2024年中考数学复习讲义第18讲等腰三角形.pdf

第 18 讲 等腰三角形目 录一、考情分析二、知识建构考点一等腰三角形的性质与判定题型 01 等腰三角形的定义题型 02 根据等边对等角求角度题型 03 利用等边对等角证明题型 04 根据三线合一求解题型 05 根据三线合一证明题型 06 格点图中画等腰三角形题型 07 根据等角对等边证明等腰三角形题型 08 根据等角对等边证明边相等题型 09 根据等角对等边求边长题型 10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点题型 11 等腰三角形性质与判定综合题型 12 等腰三角形有关的折叠问题题型 13 等腰三角形有关的规律探究问题题型 14等腰三角形有关的新定义问题题型 15 等腰三角形有关的动点问题题型 16 探究等腰三角形中线段间存在的关系考点二等边三角形的性质与判定题型 01 利用等边三角形的性质求线段长题型 02 手拉手模型题型 03 等边三角形的判定题型 04 等边三角形与折叠问题题型 05 等边三角形有关的规律探究问题题型 06 等边三角形有关的新定义问题题型 07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题考点三线段垂直平分线的性质与判定定理题型 01 利用垂直平分线的性质求解题型 02 线段垂直平分线的判定题型 03 线段垂直平分线的实际应用考点要求新课标要求命题预测等腰三角形的性质与判定理解等腰三角形的概念.探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.等边三角形的性质与判定探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于 60.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形.线段垂直平分线的性质与判定定理理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点段的垂直平分线上.考点一等腰三角形的性质与判定等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形等腰三角形性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.1.等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.2.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为 45.3.等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条或 3 条对称轴4.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）题型题型 01 等腰三角形的定义等腰三角形的定义【例 1】（2023山东济南统考三模）已知 m，n，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m，n 分别是关于 x 的一元二次方程2 6+=0 的两个根，则 k 的值等于（）A3B5 或 9C5D9【答案】B【分析】当=5 或=5 时，即=5，代入方程即可得到结论，当=时，即=0，解方程即可得到结论【详解】解：m，n，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长当=5 或=5 时，即=5方程为52 6 5+=0解得：=5此时该方程为2 6+5=0解得：1=5，2=1此时三角形的三边为 5，5，1，符合题意；当=时，即=0即62 4=0解得：=9此时该方程为2 6+9=0解得：1=2=3此时三角形的三边为 3，3，5，符合题意，综上所述，k 的值等于 5 或 9故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键【变式 1-1】（2023内蒙古鄂尔多斯三模）腰长为 5，一边上的高为 4 的等腰三角形的底边长为（）A6 或 4 5B6 或 4 5或 2 5C4 5或 2 5D6 或 2 5【答案】B【分析】根据不同边上的高为 4 分类讨论，即可得到本题的答案【详解】解：如图 1，当=5，底边上的高=4 时，则=3，故底边长为 6；如图 2，为锐角三角形，当=5，腰上的高=4 时，则=3，=2，=22+42=2 5，此时底边长为 2 5；如图 3，为钝角三角形，当=5，腰上的高=4 时，则=3，=8，82+42=4 5，此时底边长为 4 5故底边长为 6 或 4 5或 2 5故选：B【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论【变式 1-2】（2023湖南邵阳统考二模）已知等腰三角形的三边 x、y、z 满足 42+2+=0，则 a 的值是（）A2B3C4D2 或 4【答案】C【分析】根据绝对值、二次根式、平方的非负性计算出 x、y、z 的值，然后根据等腰三角形的定义计算即可；【详解】解：42+2+=0，且 42 0，2 0，0，4=0，2=0，=0，=4，=2，=，三角形为等腰三角形，=4 或=2，当=2 时，2+2=4，不能构成三角形，=4，故选：C【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，以及绝对值、二次根式、平方的非负性、构成三角形的条件等知识点，绝对值、二次根式、平方的非负性的准确应用是解题关键【变式 1-3】（2023河南安阳统考一模）已知等腰 的边是方程2 7+10=0 的根，则 的周长为（）A9B9 或 12C6 或 15D6 或 12 或 15【答案】D【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是 2 和 5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可【详解】解：2 7+10=0 2 5=0解得：1=2，2=5，等腰 的边为：2 和 5，当腰长为 2，底边为 5 