.1：：设设是一个环，则对于任意的是一个环，则对于任意的a,b,c A，有，有1. a · = · a = 2. a·(-b) =(-a) ·b = -(a·b)3. (-a) · (-b) = a·b4. a·(b-c) = a·b - a·c5. (b-c) ·a =b·a -c·a其中，其中， 是加法幺元，是加法幺元，- a是是a的加法逆元，并将的加法逆元，并将a+(-b)记为记为a-b我们还可以根据我们还可以根据的结构来定义一些常见的特殊的结构来定义一些常见的特殊环5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定义定义5-9.2：：设设是环如果是环如果是可交换的，则称是可交换的，则称是交换环如果是交换环如果含有幺元，则称含有幺元，则称是含幺环。
是含幺环设设S是一个集合，是一个集合，P(S)是它的幂集，如果在是它的幂集，如果在P(S)上定义二元运上定义二元运算算+和和·如下：对任意的如下：对任意的A，，B P(S) A+B={x|(x S) (x A x B) (x A B)} A·B= A B容易证明容易证明是一个环，称它为是一个环，称它为S的子集环的子集环由于集合交运算是可交换的，且由于集合交运算是可交换的，且含有幺元含有幺元S，因此子，因此子集环是含幺交换环集环是含幺交换环5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定义定义5-9.3：：设设 是一个代数系统，如果满足：是一个代数系统，如果满足：1．．是阿贝尔群是阿贝尔群2. 是可交换独异点，且无零因子，即对任意是可交换独异点，且无零因子，即对任意的的a, b A , a≠ , b≠ , 必有必有a · b≠ 3. 运算运算 · 对于运算对于运算 + 是可分配的是可分配的则称则称是整环。
是整环5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 下面我们来考察下面我们来考察是否为整环是否为整环因为因为是一个具有加法幺元是一个具有加法幺元0，且对任意，且对任意n有逆元有逆元-n的阿贝尔群；的阿贝尔群；是可交换独异点，是可交换独异点，且满足无零因子条件；且满足无零因子条件；运算运算 · 对于运算对于运算 + 是可分配的，是可分配的，故故是整环5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定理定理5-9.2：：在整环在整环中的无零因子条件等价于中的无零因子条件等价于乘法消去律，即对于乘法消去律，即对于c≠ 和和c · a=c · b，必有，必有a=b证明：证明： “”若无零因子并设若无零因子并设c≠ 和和c · a=c · b，， 则有则有 c ·a - c · b = c · (a-b)= 所以，必有所以，必有a=b “” 反之，若消去律成立，反之，若消去律成立， 设设a≠ ，，a · b= 则则a · b= a · 消去消去a 即得即得b= 。
5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定义定义5-9.4：：设设 是一个代数系统，如果满足：是一个代数系统，如果满足：1．．是阿贝尔群是阿贝尔群2．．是阿贝尔群是阿贝尔群3．运算．运算 · 对于运算对于运算 + 是可分配的是可分配的则称则称是域例如，例如，，，，，都是域，这里，都是域，这里，Q为有理数集合，为有理数集合，R是实数集合，是实数集合，C是复数集合，而是复数集合，而+, ·分别是各数集上的加法和乘法运算分别是各数集上的加法和乘法运算必须指出，是整环，但不是域，是整环，但不是域，因为因为不是群这说明，整环不一定是域这说明，整环不一定是域5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定理定理5-9.4：：有限整环必定是域有限整环必定是域证明：见证明：见P226定义定义5-9.5：：设设 和和是两个代数系统，如是两个代数系统，如果一个从果一个从A到到B得映射得映射f，满足如下条件：，满足如下条件： 对于任意的对于任意的a,b A，有，有 f(a+b)=f(a) f(b) f(a·b)=f(a)⊙⊙f(b) 则称则称f为由为由 到到的一个同态映射，并称的一个同态映射，并称是是的同态象。
的同态象5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 定理定理5-9.5：：任一环的同态象是一个环任一环的同态象是一个环证明：证明：P228 5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 作业：作业：(5-9)(5-9)P228 (4) a) b) (7) a) c) (6) 选作选作5-9 环与域 环与域 计算机学院计算机学院 结结 束束谢 谢 ! 第五章第五章 代数结构（代数结构（Algebraic Structure ）） 。
