高考数学串讲(一)函数性质.doc
4页
高考数学专题(一)函数性质一、 基础知识1、函数的基本性质：(1) 函数的单调性：①f(x)>0 (或vO) => /(x)单调递增(或单调递减)；②/(x)单调递增(或单调递减)=> /(x)>0 (或<0)o(2) 函数的周期性：/(%+ ?) = /(%),则称T为/(兀)的一个为期；若人是所有周期中一个最小的正周期，则称于(兀)的周期是人3) 函数的奇偶性：①/(-%) = /(%) « /(%)是偶函数；②/(一兀)=一/⑴U> /(X)是奇函数注：定义域需关于原点对称)4) 函数的连续性：/(X)在兀=兀()处连续u> lim /(x) = /(x0)(常数)大T.$(5) 函数图像的对称性：若y = f(x)满足f(x + a) = f(/?-x)=>y = f(x)的图像关于直线x =—对称2(6) 函数的周期性(1)定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一 x,使/(兀+门=/(兀)恒成立， 则/(兀)叫做周期函数，T叫做这个函数/(兀)的一个周期.举例：j\a + x) = f(a 一 x) f(x + q) = - —^―/(x)若函数/(兀)在R上是奇函数，且在(—1,0)上是增函数，且/(x +2) = -/(%),则①/(x)关于 对称；②/(兀)的周期为 ；③/(朗在(1，2)是—函数(增、减)；④若兀w (0, 1)时/(x) = 2\ 则/(log] 18)= 。
2二、 函数的图象1. 基本函数的图象：① y = or + b, @y = ax2 +/?x + c, @y = ax,④ y - logf/ xb⑤ y = sinx , ® y = cosx, © y = tan x®函数 y = ax-\- — {a > 0,b > 0)的图像2. 图象的变换(1)平移变换① 函数y = /(x+q)(g>0)的图象是把函数歹=/(%)的图象沿x轴向左平移个单 位得到的；函数y = f(x + a)(a<0)的图象是把函数『=/(兀)的图象沿x轴向右平移Q个 单位得到的；② 函数y = f(x)^-a(a>0)的图象是把函数y = /(x)的图象沿y轴向上平移个单 位得到的；函数)，=/(X)+ a(a v 0)的图象是把函数y = f(x)的图象沿y轴向下平移a个单位得到的;(2)对称变换① 函数y二/(力与函数y二f(-x)的图象关于直线x=0对称；函数y二f(x)与函数y二-/(%)的图象关于直线y二0对称；函数y二f (兀)与函数y二-/(-兀)的图象关于坐标原点对称；② 如果函数y = /(x)对于一切xg R,都有f(a + x)= f(a -x)，那么y = f(x)的 图象关于直线x = a对称；如果函数y二/(%)对于一切xwR、都有 /(。
兀)+ /(一兀) = 24 那么y = /(x)的图象关于点(a,方)对称③ 函数y二f(a +兀)与函数y二f(a 一 %)的图象关于直线x-a对称④ y = /(x)T y = f(x)⑤〉' = /(兀)T y = f(\x\)®y = f~\x)与y = /(x)关于直线y =兀对称3)伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中)举例：己知函数= /(%)的图象过点(1, 1),则/(4-x)的反函数的图象过点 o三、函数的定义域与值域：① 定义域与值域的关系：无与y互换；② 极值：兀是/(兀)的一个极值/Uo) = O；③ 最值：⑴对于定义域D内的任意x，存在xogD，使得/(x)< /(x0)，则fmax(x) = /(x0)；对于定义域D内的任意■存在xogZ),使得/(x) > /(x0),则佥山(尢)=/(如)(ii) /(x)在闭区间［d“］内连续，则/(x)必有最大值与最小值.(iii) /(X)> g(x)恒成立 ^ /^)> gman(x)或［/3 - gOOhin 204、根的分布：若/⑴在闭区间［a,切内连续,且/(a)-/(Z?)<0,则至少存在一点xoe［a,b］f使得/(x0) = 0o例仁设函数/(x)= l--,x>Oo X(I) 证明：当 0
表示) 1,XG (0,1］解：(I)由 f(x) = < x ,——1 = 1——,2ab = a-^-b> 2y［ab nTUEo.1 八、a b1 ——(l，+oo)(II)切线方程为y-y0 =一-(兀一％o)，A(x0) = -(2-x0)2o 兀° 2例 2.设函数 f(x)在(―oo, +oo)上满足 /(2 一劝二 /(2 + %), / (7 - X)二 /(7 + X),且在闭区间［0,7］ ±,只有/(1) = /(3) = 0I) 试判断函数y = /(兀)的奇偶性；(II) 试求方程/(%) = 0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论解：(I) x = 2是/(兀)的对称轴,若/(力是奇函数，有/(5) = /(2+3) = /(2-3) = /(_!)= _/(1)= 0,与于(兀)在［0,7］上只有/(I) = /(3) = 0矛盾！同理可知它也不是偶函数；得/(劝是非奇非偶函数/(2-x) = /(2 + x)/(7-x) = /(7 + x)VU) = /(14-x)=>/(4-x) = /(14-x)=>/(x)= /(x+10),又/(力在［0,7］上只有/(1) = f(3) = 0,知/(兀)在［0,10］上只有2个解,在［0,2005］上只有20x2 + 2 = 402个解，在［-2005,0］±只有400个解，共802个解。
例3.函数y = /(x)在区问(0,+oo)内可导，导函数f(x)是减函数，且/(x)>0o设xog (0,+oo), y = kx^rm是曲线y = /(x)在点(x0,/(x0))处的切线方程，并设函数 g(兀)=kx + m0⑴用x0, /(x0), /(x0)表示加；(II)证明：当 XG (0,4-00)时,g(x) > f(x); 解：(I) m = f(xo)-xof'(xo)；(II)令h(x) = g(x)-f(x),得加»n力(兀)极小值=^(X)min =A(xo) = O；例4.已知二次函数f(x) = ax2+bx+c (a> 0)的图彖与x轴有两个不同的交点，若f(c) = 0, 且0 v x < c 时,f(x) > 0.(1) 试比较丄与c大小;a(2) 证明：一 2vbv—l.C C ］解： V f (c) = 0 , •••设 X］=C, Xj-X2 = —=> c ・x°= — =>x°二一，a a a1 —I c = 0/. f(—) = O,f(c)=O=>< a a (1)a c(ac + b + l) = O① 当c = 0 时,••• a > 0=> 丄〉0,/. — > c.a a② 当chO时，ac + b + l = 0nb = -ac — 1 代入(1)式得:1 — ac — 1a a+ c = 0n —二一c, a•・• a > 0,・・・c < 0 > c, 综上所述丄> c.a a课后练习：1.设A、B是函数尸log次图象上两点，其横坐标分别为a和a+4,直线/: x=a+2与函数 y二log2X图象交于点C,与直线AB交于点D.(I )求点D的坐标；(II)当AABC的面积大于1时，求实数a的取值范围.1 — X2-已知函数嗨弟(I )求 f(12003)+f('2003)的值;(II)当xe(-^6/］(其中ae(-l, 1),且a为常数)时，f(x)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.2V3.定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数，且当xe(OJ)0tf(x)=^-4’ +1(I) 求f(x)在卜1, 1］上的解析式；(II) 证明f(x)在(0,1)上时减函数；(III) 当入取何值时，方程f(x)= X在卜1, 1］上有解？。
