毕业论文 - 基于MATLAB的李萨如图形研究.doc

目录1.引言 12.李萨如图形的物理模型 22.1李萨如图形的形成原理 22.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形 32.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释 42.4李萨如图形中振子的能量 43.MATLAB模拟李萨如图形 63.1 MATLAB软件的简单介绍 63.2 MATLAB模拟两列正弦波合成李萨如图形 63.2.1物理建模 63.2.2程序设计 63.2.3 规律分析以及现象说明 93.3 广义李萨如图形的合成 93.3.1单一方向上信号振幅衰减对李萨如图形的影响 93.3.2单一方向上信号频率衰减对李萨如图形的影响 103.3.3信号衰减对振子能量的影响 124.广义李萨如图形在界面设计工具箱中的模拟 144.1 用户界面介绍 144.2 部分主要代码 154.3 操作和程序代码的说明 164.4 simulink合成李萨如图形 18结束语 19参考文献 19基于MATLAB的李萨如图形研究摘要：质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形通过MATLAB软件可以绘制李萨如图形，由花样特征以及能量可以判断出信号强度、振幅的衰减。

利用MATLAB自带的guide工具箱，设计出了李萨如图形绘制平台，并可以同时绘制含三角波、方波的广义李萨如图形关键词：Matlab；李萨如图形；波动abstract:.keywords: Matlab； Lissajous‘ figures；Wave211.引言质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合成振动轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形（Lissajous‘ figures）[1-3]法国科学家李萨如最初通过音叉的振动得到李萨如图形由于李萨如图形的花样与振动频率有关，因此可以通过李萨如图形的花样判断二分振动的频率比，如果知道某一分振动的频率，则由已知频率可测量未知频率，这在光学测量[4]、电学测量[5]、核磁共振[10]技术中占有重要的地位，可以达到很高的精度电学测量中，我们使用示波器得到李萨如图形，并根据边缘切点的数量比得到待测信号和基准信号的频率比，并由此得出待测信号的频率但是在实际的理论研究中，我们希望得到各种频率的花样，甚至得到非理想正弦波情况下的李萨如图形，即广义的李萨如图形[6]这样的情况下，由于实验设备本身的电漂，温漂，显示图像不稳定，实验不易成功，而且信号的强度、频率都不容易控制，为了方便教学研究，许多教学工作者通过FLASH等软件制作了动画，以便学生能够直观地认识李萨如图形的形成过程以及花样特点，但是对于非正弦型的波动无法合成，这种情况下，用计算机模拟实验就不失为一种简单高效的方法[7]。

MATLAB R2010a软件作为模拟仿真实验工具，可以全面、系统地绘制、分析各种李萨如图形利用MATLAB R2012a的用户界面设计工具箱guide，设计出了界面简单、功能比较全面的模拟仿真平台，用一种更为高效的手段研究李萨如图形的特点2.李萨如图形的物理模型在漆安慎的力学教材[2]中，李萨如图形是在波动的章节里介绍了李萨如图形，通过李萨如图形来加深对波动叠加的理解要得到李萨如图形，机械装置一般选择摆，但是操作难度较大，所以大多情况下，选择示波器来演示李萨如图形不论选择哪种方式，都是通过两列正弦波（或余弦波）的合成来演示李萨如图形对于不太复杂的图形，在数学上可以通过参数方程来定义xθ=asin⁡(θ)yθ=bsin(nθ+φ)图2.1 示波器、计算机绘制、激光演示得到的李萨如图形2.1李萨如图形的形成原理假定有一质点独立地参与了两个相互垂直方向的振动，不考虑其势能，并且在每个方向上满足简谐振动的条件在两个方向上分别满足如下振动形式在x方向上x=Axsin(ωxt+φx) （2-1）在y方向上y=Aysin⁡(ωyt+φy)（2-2）我们用两个向量表示x、y方向上质点的振动，如图1所示，两个随时间旋转的向量末端在坐标内确定的点p的轨迹就是李萨如图形。

