高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）数学归纳法(理).pdf

第七节数学归纳法(理)1基础却织妥打牢强 双 基I 固 本 源I 得 基 础 分I 掌握程度 知识能否忆起数学归纳法一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当取第一个值Ao So C N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设=A(A 2 g C N*)时命题成立，证明当 =4+1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从优开始的所有正整数都成立.上述证明方法叫做数学归纳 法.小题能否全取1.用数学归纳法证明 23),第一步应验证()A.77=1 B.77=2C .77=3 D.7 7 =4答 案：C1 1 1 1(1 1 n2.(教材习题改编)已知为正偶数，用数学归纳法证明1-5+-1+-力=2后 +力+引时，若已假设=A(A、2 且 A 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A.=A+1 时等式成立 B.=A+2 时等式成立C .=2 4+2 时等式成立 D.=2(4+2)时等式成立解 析：选 B因为为偶数，故假设=在成立后，再证=4+2 时等式成立.，、1 1 1 13.已 知 f()=+=+.+滔贝心)A.f(z?)中共有项,当=2 时，A2)=1+B.()中共有+1 项，当=2 时，汽2)=C .()中共有“2-A 项，当=2 时，y(2)=1+1乙 OD.f()中共有 项，当=2 时，r(2)=|+1+71-31-4+1-3+1-21-4+1-3解 析：，选 D由 F 可知，共有项，且=2 时，A2)=1+4.用数学归纳法证明1+2+22+2小=22一1(7)的过程中，在验证=1 时，左端计算所得的项为.答 案：1+2+2?5.用数学归纳法证明：“1+J+J+9 二 包 D ，由 =A(A 1)不等式成立，推 证n=k+l时，左 边 应 增 加 的 项 的 项 数 是.解 析：当 A=A 时，不等式为1+/J+J 不Z o Z 1贝 1 J n=k+1 时，左边应为：+1-3+1-2+IX124+1-2A+IX1-2A+则增加的项数为2-二 1-2+1=2答 案：2*数学归纳法的应用(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用,在=4+1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从A 到 4+1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.禺 高频考点要通关、一、抓考点|学技法|得 拔 高 分|掌握程度*-用数学归纳法证明恒等式典题导入+13-+1_ 2+11-77求 证:f +f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(22,EN ).自主解答(1)当=2 时，左 边=(1)=1,右边=2 0+9 _ 1)=1,左边=右边，等式成立.(2)假设A=(2 2,AEN*)时，结论成立，即/(I)+/(2)+fk-1)=-1,那么，当A=A+1时,r(l)+A2)+f(k-1)+f(A)=klf(%-1 +f(A)=(k+l)f(A)-k-1-=(A+1)f k+1-k=(A+l)f(A+1)-(A+1)=(A+l)/U+l)-1,.当=1+1 时结论仍然成立.由 (2)可 知：f +f +f E-l)=Hf0/7GN*).由题悟法用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值乃是多少，同时第二步由 到n=k+1 时要充分利用假设，不利用=时的假设去证明，就不是数学归纳法.以题试法1.用数学归纳法证明：对任意的“6N*,为+义+1 =?1 A a O A 0 Z77 1 ZZ7 十 1 Z77 十 1证 明：当=1 时，左边=7 =)右边左边=右边，所以等式成立.1 A o o Z A 1+1 J(2)假设当 =A(#EN*且#21)时等式成立，即有1X 3 3X 5 2 k-1 2A+1 2 A+1 2A+3111k1X 33X 5 丁2 k-1 2A+1-2 +r则当n=k+1 时，1111k k 2 k+3+1-_ i _-二-2,k+1 2 k+1 2A+3 2 +1 24+32 J(+3 k+1 A+l k+1=2 k+1 2 k+3 =2 k+3=2 k+1 +T 所以当=4+1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切“EN*等式都成立.3用数学归纳法证明不等式典题导入 例 2 等比数列U的前项和为S,已知对任意的Z 7GN*,点(q S)均在函数y=lf+r(b。

且 6W1,b,r 均为常数)的图象上.求 r的 值；Z?i +1&+1 4+1(2)当 6=2 时，记 4=2(l o g 2a+l)(EN*),证 明：对任意的 GN*,不等式F-.T-D Un业+1成 立.自主解答(1)由题意，S=bn+r,当22 时，=+所以 a =S-S.i =(力-1).由于60且 6W1,所以时，&是 以 6 为公比的等比数列.又 a i =6+r,a?=bb-1),&b b 1 -7=Z,即h+r =b 解得 r 二 一 La l U I 证 明：由(1)知 a二2;因此 4=2T?(77EN*),2+1 4+1所证不等式为F.-2+12 nyjn+1.当=1 时，左 式=|,右 式=/，左式右式，所以结论成立.假设=处孑21,4C N*)时结论成立，即p.-.则当=4+1 时,2+1 4+1 2 A+1 2A+3,-2 k+3 2 k+3 F2-+1 小+2 A+1=反不，要证当=4+1 时结论成立,_ 24+3,只需证匚-；小+2.Z A/K+124+3 i-即证丁4+1 E24+3由 基 本 不 等 式 知 二4+1+2A+2X4+1k+2成立,所以，当=4+1 时，结论成立.Z?i +1&+1由（可知，C N*时，不等式F-4+1bn、+1成 立.由题悟法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题当遇到与正整数有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由=成立，推证=+1 时也成立，证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法等证明.以题试法2.用数学归纳法证明：1+吴 最+=2-%E N*,启 2）.明证寸0/7-2当3-2-1-22-5-4-1-于+假设刀二A 时命题成立,即1+m+,2-/,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1当 n=k+1 时，1+不+&+72+2 2-T+2 2-T+-=2-7+7-7 T2 3 k k+1 k k+1 k k k+1 k k k+1=2-女+命题成立.由(1)(2)知原不等式在“EN*,时均成立.T 归纳一猜想一证明典题导入 例3 （天津模拟）如图，4（不，%）,乌（2,外），P人Xn、%）（0%K%）是曲线C：/=3x（介 0）上的刀个点，点 4（”。

