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第八章第八章 衍射线的指标化及点阵衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定型式和晶胞参数的测定————系统消光的应用系统消光的应用衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件8.1 8.1 产生衍射晶面的判断产生衍射晶面的判断•已知晶体的点阵型式时，可判断产生衍射的晶面；已知晶体的点阵型式时，可判断产生衍射的晶面； 例如例如AgCl属立方面心结构，在下列面网指数中属立方面心结构，在下列面网指数中判断哪些晶面可产生衍射判断哪些晶面可产生衍射 100 010 001 110 101 011 111 120 102 012 200 210 201 021 220 221 202 212 122 121 112 211 222 311 ………… 由面心格子消光规律可知，只有由面心格子消光规律可知，只有h、、k、、l全奇或全奇或全偶的衍射才能出现，故全偶的衍射才能出现，故(111) (200) (220) (202) (222) (311)晶面产生的衍射可被观测到。

晶面产生的衍射可被观测到★ ★ 若已知若已知 衍射指标，由消光规律可判断晶体所属的衍射指标，由消光规律可判断晶体所属的点阵型式点阵型式 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件8.2 8.2 衍射线的指标化衍射线的指标化•指标化就是求出衍射图上各衍射线的指标目指标化就是求出衍射图上各衍射线的指标目的是测定晶胞参数、检查衍射图中是否存在杂的是测定晶胞参数、检查衍射图中是否存在杂线、研究晶体的结构指标化分两种情况：线、研究晶体的结构指标化分两种情况：（（1）已知结构：当样品物相已知，所属晶系和）已知结构：当样品物相已知，所属晶系和点阵参数已知时，可将已知的点阵参数代入面点阵参数已知时，可将已知的点阵参数代入面间距公式，算出与各个可能间距公式，算出与各个可能(hkl)晶面对应的晶面对应的d值，与实测出的各衍射线的值，与实测出的各衍射线的d值比较，面间距值比较，面间距相同的指标应相同，由此便可标出各衍射线的相同的指标应相同，由此便可标出各衍射线的指数或与该物相已指标化的指数或与该物相已指标化的PDF卡对比，将卡对比，将对应衍射线指标化。

对应衍射线指标化衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件（（2 2）未知结构）未知结构 需按一般的指标化方法进行，需按一般的指标化方法进行，将各晶系面间距公式分别代入简化将各晶系面间距公式分别代入简化BraggBragg方程，可方程，可得得衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件8.2.1 立方晶系衍射线的指标化立方晶系衍射线的指标化 对立方晶系，特征比例数列（附录对立方晶系，特征比例数列（附录8）为：）为：点阵型式点阵型式h2+k2+l2规规 律律P1:2:3:4:5:6:8:9:10:11:12:13:14:16…1:2:3:4:5:6:8:9:10:11:12:13:14:16…缺缺7,15,23,287,15,23,28等等I2:4:6:8:10:12:14:16:18:20:22…2:4:6:8:10:12:14:16:18:20:22…除以除以2 2后不缺后不缺7 7等等F3:4:8:11:12:16:19:20:24…3:4:8:11:12:16:19:20:24…两密一稀两密一稀,3,4,3,4都有都有金刚石型金刚石型3:8:11:16:19…3:8:11:16:19…有有3 3没没4 4立方晶系不消光衍射指数平方和数列与点阵型式的关系立方晶系不消光衍射指数平方和数列与点阵型式的关系衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件8.2.2 立方晶系晶胞参数的计算及精确测定立方晶系晶胞参数的计算及精确测定 选高角区衍射线，按下式计算晶胞参数：选高角区衍射线，按下式计算晶胞参数：例例1 方石英方石英(SiO2)衍射线指标化及点阵类型确定衍射线指标化及点阵类型确定SiO2di7.160 5.063 4.134 3.580 3.202 2.923 2.531 2.387d12/di2计算计算11.999 2.999 4.000 5.000 6.000 8.003 8.997取整取整12345689hkl100110111200210211220221简单立方简单立方 a=7.160Å衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件例例2  -Al2O3衍射线指标化及格子类型确定衍射线指标化及格子类型确定 -Al2O3di12.9916.496 4.330 4.121 3.928 3.478 3.248 2.985d12/di2 计算计算13.999 9.001 9.938 10.9411.7516.00 18.94hkl非立方（六方）非立方（六方）衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件例例 3 Si粉衍射线指标化及格子类型和晶胞参数确定粉衍射线指标化及格子类型和晶胞参数确定did12/di23× d12/di2 hkla/Å3.1355131115.43081.92012.6782205.43091.63753.67113115.43101.35775.33164005.43081.24596.33193315.43081.10868.00244225.43101.04529.0027511 3335.43100.960110.67324405.43110.918011.67355315.43090.858713.34406205.43090.828214.34435335.43090.783916.00484445.4310金刚石型金刚石型 a=5.4309±0.0001Å衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件★ ★ 晶胞参数的精确确定晶胞参数的精确确定 可见，可见，  →90º º误差可消除，差可消除，选高角区衍射高角区衍射线计算晶胞参数的算晶胞参数的误差小。

