考研 线性代数 笔记精华 二次型.docx

考研线性代数笔记精华二次线代框架之二次型1•定义:二次型(其中，即A为对称矩阵，f (x , x , , x ) = xt Ax =隘"axx 「° " a = a2 n IJ I J IJ JI含平方项的二次型称为二次型的标准形(此时二次型的矩阵为对角矩阵)( ))只x = (x , x , , x )t1 2 n经 f (x , xx ) = xt Ax2 n合同变换 x = Cy 化为f = £ d y 2 = yT A y标准形(其中 * > >i i i ij可逆线性变换 1是唯一的，与所作的正交变换有关，但非零系数的个数是由r (A)唯一确定的.标准形正惯性指数+负惯性指数的系数只在1, -1, 0三个数中取值的称为二次型的规范形 任意二次型均存在可逆变换 化为规范形2•合同：|A与B合同|设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C使得B=CTAC，则称A与B合 冋合同的性质：若A为对称阵，b也为对称阵；r(b)=R(A)；合同变换不改变二次型的正定性.V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.V两个矩阵合同的充 分条件是：A B V两个矩阵合同的必要条件是：r(A)=询用正交变换法化二次型为标准形：① 写出二次型的矩阵A；②求出A的特征值、特征向量；③对n个特征向量正交化， 单位化；④构造c （正交矩阵），作变换x卡，则 w = gACY二"ACY =y ]T(d、(y )111ydy222< y J nV•. d丿nv y丿n新的二次型为f=5ndy2,人的主对角上的元素d即为A的特征值•技巧：取正交的基础解系，跳过i=0取卩19P2施密特正交化。

例如:用配方法化二次型为标准形：原则：配方时每次把一个字母处理干净3•正定二次型：惯性定理：设有二次型f⑴=皿，秩为r有两个可逆变换x=Cy 及 x=Py使得则d中正数个数与k中正数个数相等f =£ dy2 及 f =丫 kyi i i i i i1 1正惯性指数二次型的标准形中正项项数p；负惯性指数二次型的标准形中负项项数（为二次型的秩）二次型的规范形唯一，实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负） r特征值的个数.正定二次型I x,x x不全为零，f（x,x x）〉0•正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.正定矩阵的性质；①若A为正定矩阵］at ,4, A迪是正定矩阵.②若A, B为正定矩阵-A * B为正 定矩阵，但AB, BA不一定为正定矩阵.f (x) = xtAx为正定二次型充要条件之一成立)：① ， ；Vx 主 0 xt Ax > 0 9② f的正惯性指数为n (或规范形n个系数全为1)；③ A的特征值全大于④ A的所有顺序主子式全大于⑤ A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC = E ；(X )⑥存在正交矩阵C，使得CTAC = C_1 AC =1X2⑦存在可逆矩阵p，使得A = pTp ； A为正定矩阵的必要条件：①a > 0 ；②|A| > 0・•- X丿a > 0iin。