向量组以及其线性组合.docx

精选文档第二节向量组及其线性组合内容分布图示★n维向量的看法★向量组与矩阵★向量的线性运算★例1★例2★线性方程组的向量形式★向量组的线性组合★例3★例4★例5★定理1★例6-8★例9★向量组间的线性表示★内容小结★课堂练习★习题3-2★返回内容重点：一、n维向量及其线性运算定义1n个有次序的数a,a,,a所构成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量12n的n个重量,第i个数ai称为第i个重量.注：在分析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行挪动的有向线段作为向量的几何形象.引入座标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上边定义的3维向量.所以，当n3时，n维向量可以把有向线段作为其几何形象.当n3时，n维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所构成的会集称为向量组.比方，一个mn矩阵每一列构成的向量组1,2,,构成的向量组1,2,,依据上述谈论，矩阵n称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A的的每一行m称为矩阵A的行向量组.A记为A(1,2,,n)或A12.n这样，矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组.而线性方程组的全体解当r(A)n时是一个含有无穷多个n维列向量的向量组.定义2两个n维向量(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的各对应重量之和构成的向量，称为向量与的和,记为，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：(a1b1,a2b2,,anbn).定义3n维向量(a1,a2,,an)的各个重量都乘以实数k所构成的向量，称为数k与向量的乘积（又简称为数乘），记为k，即(ka1,ka2,,kan).向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律同样，从而也满足以下运算规律:(1);(2)( )( );(3)o;( )o;1;(6)k(l)(kl);(7)k()kk;(8)(kl)kl.二、向量组的线性组合观察线性方程组a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2(1)am1x1am2x2amnxnbma1jb1令ja2j(j1,2,,n),b2amjbm则线性方程组(1)可表为以下向量形式:1x12x2nxn(2)于是,线性方程组(1)能否有解,就相当于能否存在一组数k1,k2,,kn使得以下线性关系式建立：定义4给定向量组A:1,2,,s，对于任何一组实数k1,k2,,ks,表达式称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,,ks称为这个线性组合的系数.定义5给定向量组A:1,2,,s和向量,若存在一组数k1,k2,,ks,使则称向量是向量组A的线性组合,又称向量能由向量组A线性表示(或线性表出).注：(1)能由向量组1,2,,s独一线性表示的充分必需条件是线性方程组1x12x2sxs有独一解；(2)能由向量组1,2,,s线性表示且表示不独一的充分必需条件是线性方程组1x12x2sxs有无量多个解；(3)不可以由向量组1,2,,s线性表示的充分必需条件是线性方程组1x12x2sxs无解；定理1设向量ba1j1b2，ja2j(j1,2,,s),bmamj则向量能由向量组1,2,,s线性表示的充分必需条件是矩阵A(1,2,,s)与矩~1,2,,s,)的秩相等.阵A(三、向量组间的线性表示定义6设有两向量组若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价.按定义,若向量组B能由向量组A线性表示,则存在使所以此中矩阵Kst(kij)st称为这一线性表示的系数矩阵.引理若CsnAstBtn,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.而矩阵C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.定理2若向量组A可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组C线性表示,则向量组A可由向量组C线性表示.例题选讲：维向量及其线性运算例1(讲义例1)设1(2,4,1,1)T,2(3,1,2,5/2)T,假如向量满足312(2)0,求.例2(讲义例2)设(2,0,1,3)T,(1,7,4,2)T,(0,1,0,1)T.(1)求23;(2)如有x,满足352x0,求x.例3设1(1,02,1),2(3,0,4,1),(1,0,0,3).因为212,所以是1,2的线性组合.例4证明:向量(1,1,5)是向量1(1,2,3),2(0,1,4),3(2,3,6)的线性组合并详尽将用1,2,3表示出来.例5证明:向量(4,5,5)可以用多种方式表示成向量(1,2,3),(1,1,4)及(3,3,2)的线性组合.向量组的线性组合例6(讲义例3)任何一个n维向量(a1,a2,,an)T都是n维向量单位组1(1,0,,0)T,2(0,1,0,,0)T,,n(0,0,,0,1)T的线性组合.因为a11a22ann.例7(讲义例4)零向量是任何一组向量的线性组合.因为o01020s.例8(讲义例5)向量组1,2,,s中的任一直量j(1js)都是此向量组的线性组合.因为j011j0s.例9(讲义例6)判断向量1(4,3,1,11)T与2(4,3,0,11)T能否各为向量组1(1,2,1,5)T,2(2,1,1,1)T的线性组合.假如,写出表示式.课堂练习1.试问向量能否由其他向量线性表示?若能,写出线性表示式:2.已知向量组(B):1,2,3由向量组(A):1,2,3的线性表示式为试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示.。