因此可用外推法精确差小因此可用外推法精确测定定晶胞参数晶胞参数 高角区高角区线较多多时，分，分别计算算  > >60º各线的各线的cos2 及及a值，值，a对对cos2 作图，外推至横坐标为零处，所作图，外推至横坐标为零处，所得得a值即为精确的晶胞参数值即为精确的晶胞参数 高角区线较少时，分别计算高角区线较少时，分别计算  >30º各线的各线的cos2 及及a值，值，a对对 作图，外推至横坐标为作图，外推至横坐标为零处，所得零处，所得a值即为精确的晶胞参数值即为精确的晶胞参数衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件8.2.3 四方、六方晶系衍射花样的指标化四方、六方晶系衍射花样的指标化——图解法图解法 粉末衍射花样的指标化是多晶粉末衍射花样的指标化是多晶X射线粉末衍射数射线粉末衍射数据处理的重要环节，指标化的正确与否直接影响着对据处理的重要环节，指标化的正确与否直接影响着对多晶试样晶系及点阵参数等结构数据的测定。

所谓指多晶试样晶系及点阵参数等结构数据的测定所谓指标化就是，首先对衍射花样进行观察分析，如有可能标化就是，首先对衍射花样进行观察分析，如有可能则尽可能判断出未知物相所属晶系然后对衍射花样则尽可能判断出未知物相所属晶系然后对衍射花样中各衍射线条指标化，获得各线条所对应的衍射指标中各衍射线条指标化，获得各线条所对应的衍射指标hkl最后根据指标化的结果，总结消光规律，从而最后根据指标化的结果，总结消光规律，从而得出该衍射花样所对应的结构类型或空间群然而晶得出该衍射花样所对应的结构类型或空间群然而晶系不同采用的指标化方法不同，以下主要对四方、六系不同采用的指标化方法不同，以下主要对四方、六方衍射花样的指标化方法方衍射花样的指标化方法——图解法，作一个概括说图解法，作一个概括说明衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件1.晶系的晶系的sin2 规律规律1.1 1.1 晶系的通用公式晶系的通用公式衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件1.21.2 六方晶系的六方晶系的sin2θ规律律 在六方晶系中有在六方晶系中有a=b≠c，，α=β=90ο γ=120ο 则有：有：其中：其中： A=λ2/3a2 C=λ2/4c2 那么则有：那么则有： sin2θ100: sin2θ110: sin2θ200: sin2θ210: sin2θ300: sin2θ220: sin2θ310……=1:3:4:7:9:12:13……若多晶粉末衍射花样的若多晶粉末衍射花样的sin2θhk0值符合这种规律则为六方晶系。

值符合这种规律则为六方晶系 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件1.3 四方晶系的四方晶系的sin2θ规律律 在四方晶系中有在四方晶系中有a=b≠c , α=β= γ=90ο 那么同理可得：那么同理可得： 其中其中A=λ2/4a2 C=λ2/4c2 则有则有sin2θ100: sin2θ110: sin2θ200: sin2θ210: sin2θ220: sin2θ300:sin2θ310:…… =1:2:4:5:8:9:10……若多晶粉末衍射花样的若多晶粉末衍射花样的sin2θhk0值符合这种规律则为四方晶系值符合这种规律则为四方晶系 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件2. 2. 多晶粉末衍射花样所属晶系的确定多晶粉末衍射花样所属晶系的确定 在用人工方法进行指标化工作时，确定所属晶系是十分重要的如果是按通用的指标化程序用计算机进行指标化，则不必确定物相所属的晶系，而只需按所编制程序的要求输入实验数据，让计算机从高级晶系到低级晶系逐个进行计算，最后输出结果，但这需用较大型的计算机，并耗费较多的计算机工作时间。