时，不符合三角形的三边关系定理，当腰长为 5，底边为 2 时，的周长为：5+5+2=12，当边长都为 2 时，的周长为：2+2+2=6，当边长都为 5 时，的周长为：5+5+5=15，故选：D【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键【变式 1-4】（2023黑龙江佳木斯统考三模）已知 是以为一腰的等腰三角形，=5，边上的高为 4，则 的底边长为【答案】2 5或 4 5或 6【分析】分三种情况：=，且是锐角三角形；=，且是钝角三角形；=，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解【详解】解：=，且是锐角三角形，如图；，且=4，=2 2=3，=2，在 Rt 中，由勾股定理得：=2+2=2 5；=，且是钝角三角形时，如图；由勾股定理得=2 2=3，=+=8，在 Rt 中，由勾股定理得：=2+2=4 5；=时，如图，=12，在 Rt 中，由勾股定理得：=2 2=3,=2=6；综上，底边的长为 2 5或 4 5或 6【点拨】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，解题的关键是，数形结合，注意分类讨论题型题型 02 根据等边对等角求角度根据等边对等角求角度【例 2】（2023湖北襄阳统考模拟预测）等腰三角形腰长为 8，面积为 16，则底角的度数为【答案】75或 15【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可【详解】解：当三角形为锐角三角形时，如图，过点 C 作 交于点 D，则=8，=16，12 =16，解得=4，sin=48=12，=30，=180302=75，当三角形为钝角三角形时，如图，过点 C 作 交的延长线于点 D，则=8，=16，12 =16，解得=4，sin=48=12，=30，=150=1801502=15，即底角的度数为 75或 15，故答案为：75或 15【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，解直角三角形，三角形内角和定理的应用，注意要分类讨论【变式 2-1】（2023安徽滁州校考一模）如图，中，=，于点 D，若=40，则有（）A1=50B1=40C1=35D1=20【答案】D【分析】根据垂直的定义得到=90，根据=40和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】，=90，=，=40，=70，1=90 =90 70=20故选：D【点拨】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用【变式 2-2】（2023辽宁丹东校考二模）如图，两点分别在直线1，2上，且1 2，=，2，若1=116，则的度数等于（）A20B22C24D26【答案】D【分析】先求解=180 1=64，证明=64，求解=90 64=26，可得=26【详解】解：如图，1=116，=180 1=64，1 2，=64，2，=90 64=26，=，=26故选 D【点拨】本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键【变式2-3】（2023广东河源统考一模）如图，在 中，=，=40，平分 的外角，则1=【答案】55/55 度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，可得的度数，然后根据角平分线定义得出答案【详解】解：=，=40，=12 180 40=70，=180 =110，平分 的外角，1=12=55，故答案为：55【变式 2-4】（2023江西吉安校考模拟预测）如图，在 中，=，垂足为 E，点 D在上，且平分，若=54，则的度数为【答案】126/126 度【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和定理，求得=180 =72，由角平分线定义求得=12=36，进一步根据外角性质求解【详解】解：=54，=180 =72，=90，平分，=12=36，是 的一个外角，=+=126，故答案为：126【点拨】本题考查三角形内角和定理，外角定义和性质；灵活运用三角形内角和定理，外角性质求解角度是解题的关键【变式 2-5】（2023浙江金华校考一模）等腰 中，垂足为点，且=12，则等腰 底角的度数为【答案】15或 45或 75【分析】分点是顶角顶点、点是底角顶点、在 外部和在 内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算【详解】解：如图 1，当点是顶角顶点时，=，=，=12，=，在 Rt 中，=12(180 90)=45；如图 2，当点是底角顶点，且在 外部时，=12，=，=12，=30，=12 30=15；如图 3，当点是底角顶点，且在 内部时，=12，=，=12，=30，=12(180 30)=75；故答案为：15或 45或 75【点拨】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键题型题型 03 利用等边对等角证明利用等边对等角证明【例 3】（2023浙江温州统考二模）如图，在 中，=，P 为的中点，D，E 分别为，上的点，且=(1)求证：(2)若 ，=110，求的度数【答案】(1)见解析(2)70【分析】（1）根据=，P 为的中点，得出=,=，即可求证 AAS；（2）根据等边对等角得出=35，则=55，结合全等的性质得出=55，即可求解【详解】（1）证明：=，P 为的中点，=,=，在 和 中，=，AAS；（2）解：=110，=，=12180 110=35，=90 35=55，=55，=180 55 2=70【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，直角三角形两直角边互余，全等三角形对应角相等【变式 3-1】（2023陕西西安陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形中，=，连接，点 M 为线段上一点，连接，若=，=求证：【答案】证明见解析【分析】。