2.平面机械的动态静力分析.doc

第2章 平面连杆机构的运动分析和动态静力分析为了适应现代技术的发展，机械原理课程设计方法应由传统的图解法转向以解析法为主，以计算机为主要设计手段目前，机械原理教材中对图解法没有详细的论述为了进行使学生能够熟练地应用解析法，有必要编制一些常用机构分析与设计的应用子程序本指导教程主要有平面连杆机构运动分析、凸轮机构设计标准函数使用方法和实例，供课程设计使用所用编程语言为目前流行的数学计算软件－MATLAB，因此，要求学生必须具有MATLAB基本运算和编程基础考虑到目前有关MATLAB的参考书较多，本书不再作详细的讲解本教程中在平面连杆机构运动分析和动态分析，凸轮机构分析和设计中都应用了复数矢量法，为了便于学生理解、应用这一方法解决机械分析和设计问题，此处对复数矢量法的一些基本知识和运算方法作一简单介绍2.1　复数矢量的基本知识解析法对平面机构运动分析和设计的方法很多，目前国内教材中经常应用的有矩阵法、杆组法和矢量方程法等根据相关文献的介绍，采用复数矢量方程是解决机构运动学问题的最简单有效的方法，尤其是平面问题为了便于理解和应用，这里对复数矢量的一些知识以及复数矢量在MATLAB中的运算方法作一简单介绍。

2.1.1 平面矢量的复数表达式 设矢量A在坐标轴x、y上的投影为a、b（图2-1），模为r，幅角为j，以弧度表示则矢量r可表达成复数形式　　或　 上式也可以表示A点在坐标轴上的位置，在速度和加速度分析中可用来表示某一点的速度、加速度矢量图2-1对于一个矢量，若a=3,b=4,在MATALAB中其表达式为　r=3+4*i　　或　r=5*exp(0.34*i) 2.1.2 矢量的运算 l 矢量的加（减）：两个矢量的加（减）法运算是它们的实部和虚部分别相加（减）若　，　则　　　在MATLAB中的表达式为：r1=a1+b1*i; r2=a2+b2i; r=r1+r2; l 矢量的乘积和商：两矢量和的乘积是将第一个矢量伸长倍，再转动角度而得到的若　，　；　则，　； 注:作为分母项的矢量不能为零　复数的微分：　MATLAB中的相关计算函数：若　r1=3*exp(4*i)，　　 r2=4*exp(0.2i)；　两矢量的乘除：　rm=r1.*r2；rd=r1./r2；注：两矢量的点乘、点除为两矢量对应项的乘、除如果已知矢量a，则可以通过下列运算求出复数的相关量，复数的模：　 abs(a)；　复数的幅角：　 angle(a);复数a的实部：　real(a): 复数的虚部：　 imag(a)；复数a的共轭复数：　conj(rd)；2.2　刚体和Ⅱ级杆组的运动分析 由机构组成原理可知，任何平面连杆机构都可以看作是由若干个基本杆组依次连接于原动件和机架上而构成。

因此对常见的基本杆组进行运动分析并建立相应的子函数库，在进行机构运动分析时，就可以根据机构的组成情况，将机构分解为原动件、机构和若干个基本杆组，编制一个调用该机构杆组子函数的主程序，即可实现对整个机构的运动分析考虑到工程实际中大多数机构是Ⅱ级机构，本节主要介绍同一构件上两点间的运动分析和最常见的RRR型、RRP型和RPR型Ⅱ级杆组的运动分析的子函数，并通过一个典型的实例说明用该方法进行机构运动分析的方法和步骤2.2.1 同一构件上的点的运动分析已知构件上一点的位置矢量P1,速度v1、加速度a1, P1P2两点间距离r 和位置角q(以x轴为起始线逆时针方向为正)，角速度w、角加速度求构件上另一点N2点的位置、速度和加速度图2-2由图可得位置的复数矢量方程为 (2-1)式(2-1)对时间t求导,即得N2点速度的复数矢量方程　　　　　　 (2-2) 同样,式(2-2)对时间t求导可得P2点的加速度复数矢量方程 (2-3) 根据以上矢量方程编制的求P2点位置、速度、加速度的函数为：　function [a2,v2,p2]=rigid(a1,v1,p1,w,e1,r,theta)p2=p1+r*exp(i*theta);v2=v1+i*r*w.*exp(i*theta); a2=a1-(w.^2-i*e1).*r.*exp(i*theta);其中：p,v,a是以复数形式给出的相应点的位置、速度和加速度矢量。