如果能确定物相所属晶系，并已建立有关晶系的指标化计算机程序，则可在指定的晶系中进行指标化，那就可达到多快好省的目的衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件最常用的几种指标化程序最常用的几种指标化程序•Dicvol or Dicvol04•Treor•Ito•McMaille•SuperCELL•FullProf Suite•Expo2004•Jade5•X’Pert HighScore Plus衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件确定未知衍射花样所属晶系的方法有以下几种：确定未知衍射花样所属晶系的方法有以下几种： 2.1 经验法经验法 利利用用某某些些结结构构类类型型的的物物相相衍衍射射线线条条出出现现的的规规律律也也能能确确定定衍衍射射花花样样所所属属的的晶晶系系和和结结构构类类型型这这种种方方法法要要求求我我们们平平时时注注意意收收集集和和整整理理有有关关研研究究对对象象的的衍衍射射线线条条出出现现顺顺序序及及消消光光规规律律，，掌掌握握的的规规律律越越好好，，经经验验越越丰丰富富，，则则结结果果的的可可靠靠性越高。

对于熟练的性越高对于熟练的X射线工作者有可能据此判断立方、六方及四方晶系射线工作者有可能据此判断立方、六方及四方晶系 2.2 sin2θ比值法比值法 对于立方晶系，问题比较简单，这里我们主要研究四方和六方对于立方晶系，问题比较简单，这里我们主要研究四方和六方 对四方晶系有：对四方晶系有： sin2θhkl=A(h2+k2)+ Cl2 对对于于hkl为为100、、110、、200、、210、、220、、……，， sin2θ分分别别为为A、、2A、、4A、、5A、、8A……可可见见，，如如果果物物相相不不属属于于立立方方晶晶系系，，而而低低角角度度衍衍射射线线条条的的sin2θ之之比值常出现比值常出现2的倍数，则这种物相属于四方晶系的倍数，则这种物相属于四方晶系 对六方晶系有：对六方晶系有： sin2θhkl=A(h2+hk+k2)+Cl2 对于对于hkl为为100、、110、、200、、210、、300、、220、、……，， sin2θ分别为分别为A、、3A、、4A、、7A、、9A、、12A，，……。

这里常见的这里常见的sin2θ比值是比值是3的倍数，这可作为判断的倍数，这可作为判断是否属六方晶系的依据是否属六方晶系的依据 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件 上上述述原原理理可可以以通通过过作作图图来来求求解解，，其其具具体体办办法法是是：：取取一一张张纸纸条条，，按按一一定定比比例例尺尺将将X射射线线衍衍射射花花样样上上低低角角度度区区各各线线之之sin2θ值值及及零零点点标标上上，，然然后后在在一一张张纸纸上上作作一一组组平平行行于于横横坐坐标标、、等等间间距距的的平平行行线线，，并并标标上上0、、1、、2、、……序序号号，，第第0条条与与横横坐坐标标重重合合，，平平行行线线间间距距应应小小于于花花样样中中第第一一条条衍衍射射线线的的sin2θ值值这这时时，，我我们们将将小小纸纸条条上上的的零零点点与与第第0条条平平行行线线相相交交并并倾倾斜斜小小纸纸条条，，见见图图[1]依依次次使使小小纸纸条条上上第第1、、2、、3个个标标记记与与第第一一条条平平行行线线相相交交，，如如果果在在某某种种情情况况出出现现第第1、、2、、4、、5、、8，，……条条平平行行线线处处有有标标记记同同时时相相交交，，那那么么该该花花样样属属简简单单四四方方结结构构；；如如果果仅仅出出现现第第1、、2、、4条条平平行行线线处处有有标标记记相相交交，，则则花花样样属属体体心心四四方方结结构构；；如如出出现现第第1、、3、、4、、7……条条平平行行线线处处有有标标记记与与之之同同时时相相交交，，则则该该花花样样属属六六方方晶晶系系；；如如果果直直至至第第3个个标标记记与与第第一一条条平平行行线线相相交交而而未未出出现现上上述述规规律律，，则则该该物物相相不不属属四四方方或或六六方方晶晶系系。