/=1,2,3,）在 x轴的正半轴上，且 4-14R 是正三角形（4 是坐标原点）.（1）与出石1、&、乃3；求出点4（或0）（N*）的横坐标为关于n的表达式并证明.自 主 解 答(1)2=2,a2=6,氏=/.3，n-1 3，n I-(2)依题息，得x =-,%=小n o-a?-1,由,此,及K9 =3 为得I1/f3 -3-，n-3，a-1 I =-3(,5 n+Sn-l、),即(a -&-1)=2(82-1+a).由 可 猜 想：为=(刀+1)(N*).下面用数学归纳法予以证明：当二1时，命题显然成立；假定当二A时命题成立，即 有a=A(A+l),则当=A+1时，由归纳假设及(8+i -a)2=2(a+a+i),得&+i k(k+1)2=2 _k(k+1)+a，k+i,即 A+2(便+A+1)&+i+_kk 1),(A+1)(A+2)=0,解之得，&+1=(+1)(攵+2)(a+户 以4-1)为不合题意，舍去)，即 当=A+1时成立.由知，命题 成 立.由题悟法“归纳一一猜想一一证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式.以题试.法3.(北京海淀模拟)数列 2 满 足S =2-z(EN*)(1)计 算4，3 2,并由此猜想通项公式为；(2)用数学归纳法证明中的猜想.解：(1)当=1 时，a =S =2-a,ai=l.当=2时,&+/=2 X 2-的3 3,2 当=3时&+及 +&二&二 2 X 3 7.为 二当 二4时,4 +/+&+a =2 =2乂4 一彻15.,.3 4=.O2 -1*由此猜想二二2-1 5 G N）.证 明：当刀=1 时，=1,结论成立._*2-1 假 设 =且 左 N*）时，结论成立，即为二或k，那么=4+1 时,a，k+1 Sk+1-=.2（左+1）4+1-2攵+为=2+ak-4+1,2ak+i=2+d,k2-1O 2+-4-1 OA-+1 12+&N 2-1 a+i=一2 二 2k,这表明=A+1时，结论成立，2 -1、由知猜想区二2 T成 立.用I 解题训练要高吗-抓 速 度 I抓 规 范 I拒绝眼高手低I掌握程度4级 全 员 必 做 题1.如果命题O 对=（ACN*）成立，贝 IJ它对=A+2也 成 立.若 0 切对=2 也成立，则下列结论正确的是（）A.0（）对所有正整数都成立B.0（）对所有正偶数都成立C.0（八）对所有正奇数都成立D .0（）对所有自然数都成立解 析：选 B由题意 =/成立，贝 1 J =4+2 也成立，又=2 时成立，则 0 5）对所有正偶数都成立.1 1 1 1972.用数学归纳法证明不等式1+1+声 M（eN*）成立，其初始值最小应取（）A.7B.8C.9D .10解 析：选 B可逐个验证，=8 成立.3.（海南三亚二模）用数学归纳法证明“1+2+2、+2T=2-15GN*）”的过程中，第二步=发时等式成立，贝 IJ当=#+1 时，应得到（）A.1+2+22+-+2i-2+2*T=2*s-1B.l+2+22+-+2A+2i+1=2A-l+2*+1C .l +2+22+2*T+2i+1=2i+1-1D.1+2+2?+2 +2*=2*S-l解 析：选 D由条件知，左边是从22一 直 到 都 是 连 续 的，因此当 =4+1 时，左边应为1+2+2、+2、2,而右边应为2-1.4.凸 多 边 形 有 条 对 角 线，则凸5+1)边形的对角线的条数?5+1)为()A.f(n)+1 B.fn+nC .f(ii)+72-1 D.fn+n-2解 析：选 C 边数增加1,顶点也相应增加1 个，它与和它不相邻的-2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加-1 条.5.在数列 a 中，.3 1 且 S =(2-1)为，通过求血 改、猜想为的表达式为()1 1A -R-n-1 n+1 2 n 2+11 1C-n -2 n-1 2/7+1 2/7+1 2/7+2解 析：选 C 由 a=鼻，5 二 (2-1)品求得032=15=3X 5 a 3=35=5X 7 a =6=7 X9,猜想 当2 n 1 2z?+16.下列代数式(其中止N*)能被9整除的是(A.6+6 7kB.2+7C ,2(2+7-)D.3(2+7)解 析：选 D 当 =1 时，显然只有3(2+7今能被9整除.(2)假设当A=(GN*)时，命题成立，即 3(2+7)能被9整除，那么3(2+7小)=21(2+7)-36.这就是说，k=77+1时命题也成立.由(1)(2)可知，命题对任何4GN*都成立.7 .(-徐州模拟)用数学归纳法证明当n为正奇数时，/+/能 被 x。