2020年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析（数学 试卷二）.pdf

2020 年数二真题一、选择题(1)当 x 0+时，下列无穷小量中阶最高的是 ()(A)x0(et2 1)dt.(B)x0ln(1 +t3)dt.(C)sinx0sint2dt.(D)1cosx0sin3tdt.(2)函数 f(x) =e1x1ln|1+x|(ex1)(x2)的第二类间断点的个数为 ()(A)1 个.(B)2 个.(C)3 个.(D)4 个.(3)10arcsinxx(1x)dx =()(A)24.(B)28.(C)4.(D)8.(4)已知函数 f(x) = x2ln(1 x)，当 n 3 时，f(n)(0) =()(A)n!n2.(B)n!n2.(C)(n2)!n.(D)(n2)!n.(5) 关于函数 f(x,y) =xy,xy = 0,x,y = 0,y,x = 0,给出下列结论：1 fx?(0,0)= 1；2 2fxy?(0,0)= 1；3 lim(x,y)(0,0)f(x,y) =0； 4 limy0limx0f(x,y) = 0. 其中正确的个数为 ()(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.(6)设函数 f(x) 在区间 2,2 上可导，且 f(x) f(x) 0，则 ()(A)f(2)f(1) 1.(B)f(0)f(1) e.(C)f(1)f(1) e2.(D)f(2)f(1) 0) 的斜渐近线方程.(16)已知函数 f(x) 连续且 limx0f(x)x= 1，g(x) =10f(xt)dt，求 g(x) 并证明 g(x) 在 x = 0 处连续.(17)求函数 f(x,y) = x3+ 8y3 xy 的极值.(18)设函数 f(x) 的定义域为 (0,+) 且满足 2f(x) + x2f(1x)=x2+2x1+x2. 求 f(x)，并求曲线 y = f(x)，y =12，y =32及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.(19)设平面区域 D 由直线 x = 1，x = 2，y = x 与 x 轴围成. 计算Dx2+y2xdxdy.(20)设函数 f(x) =x1et2dt.(I) 证明：存在 (1,2)，使得 f() = (2 )e2.(II) 证明：存在 (1,2)，使得 f(2) = ln2 e2.(21)设函数 f(x) 可导，且 f(x) 0，曲线 y = f(x)(x 0) 经过坐标原点 O，M 为其上任意一点，点 M 处的切线与 x 轴交于点 T，又 MP 垂直 x 轴于点 P. 已知由曲线 y = f(x)，直线 MP 以及 x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为 3 : 2，求满足上述条件的曲线方程.(22)设二次型 f(x1,x2,x3) = x21+ x22+ x23+ 2ax1x2+ 2ax1x3+ 2ax2x3经过可逆线性变换x1x2x3=Py1y2y3化为二次型 g(y1,y2,y3) = y21+ y22+ 4y23+ 2y1y2.(I) 求 a 的值.(II) 求可逆矩阵 P.(23)设 A 为 2 阶矩阵，P = (,A)，其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.(I) 证明 P 为可逆矩阵.(II) 若 A2 + A 6 = 0，求 P1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.2020年考研数学二真题解析【评注】如果是解答题，你应当如何处理？(6)(答案】D 杠1本题考查P-1AP =A的基本知识.P特征向,A一特征值且P与A的位置对应要正确因a1 ,a2贮=l的线性无关的特征向量，a3是入=-1的特征向批) . (C) 又对角矩阵A-l于是a. +a3不是A的特征向量，排除（-1 ，故P中特征向节应当是入= 1从=-1,A = 1的顺序，排除(B).(D) I 升】=-1【评注】也可利用全微分形式不变性求dz.(10)【答【解析】y= x-l 等式X+ y + e2xy = 0两端对工求导得1 + y+ e2.,2(y + xy) = 0 6 将x=O,y=-1代入上式得y(0)= 1, 故切线方程为y= x-1 (11)【答案】8【解析】800 800 由 Q(P)=-2, 可得p =-3.P+3 Q+2 利润函数L(Q)= PQ -C(Q) = ( 800 Q+2 -3)Q-(lOO+l3Q)1600 =-16Q+700Q+2 LCQ) = 1600(Q+ 2)2 -16 = 0解得Q = 8,L(Q) -3200 (Q+2)3 LC8) O, 当Q=8时，L(Q)最大(12)【答案】亢In 2-六3 【解析】V=2穴(x,y)du= 2寸xdu= 2六LdxJ尸xdy=2寸二立dx= 2六-ln(l+x2) -王3 o 1 + x2 2 J ; 6 J I =六In 2-王3 yy=f X (13)【答案】【解析】由行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的一1倍加到2列，4列的一1倍加到3列a2(a2 -4) a 。

11 a 1 -1-11a ll a21: aa l01 a 1 o_oa 2 = a2 (a2 -4) a a l a0_oa20 02 a l o_oa 评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o,(14)【答案】8-7 X l2 34 5 00 1 1 4 PY = l = X-= n=O 2 8 7 【解析】pl-2 1-22 1-23r 2 1-1 4 2 PY=2 =-X= -,2 7 7 Y 1 2 l 2 1 4 PY = O =X-=-4 7 7 Y1 2 p1-7 4-7 2-7 4 2 8 EY=1x-+2x=-7 7 7. 7 。