用用这这种方法时，最低角度的线条不能漏掉种方法时，最低角度的线条不能漏掉 图图[1] 决定衍射花样所属晶决定衍射花样所属晶 系的图解法系的图解法 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件2.3 2.3 变温法变温法 变变温温法法就就是是用用同同一一辐辐射射在在室室温温和和高高于于250℃250℃的的某某温温度度下下（（注注意意：：在在该该温温度度范范围围内内不不发发生生相相变变））获获得得两两个个衍衍射射花花样样，，观观察两衍射花样相应线条的位移察两衍射花样相应线条的位移△△θ，计算，计算ctgθ· △△θ 如如果果全全部部衍衍射射线线条条的的ctgθ·△△θ值值都都相相同同，，则则属属于于立立方方晶晶系系，，因因为为立立方方晶晶系系的的膨膨胀胀系系数数是是各各向向同同性性的的，，即即 △△d/d=-ctgθ·△△θ=常数 如果所得各衍射线的如果所得各衍射线的ctgθ·△△θ值不尽相同，其中二组两条值不尽相同，其中二组两条以上的衍射线条是相同的，同时其他衍射线的以上的衍射线条是相同的，同时其他衍射线的ctgθ·△△θ值又介值又介于这两者之间的话，则可能属于四方、六方或菱形晶系（菱形于这两者之间的话，则可能属于四方、六方或菱形晶系（菱形晶系常按六方晶系指标化）。

这是因为属于这类晶系的物相的晶系常按六方晶系指标化）这是因为属于这类晶系的物相的膨胀系数是各向异性的，膨胀系数是各向异性的， △△dh00/d h00= △△d 0k0/d0k0=常数；； △△d00l/d00l =另一常数类似地，对于正交晶系，应有三组两另一常数类似地，对于正交晶系，应有三组两条以上的衍射线的条以上的衍射线的ctgθ·△△θ值相同，同时其他衍射线则分布在值相同，同时其他衍射线则分布在上述三组范围之内上述三组范围之内 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件四方、六方晶系衍射花样的图解指标化法四方、六方晶系衍射花样的图解指标化法 非立方晶系有两个或两个以上不相等的点阵常非立方晶系有两个或两个以上不相等的点阵常数，使得衍射花样的指标化较为复杂为解决这个数，使得衍射花样的指标化较为复杂为解决这个问题提出了一系列图解法和解析法，利用赫尔问题提出了一系列图解法和解析法，利用赫尔—戴戴维图表（维图表（Hull—Davey chart）的图解法是最早解决）的图解法是最早解决非立方晶系粉末衍射花样指标化的方法，此法适用非立方晶系粉末衍射花样指标化的方法，此法适用于四方和六方晶系。

于四方和六方晶系3.1 赫赫尔尔—戴戴维（（Hull—Davey chart））图解法解法 以六方晶系以六方晶系为例：例： 在六方晶系中有在六方晶系中有 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件又由布拉格公式又由布拉格公式 得：得： 将上式取对数得：将上式取对数得： 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件 可可见见在在六六方方晶晶系系中中两两条条衍衍射射线线的的sinθ（（或或d））值值的的对对数数之之差差与与a或或c无无关关而而仅仅决决定定于于轴轴比比c/a及及衍衍射射指指标标hkl赫赫尔尔－－戴戴维维利利用用这一特点作为图解法指标化六方晶体粉末衍射花样的基础这一特点作为图解法指标化六方晶体粉末衍射花样的基础又因为赫尔又因为赫尔—戴维（戴维（Hull—Davey chart）图解法中以）图解法中以d110为单为单位，所以有：位，所以有： 式（1） 如以如以c/a为变量，对同一为变量，对同一hkl计算计算lg [4/3×(h2+hk+k2)+ l2/(c/a)2]值，即得到同一值，即得到同一hkl的的lg [4/3×(h2+hk+k2)+ l2/(c/a)2]随随c/a的变化的变化曲线。