pXYωyωx图2.2 向量合成李萨如图形2.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形在李萨如图形的研究中，两列完全相同的正弦波的合成，往往能得到稳定而易于分析的图形花样，而且在理论推导上也具有简明的特点，易于我们做理论分析和实验模拟，在许多版本的力学教材中，也是以两列完全相同的正弦波合成为例，介绍了李萨如图形的花样，以及根据花样确定频率比，相位差等下面我们以此为例，介绍李萨如图形的方程以及推导过程假定有一质点独立地参与了两个相互垂直方向上的振动，并且分别满足简谐振动规律质点在x方向的位移随时间的变化x=Asin(ωt+α)（2-3）质点在y方向的位移随时间的变化y=Bsin(ωt+β)（2-4）式（2-3）（2-4）展开以后并适当变形得到xA=sinωt cosα+cosωt sinα（2-5）yB=sinωt cosβ+cosωt sinβ（2-6）式（2-5）sinβ-式（2-6）sinα得到xAsinβ-yBsinα=sinωt sin(β-α)（2-7）式（2-5）cosβ-式（2-6）cosα得到xAcosβ-yBcosα=cosωt sinα-β（2-8）式（2-7）平方与式（2-8）平方相加x2A2+y2B2-2xyABcosα-β=sin2(α-β)（2-9）分析得到如下结果当α-β的值为π2kπ，k=0、1、2……时，合成的轨迹为长轴为A（或B），短轴为B（或A）的椭圆，如果A、B相等，则为圆形。

当α-β的值为kπ，k=0、1、2……时，合成的轨迹为一条线段，斜率为BA备注：此方程的得出，是两个方向的振动频率比为1:1的情况，不具有普遍性[10]2.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释从质点振动的式（2-1）、式（2-2），我们可以看出，x、y两个方向上，质点的振动都是周期性的，其合成的结果也必定是周期性的在x方向上，质点的运动周期为Tx=2πωx，在y方向上，质点的运动周期Ty=2πωy也就是说，x方向上，每经过Tx时间质点回到原点，y方向上，每经过Ty的时间质点回到原点每经过Tx和Ty的最小公倍数T，质点总能在两个方向上同时回到原点，进而进行下一个周期的循环这样，质点的轨迹就会形成一条闭合的曲线，就是李萨如图形在式（2-9）的结果讨论中当α-β的值为kπ，k=0、1、2……时，合成的轨迹为一条线段，斜率为BA质点在这条直线上往复运动，同样可以适用上述解释2.4李萨如图形中振子的能量我们考虑二维情况下振子的能量，振子的质量设为m，振子所在平面为0势能面x、y方向上振子的振动x=Asin(ωxt+α)（2-5）y=Bsin(ωyt+β)（2-6）x、y方向上振子的速度x=Aωxcos(ωxt+α)（2-7）y=Bωycos(ωyt+β)（2-8）则振子的动能Tt=12mx2+y2（2-9） =12mA2ωx2cos2ωxt+α+B2ωy2cos2ωyt+β一个振动周期内，振子的平均能量T=12m0Tx2+y2dt（2-10） =12m0TAωxcos(ωxt+α)2+Bωycos(ωyt+β)2dt =14mAωx2+Bωy2拓展到三维的情况T=14mAωx2+Bωy2+Cωz2（2-10）可见，不考虑势能的情况下，振子能量就是线性谐振子的动能。

我们可以通过对振子动能的研究，得到振子动力学行为，同时，在广义的李萨如图形中，对振子能量的研究，李萨如图形的衰减特性有很大的帮助3.MATLAB模拟李萨如图形3.1 MATLAB软件的简单介绍MATLAB软件是一款强大的数据处理软件，向量化编程以及强大的作图功能为理论研究提供了重要的帮助MATLAB在科学计算、建模仿真、实时控制等领域日益发挥着不可或缺的作用利用MATLAB的计算机语言进行模拟分析，需要首先建立明确的物理模型，写出相应的方程，然后给出参数并编写程序，经过计算才能最终得到可视化的物理结果3.2 MATLAB模拟两列正弦波合成李萨如图形诸多版本的教材中仍然以正弦波或者与余弦波的合成来介绍李萨如图形，因为简谐振动是物理模型中振动的常见振动形式在示波器演示李萨如图形的实验中，正是以生活中常见的正弦交流电为基本的模型进行演示，得到对称性非常强的花样首先从比较简单的正弦波进行模拟，也能够在原理上深入理解李萨如图形的合成，也能对MATLAB的模拟过程有初步的认识，方便对广义上的李萨如合成的继续研究3.2.1物理建模由式（2-1）、式（2-2）可知，质点独立参与了x、y两个方向上的简谐振动，因此，只需要将x方向上振动的位移作为横坐标，以相同时刻y方向上的位移作为纵坐标，在图形窗口绘制图形，就可以得到李萨如图形。

3.2.2程序设计程序一的设计考虑率了李萨如图形的实际应用李萨如图形最初是用来测量音叉的频率，而测量音叉的频率需要一个波形单一而且频率已知的标准音叉，进而通过波形来判断待测音叉与标准音叉的频率比，最后进过相应的计算就能得到待测音叉的频率。