　q－theta，角度；w－w　角速度；e1－e，角加速度当P1为固定铰链点时，求解时只需使v1=0，a1=0即可这样就可用来求主动件曲柄上某一点的运动参数图2-32.2.2 RRR基本杆组运动分析 RRRⅡ级基本杆组由两个构件和三个转动副构成，如图2-3所示已知：两构件杆长分别为rl和r2、，两外接运动副P1、P2的运动矢量参数(p1,v1,a1和p2、v2、a2)求内接转动副P3点位置、速度、加速度及两构件的角速度、角加速度1. 位置分析间的矢量为 　 (2-4)求出矢量d的模d和幅角d=abs(d), =angle(d) 　　　　　 　 (2-5)根据它们之间的几何关系，若或,则RRR杆组不能装配在程序运行中应进行判断与之间的夹角为 (2-6)而 (2-7)式（2-7）前的正负号决定于杆组起始位置的安装形式如图2-3中实线方式装配(构成顺时针方向)时，取正号；若按图中虚线方式装配(构成逆时针方向)时，则取负号.节点的位置为 (2-8) (2-9)2． 速度分析式(2-8)对时间求导得的速度矢量方程为 (2-10)上两式相减得: (2-11) 令： ， 则式(2-11)可写成： (2-12)求解得 (2-13) (2-14)则： 　 (2-15)3．加速度分析式(2-10)对时间t求导后,可得点的加速度复数矢量方程: (2-16)上两式相减得 (2-17) 令： ， 则上式可表示为 (2-18)由此解得 　 (2-19) (2-20)则p3点的加速度 (2-21) 根据以上运动分析的过程编制成MATLAB函数KRRR如下 function [p3,the1,the2,v3,w1,w2,a3,e1,e2]=KRRR(p1,p2,v1,v2,a1,a2,r1,r2,m)% detremine the acceleration of RRR component, known p1,p2,r1,r2;p12=p2-p1;d=abs(p12);phi=angle(p12);test1=(r1+r2)-d;test2=d-abs(r1-r2);if(test1>=0|test2>=0) cosin=(r1^2+d.^2-r2^2)./(2*r1*d); alph=atan2(sqrt(1-cosin.^2),cosin); the1=phi+m*alph; p3=p1+r1*exp(i*the1); the2=angle(p3-p2);else disp('RRR can not be assembled!');end % velocity v21m=abs(v2-v1); vthe=angle(v2-v1);w2=v21m.*cos(the1-vthe)./(r2*sin(the2-the1));w1=-v21m.*cos(the2-vthe)./(r1*sin(the1-the2));v3=v1+i*w1.*(p3-p1);% acceleration analysisa21m=abs(a2-a1); theta=angle(a2-a1);e1=-(a21m.*cos(the2-theta)+r1*w1.^2.*cos(the2-the1)-r2*w2.^2)./(r1*sin(the1-the2));e2=(a21m.*cos(the1-theta)-r2*w2.^2.*cos(the1-the2)+r1*w1.^2)./(r2*sin(the2-the1));a3=a1+(i*e1-w1.^2).*(p3-p1);变量说明：m－装配模式，当p1、p2、p3点的顺序为逆时针方向时，即在图中实线所示位置时，m=1;反之则m=-1。

the1,the2－构件杆长矢量、的幅角2.2.3 RRPⅡ级基本杆组运动分析 RRPⅡ级基本杆组由两个构件和两个转动副一个转动副构成，如图2-4所示已知构件杆长为rl，两外接运动副P1、P2的运动矢量参数(p1,v1,a1和p2、v2、a2)及导杆的转动参数（，,）求内接转动副P3点位置p3、速度v3、加速度a3和构件1的角速度、角加速度以及滑块相对于导杆的相对运动参数(、、)图2-4 图2-5 1．位置分析由图2-4可得矢量d (2-22)则d的模与幅角为 ,　 (2-23)因此，由图2-4有 　　　 等式两端同乘，得 　　　　　　　　　　　　　　　　（2-24）取上式中复数的实部和虚部，并整理得 　　　　　　　　　　　　　　　　（2-24a） (2-24b)　　　 (2-24c)式中根号前的正负号决定于杆组的初始装配形式。

如按图中P3实线位置()装配时,取正号；若为虚线位置()装配,则取负号.上述转动导杆Ⅱ级组的两种装配形式，实际上只是时,以为圆心, 为半径作圆与导杆相交得的两种可能位置而若时，则转动导杆Ⅱ级组如图（2-5)所示，这时点仅有一个可能位置，而相应公式中根号前应取正号若，则转动导杆Ⅱ级组不能装配。