那么对点阵衍射花样的所有可能的曲线那么对点阵衍射花样的所有可能的hkl作出以轴比作出以轴比c/a为为纵坐标，纵坐标， 以以lg [4/3×(h2+hk+k2)+ l2/(c/a)2]值为横坐标的一系列值为横坐标的一系列曲线从而作出了赫尔曲线从而作出了赫尔—戴维图表见图戴维图表见图[2] 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件 图图[2] 六方晶系的赫尔六方晶系的赫尔—戴维图表戴维图表 显然，当显然，当l=0时，则时，则为平行于为平行于c/a坐标轴坐标轴的一条直线的一条直线当当c/a一定一定时则成为垂时则成为垂直于直于c/a轴轴的直线衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件用赫尔用赫尔—戴维图表进行指标化的具体步骤如下：戴维图表进行指标化的具体步骤如下：1））计计算算衍衍射射花花样样中中各各衍衍射射线线条条的的d值值（（或或sinθθ）），，然然后后按按所所用用的的赫赫尔尔—戴戴维维图图表表的的比比例例尺尺在在一一张张小小纸纸条条上上画画出出一一系系列列短短线线，，其其位位置置相相当当于于d的的对对数数值值，，这这个个对对数数标标度度是是上上述述赫赫尔尔—戴戴维维图图表表横横坐坐 标标 对对 数数 标标 度度 的的 两两 倍倍 ，， 因因 为为 lgdlgd和和 lg lg [ [4/3×(h2+hk+k2)+ l2/（（c/a））2] ]的系数比是的系数比是2 2：：1 1。

2））将将纸纸条条放放于于赫赫尔尔—戴戴维维图图表表上上，，保保持持纸纸条条的的边边平平行行于于横横坐坐标标，，并并使使小小纸纸条条上上第第一一条条短短线线与与图图表表上上最最右右边边第第一一条条线线（（一一般般为为001））重重合合，，上上下下左左右右平平移移，，使使纸纸条条上上标标注注的的记记号号与与图图表表上上的的曲曲线线相相合合，，如如果果没没有有重重合合，，则则使使第第一一条条短短线线与与最最右右边边第第二二条条线线（（100））重重合合，，直直到到短短线线和和表表上上曲线全部重合为止如图曲线全部重合为止如图[3]所示 3 3））由由短短线线所所对对上上的的曲曲线线得得到到该该短短线线相相应应衍衍射射线线的的衍衍射射指指标标hklhkl，，同同时时在在纵纵坐坐标标上上可可读读出出该该衍衍射射花样的近似花样的近似c/ac/a值图图[3] 用赫尔用赫尔—戴维图表进行戴维图表进行指标化方法的示意图（以六方指标化方法的示意图（以六方晶系为例）晶系为例） 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件同理可得，四方晶体中有同理可得，四方晶体中有 ：： 式（式（2）） 与与六六方方晶晶系系完完全全类类似似，，可可以以制制作作四四方方晶晶系系的的赫赫尔尔—戴戴维维图图表表，，其其横横坐坐标标为为㏒㏒d,d,即即 ㏒㏒[ [(h2+k2)+ l2/（（c/a））2] ]，，纵纵坐标为坐标为c/ac/a，其指标化方法与六方晶系相同。

其指标化方法与六方晶系相同 赫尔—戴维图表在当c/a=1处，还可用来标定立方系晶体 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件缺点：缺点：从图从图[2][2]我们可以看到由于赫尔我们可以看到由于赫尔—戴维戴维图表中曲线密度较大、较挤，用小纸条去对比图表中曲线密度较大、较挤，用小纸条去对比可能产生较大的误差，特别是大衍射角的线条，可能产生较大的误差，特别是大衍射角的线条，这正是点阵参数精确测定要用的线条如果高这正是点阵参数精确测定要用的线条如果高角度的衍射线条的指标化不对，显然点阵参数角度的衍射线条的指标化不对，显然点阵参数也不准所以一般高指数线条可在低角度线条也不准所以一般高指数线条可在低角度线条所得结果基础上通过计算进行指标化为了改所得结果基础上通过计算进行指标化为了改善曲线拥挤的状况，布恩善曲线拥挤的状况，布恩(Bunn)(Bunn)于于19481948年发展年发展了另一种曲线图解法了另一种曲线图解法衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件3.2 布恩布恩 (Bunn)图解法图解法布恩布恩 (Bunn)图解法的原理：图解法的原理： 以四方晶系为例。

