考研数学D2--考研基础班.ppt

第二章 一、 导数和微分的概念及应用二、 导数和微分的求法 导数与微分三、典型题型的解题方法与技巧1一、 导数和微分的概念及应用★导数 :当时,为右导数当时,为左导数★微分 :★可导与可微的概念：可导存在.可微其中A是与无关的常数.特点是：“分 子一定一动， 分母有左有右 ” 分子是函 数值之差， 分 母是相应的自 变量之差，分 母趋于零的极 限. 能2联系:区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察.是函数相对于自变量的变化率.是相对于自变量改变量为时，★导数与微分的区别与联系函数改变量的线性主部.即当是曲线的纵坐标增量时， 就是切 线纵坐标对应的增量.3★可导与可微的区别与联系: 区别：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导存在.可导一定有切线 且切线不垂直于x轴.以直代曲当很小时，在点M的附近，可用切线段近似地代替曲线段 .可微联系： 可微必可导，可导必可微.可微其中A是与无关的常数.能4★ 几个定理 定理1 定理2定理3在处可导在处连续在处的极限一定存在， 即存在.在可微可微可导连续有极限 有定义在点 可微 在点 处可导5思考：6★应用 :(1) 利用导数定义解决的问题 (2) 用导数可求切线与法线的方程4）用导数定义求极限；2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题；1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度5）判断函数在某一点的可导性.71）几何应用(1)几何意义： 是y=f(x)在点(2)切线、法线的方程：切线的方程：法线的方程：2）物理应用瞬时速度：瞬时加速度：处切线的斜率.8二、 导数和微分的求法（微分法）1. 正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则 法则；锁链法则；反函数求导法则） 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法(直接法、微分法） (3) 参数方程求导法（复合函数法、微商法）(5) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) (6) 高阶导数的求法 （逐次求导归纳 ;间接求导法）(4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方 及幂指函数有用）93.常数和基本初等函数的导数 (P94)及法则10★有限次四则运算的求导法则（注意条件）( C为常数 )★复合函数求导法则（注意条件）★反函数的求导法则（ 注意条件）★初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.注意:114.高阶导数1 1）定义：）定义： 如果函数的导数在点处可可导导，即存在存在则称为函数在点处的二阶导数二阶导数. .记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. .一般地， 函数函数的的n n- -1 1阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数的的n n阶导数阶导数. .相应地，称为零阶导数零阶导数，称为一阶导数称为一阶导数. .122) 2) 高阶导数的计算：高阶导数的计算：(C为常数)直接法和间接法(3)乘积该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆3)高阶导数的基本公式131.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数 （显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分 段函数等）求各阶导(函）数及微分. 2.求导时应认清结构及变量之间的关系. 3.求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导. 4.应正确使用符号.如说明 ：符号 的优点:1.表示导数时能显示谁是函数谁是 自变量 2.表示微分时有商的含义，故 3.隐含着微分形式的不变性 14例1.设存在,求解: 原式=处可导三、典型题型的解题方法及技巧题型1：已知导数求极限一般的若存在15一般的若存在一般的若存在16例2.设，讨论 在 处的可导性，并求解: 不存在不连续，从而不可导.但是一般的若存在17例3.若且存在 , 求解: 原式 =且联想到凑导数的定义式18例4.设在处连续,且求解:处可导，即处右可导，即题型2：已知极限求导数19在 处可导的一个充分条件是（ ）练习 设在的某个邻域内有定义，则处可导20题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数 提示：以下情况必须用导数的定义求导数1）求分段函数在分界点处的导数时；2）不符合求导法则的条件时3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则处的导数. 例5.求处的导数.解:注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导.注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导.21例6.解: 分析:不能用公式求导.求左右极限22设 连续，且 ， 求 .可导不一定存在故用定义求例7.解:注意：求导法则的成立是有条件的.23设解:因为又例8.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. 注： 判断可导性的方法不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等. 24例9. 设求使存在的最高分析: 但是不存在 .2又阶数25注意：26故 分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求； 非分界点处的导数用公式与法则求导.27解: 方法1 利用导数定义.方法2 利用求导公式.例例1010 28例11 证明：处可导且为偶函数 证明： 定义法公式法即题型4：利用导数的定义证明导函数的性质29思考：[05数一、二，4分] 设F(x)的导数是f(x) ， 表示“M的充分必要条件是N”，则必有(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.f(x)是周期函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是单调函数.(D) F(x)是单调函数[ A ]30解题型5：求各类函数的导数及微分例12 求下列函数的导数关键: 搞清函数的运算结构 ，对复合函数结构 应由外向内逐层求导. 求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则. .其中可微 ,31其中可微 , 另解 :解:32解：幂指函数幂指函数 的求导方法有两种：的求导方法有两种：方法方法1 1：：对数求导法对数求导法 然后用隐函数求导法隐函数求导法求导.方法方法2 2：：利用复合函数求导法利用复合函数求导法变形为然后用复合函数求导法复合函数求导法求导.33例13.解：求导小技巧：先变形再求导34注：由参数方程所确定的导数的求导法：若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且关系, 法1：由复合函数及反函数的求导法则得即法2：由微商及微分的计算求导?已知注意 :对谁求导?35单值可导隐函数并求公式法：在点(0,0)某邻域可确定一个两边微分微分法：36两边对 x 求导直接求导法：令 x = 0 , 注意此时两边对 x 求导小技巧单值可导隐函数并求在点(0,0)某邻域可确定一个提示： 两边取对数37例15. 设试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求解： 得可导必连续即38是否为连续函数 ?如何求判别:即练习：注意：分段函数求导时，分界点处的导数用左右导 数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求.39例16 设解 例17 设解注意区分符号：40题型6：导数的应用例18.解：对方程分别对t求导得所求切线方程为41例19.解： 方程两边分别对x求导得则42例20.(书上的习题)解：注意：要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量x求导 .谢 谢 大 家！再见则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .[03数二] 设函数y=f(x)由方程所确定，43。