第二十九讲-吉林大学网络教育学院杨凤杰.ppt

吉林大学远程教育课件主讲人: 杨凤杰学 时：64(第二十九讲)离散数学例6.4.8 Zn-1=0在复数域中恰 有n个不同的根,称为n次单位根， 它们做成一n元的乘法交换群 （Un，*）， Un可由任意一个本 原n次单位根（即周期为n者） 生成，设ξ是一个n次本原单位根， 那么，任一个n次单位根都可表示成ξ的 一个方幂，因此，（Un，*）是一个循环 群，ξ是它的一个生成元 例6.4.9 在所有非0复数构成的乘法群中 ，1的周期为1，-1的周期为2，±i的周 期为4，模数r≠1的复数z≠reiθ的周期 为无穷大定理6.4.5 若群G中元素a的周 期为n，则（1）1,a2,a3,…,an-1为n个不同元素；（2）am=1当且仅当n∣m;（3）as=at当且仅当n∣(s-t) 证明：因为任意整数m恒可唯一 地表为m=nq+r，0≤r2时，本原n次 单位根不只一个那么，在一个 循环群中,怎样的元素才能作为生 成元呢? 定理6.4.6 （1） 无限循环群（a） 一共有两个生成元：a及a-1 （2）n元循环群（a）中,元素ak是（a）的 生成元的充要条件是（n，k）=1 所以（a）一共有（n）个生成元素。

证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么 （a）中每个元素都可表示为ak的方幂 特别地，a也可表示为ak的方幂设a=（ak） m= ak m （1）由(a)是无限循环群知,km=1 因此，k=±1即，a及a-1为无限循 环群（a）的生成元2） 如果（a）是一个n元有限群，那么a的周期为n由定理6.4.5,n|km-1因此 km-1=nq， km-nq=1 这说明k与n互质另一方面， 如果k与n互质，则有h和-q，使 h k-qn=1， hk-1=qn， n│（kh-1）， a1=akh ， a=（ak）h， 故a可表为ak的若干次方，总之，a可表为ak的若 干次方，当且仅当k与n互质但在0≤k

例6.4.11 设G是三次对称群， H是由（1 2 3）生成的子群： H={I，（1 2 3），（1 3 2）} 因为有I∈H，使得（1 2）=（1 2）I，所 以 （1 2） ≡（1 2）（右mod H） 因为有（1 2 3）∈H，使得 （2 3）=（1 2）（1 2 3）， 所以（2 3）≡（1 2）（右mod H）结论： 合同关系（右模H）是一个等 价关系 证明：1）证反身性,因为对任意a∈G， 有1∈H,使得a=a1,所以a≡a(右mod H)2）证对称性,即证若a≡b（右mod H），则b≡a（右mod H）由a=bh，h∈H 可以推出b = ah-1，而且h-1∈H，故b≡a（右mod H）3)证传递性即证若a≡b（右mod H），b≡c（右mod H），则a≡c（右mod H）由a=bh，b=ck，h，k∈H，可得a=ckh，其中 kh∈H，故a≡c（右mod H） 既然合同关系（右模H）是一个等价关系，所以G 分成了所有等价类的并集。