在四方中有：以四方晶系为例在四方中有： 这样变形的主要目的是使分子、分母都有相同的变数这样变形的主要目的是使分子、分母都有相同的变数（（c/a））2则曲线的曲率就不会大，从而大大改善了赫尔则曲线的曲率就不会大，从而大大改善了赫尔—戴维戴维图表中曲线拥挤的状况图表中曲线拥挤的状况衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件 图图[4] 四方晶系的布恩图表四方晶系的布恩图表 又因为又因为 布恩图表取的布恩图表取的单位是单位是d101 所以有：所以有： 式（式（3 3）） 那那么么，，以以c/a为为横横坐坐标标，，lglgd为为纵纵坐坐标标作作图图，，即即可可得得到到改改进进之之后后的的布布恩恩图图表表见见图图[4][4]，，可可见见改改进进之之后后的的布布恩恩图图表表比比赫赫尔尔—戴戴维维图图表表简简单单些些利利用用布布恩恩图图表表进进行行指指标标化化的的方方法法步步骤骤与与用用赫赫尔尔—戴戴维维图图表表相相同同，，只只不不过过纸纸条条得得垂垂直直于于横横轴轴，，平平行行于于lglgd轴衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件同理，可得六方晶系的布恩原理公式为：同理，可得六方晶系的布恩原理公式为： 那么，根据式（那么，根据式（4 4）也可以绘制六方晶系的布恩）也可以绘制六方晶系的布恩图表。

图表式（式（4））衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件3.3 3.3 直线图解法直线图解法3.3.1 3.3.1 布加斯觉姆（布加斯觉姆（BjurstrBjurström m）法）法以四方晶系为例，它的晶面间距公式可改写为以四方晶系为例，它的晶面间距公式可改写为 式（5） 假定假定，并令，并令 则得则得 这是典型的线性方程这是典型的线性方程当取当取时，，则式（，则式（5）变为）变为 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件当取时，，则式（5）变为 布加斯觉姆根据这个原理绘制成指标化的直线图表，如图布加斯觉姆根据这个原理绘制成指标化的直线图表，如图[5]所所示它的横坐标取示它的横坐标取0≤1/a2 2≤1，纵坐标为，纵坐标为1/d1/d2 2hklhkl ，那么在，那么在1/a2 2 =0处的处的纵坐标轴上标出纵坐标轴上标出1/d1/d2 2hklhkl=l2 2的数值，在的数值，在1/a2 2 =1处的纵坐标轴上标出处的纵坐标轴上标出1/d1/d2 2hklhkl=（（h2 2+k2 2）的数值，将相应的）的数值，将相应的hkl用直线连结即得布加斯觉用直线连结即得布加斯觉姆直线图表。

姆直线图表例如，（例如，（213），在），在1/a2 2 =0处的纵坐标是处的纵坐标是l2 2=9，在，在1/a2 2 =1处的纵坐处的纵坐标是标是h2 2+k2 2=5，即把，即把5和和9相连就得到（相连就得到（213）的直线 布加斯觉姆直线图表的横坐标布加斯觉姆直线图表的横坐标1/a2还可以转化为还可以转化为c/a，根据上面，根据上面的假定知：的假定知：当当 1/a2=0 时，时，c/a=0；； 当当 1/a2=1 时，时，c/a=∞ 则可在横坐标同时则可在横坐标同时读出读出1/a2 2和和c/a值 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件指标化方法如下：指标化方法如下：1））将将求求解解的的衍衍射射花花样样上上各各衍衍射射线线的的1/d1/d2 2hklhkl值值画画在在一一条条垂垂直直线线上上，，并并将将各各点点和和水水平边上任一点平边上任一点p连成直线（见图连成直线（见图[6]）2））将将画画在在透透明明纸纸上上的的图图[6]覆覆盖盖在在图图[5]上上，，使使两两水水平平边边重重合合，，左左右右移移动动，，直直到到图图[6]上上某某一一垂垂直直线线xx，，上上各各点点和和图图[5]中中某某垂垂直直线线上上各各点点完完全全相相符符合合为为止止，，这这时时即即可可求出各衍射线条的指数及求出各衍射线条的指数及c/a,1/a2 值，即可求得四方晶系的点阵参数值，即可求得四方晶系的点阵参数 a和和c。

