云南中医药大学《高等数学》课件-第13章 无穷级数.ppt

第十三章第十三章 无穷级数无穷级数第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质第二节第二节 正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法第三节第三节 任意项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法第四节第四节 函数项级数函数项级数云南中医药大学高等数学第五节第五节 幂级数幂级数第六节第六节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数第七节第七节 周期函数的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数第八节第八节 非周期函数的傅立叶展开非周期函数的傅立叶展开第九节第九节 任意区间的傅立叶级数任意区间的傅立叶级数第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念二、常数项级数的性质二、常数项级数的性质三、柯西审敛原理三、柯西审敛原理问题的提出问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积一、一、(常数项常数项)级数的概念级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: :(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :余项余项无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“KochKoch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推播放播放周长为周长为面积为面积为第第 次分叉：次分叉：于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）解解 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上解解二、基本性质二、基本性质结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛收敛 发散发散收敛的必要条件收敛的必要条件证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .讨论讨论8项4项2项2项 项由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .因为级数因为级数 的敛散性与它的部分和数列的敛散性与它的部分和数列sn的的敛散性是等价的故由数列的柯西审敛原理可得敛散性是等价的故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理下面的定理.定理定理1柯西柯西( Cauchy)审敛原理审敛原理 级数级数收敛的充分必要条件为：收敛的充分必要条件为： 使得当使得当nN时对于任意的自然数时对于任意的自然数p，都有都有 |un+1+un+2+un+p| 成立成立.总存在自然数总存在自然数N，三三、柯西审敛原理柯西审敛原理所以所以,由数列的柯西审敛原理由数列的柯西审敛原理,即得本定理结论即得本定理结论.证证 设级数设级数的部分和为的部分和为sn,因为因为|un+1+un+2+un+p|=|sn+p-sn|.例例3 利用柯西审敛原理证明级数利用柯西审敛原理证明级数 收敛收敛.小结小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知练习题练习题练习题答案练习题答案第二节第二节 正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法一、正项级数收敛判别法一、正项级数收敛判别法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列 为单调增加数列.证明即部分和数列有界3.比较审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便: 须有参考级数. 解由图可知重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.证明4.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数, 如果则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛, 则收敛; (3) 当时, 若=1nnv发散, 则=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论, 得证.解原级数发散.故原级数收敛.证明收敛发散比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意:解比值审敛法失效, 改用比较审敛法级数收敛.思考题思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第三节第三节 任意项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法一、交错级数收敛性判别法一、交错级数收敛性判别法二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数收敛性判别法一、交错级数收敛性判别法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.解原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.三、小结三、小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考题思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.练 习 题练习题答案第四节第四节 函数项级数函数项级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、函数项级数的一致收敛性二、函数项级数的一致收敛性三、一致收敛级数的判别法三、一致收敛级数的判别法四、一致收敛级数的基本性质四、一致收敛级数的基本性质问题的提出问题的提出问题:解得和函数：因为该级数每一项都在0,1是连续的，例1 考察函数项级数和函数的连续性结论问题一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、函数项级数的一致收敛性二、函数项级数的一致收敛性定义xyo几何解释:例2解余项的绝对值例3研究例1中的级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意一个自然数因此级数在( 0, 1 )内不一致连续说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在( 0, 1 )内处处在( 0, 1 )内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）三、一致收敛性简便的判别法：三、一致收敛性简便的判别法：证例4证明级数证四、一致收敛级数的基本性质四、一致收敛级数的基本性质定理1证(1)(2)同样有(3)由(1)、(2)、(3)可见,定理2(4)证根据极限定义，有即定理3(5)注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导定理4幂级数的一致收敛性定理5证于是小结小结1、函数项级数一致收敛的定义；2、一致收敛级数的判别法魏尔斯特拉斯判别法；4、幂级数的一致收敛性3、一致收敛级数的基本性质；练 习 题练习题答案第五节第五节 幂级数幂级数一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性二、二、 幂级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性三、三、 幂级数的和函数的性质幂级数的和函数的性质四、四、 幂级数的运算幂级数的运算一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:证明由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域推论定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?证明由比值审敛法,定理证毕.例2 求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛区间为(0,1.解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为三、 幂级数的和函数的性质*二、幂级数的一致收敛性二、幂级数的一致收敛性由幂函数的和函数的连续性可知,这个和函数s(x)在x=0处是连续的,事实上有四、幂级数的运算四、幂级数的运算1.代数运算性质:(1) 加减法(其中(2) 乘法(其中柯西乘积(3) 除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)(收敛半径不变)解两边积分得解收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数小结小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是练 习 题练习题答案。