图图[5] 四方晶系的布加斯觉姆直线图表四方晶系的布加斯觉姆直线图表 图图[6] 四方晶系的四方晶系的1/d2标度标度 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件3.3.2 3.3.2 邹成烈的一步法邹成烈的一步法以六方晶系为例，它有以六方晶系为例，它有 式（6）如如果果我我们们以以h2+hk+k2+3/4(a/c)3/4(a/c) 2l2为为纵纵坐坐标标，，以以3/4(a/c)3/4(a/c) 2为横坐标作图，则得各为横坐标作图，则得各hklhkl的直线图表如图的直线图表如图[7][7]另外，若以另外，若以3 a2/λ2为横坐标，以为横坐标，以h2+hk+k2+3/4(a/c) 2l2为为纵坐标作图，则得一簇通过原点的直线，其斜率为纵坐标作图，则得一簇通过原点的直线，其斜率为 sin2θhkl 见图见图[8] 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件其指标化的步骤如下：1.测定衍射花样中各衍射线的θ值，并计算sin2θhkl 2.使纵横坐标比例一样，用各sin2θhkl实验值为斜率通过原点作直线，图[8]为碳化钨(WC)的一个实际例子。

图7 直线图表图8 实验直线图衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件3.将实验的直线图置于直线图表上，使两者横坐标彼此将实验的直线图置于直线图表上，使两者横坐标彼此重合，并沿横坐标平移实验直线图，直至实验直线上重合，并沿横坐标平移实验直线图，直至实验直线上各直线均与直线图表上的直线相交为止，这时通过交各直线均与直线图表上的直线相交为止，这时通过交点的垂直线在实验直线图上的横坐标的读数即为点的垂直线在实验直线图上的横坐标的读数即为 3 a2/λ2 ,在直线图表上的横坐标读数即为在直线图表上的横坐标读数即为3/4(a/c) 2，于是，于是求得点阵参数求得点阵参数a、、c，由相交点就读出各衍射线的，由相交点就读出各衍射线的hkl 所示之例所示之例3 a2/λ2 =6.74, 3/4(a/c) 2= 0.790, λ=1.934Å(FeKa辐射辐射)，， 代入即得代入即得a=2.90 Å, c=2.83 Å，，各线条之各线条之hkl已标在图已标在图[8]中 直直线线图图解解法法除除了了有有布布加加斯斯觉觉姆姆直直线线图图表表法法、、邹邹成成烈烈的的一一步步法法外外，，还还有有李李华华瑞瑞的的多多步步法法，，因因为为其其较较复复杂杂，，具具体体方方法法可可查查阅阅资资料料：：《《物物理理学学报报》》 李李华华瑞瑞 21（（1965））NO.2，，455 。

衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件4. 4. 小结小结1.1.图图解解法法大大大大简简化化了了用用解解析析法法进进行行指指标标化化的的计计算算工工作作，，但但图图解解法法易易产产生生较较大大的的误误差差，，比比如如：：赫赫尔尔—戴戴维维图图表表同同时时对对绘绘图图工作的要求也很严格，否则易出现错误工作的要求也很严格，否则易出现错误2.2.要要使使用用图图解解法法来来对对晶晶系系进进行行指指标标化化，，一一般般须须首首先先判判断断所所要要指指标标化化的的花花样样所所属属晶晶系系，，这这就就要要用用到到在在（（2. 2. 多多晶晶粉粉末末衍衍射射花花样样所所属属晶晶系系的的确确定定））中中所所介介绍绍的的确确定定多多晶晶衍衍射射花花样样所所属属晶晶系系的的方方法法若若要要对对未未知知晶晶系系进进行行指指标标化化，，则则可可以以从从高高级级对对称称晶晶系系到到中中级级，，再再到到低低级级对对称称晶晶系系逐逐个个应应用用图图解解法法，，直直到到指指标标化化正正确为止3.3.上上面面的的几几种种图图解解法法也也都都可可用用于于正正交交晶晶系系，，但但均均需需作作一一系系列列的的直直线线图图表表组组，，比比较较复复杂杂。

而而陆陆学学善善的的图图解解法法已已编编成成了了程程序序应应用用于于计计算算机机，，这这样样就就极极大大地地减减小小了了用用图图解解法法指指标标化化过过程程中中人人为为的的误误差差，，提提高高了了指指标标化化的的精精确确度度和和速速度度，，是是指指标标化化工工作作实实现现自自动动化化的的一一个个飞飞跃跃：：《《物物理理学学报报》》 陆陆学学善善 2929（（19801980）） 15511551 衍射线的指标化及点阵型式和晶胞衍射线的指标化及点阵型式和晶胞参数的测定课件参数的测定课件。