高一期末考试复习07平面向量1.doc

期末复习（7）第 3 页，共 4 页 32014 高一期末考试复习系列之 07——平面向量【基本知识】1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ∥ ，规定零向abab量和任何向量平行提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有 )；0④三点 共线 共线；ABC、 、  A、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是－ aa2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；B（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；bc（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面xyij内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， ＝ 叫做向量 的坐标表a,xiyj,a,xya示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同3.平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1＋ e2124、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：a当 >0 时， 的方向与 的方向相同，当 <0 时， 的方向与 的方向相反，当1,a aa＝0 时， ，注意： ≠005、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， 称为向量 ， 的b,OABbAO0ab夹角，当 ＝0 时， ， 同向，当 ＝ 时， ， 反向，当 ＝ 时， ， 垂直aa2ab（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的||cos数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 ＝ bcosb规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量3） 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0ba|cosb（4） 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的正射影的坐标的积。

a|a（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：b① ；0②当 . 同向时， ＝ ，特别地， ；当 . 反向时， ＝－ ；abb222,abab当 为锐角时， ＞0，且 不同向， 当 为钝角时， ＜0，且 不反向， a、 、③非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；④ cosab|||6、向量的运算：期末复习（7）第 4 页，共 4 页 4（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“ 平行四边形法则 ”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则” ：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即 ；,ABaCbACababABC②向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的终点指向被减,B那 么向量的终点注意：此处减向量与被减向量的起点相同2）坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb①向量的加减法运算： ， 1x12)y②实数与向量的积： ,,③若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终12(,)(,)AxyB2A点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积： ⑤向量的模： 1abxy 222|,|axyaxy⑥两点间的距离：若 ，则 2,,11|AB7、向量的运算律：（1）交换律： ， ， ；ab（2）结合律： ， ；,abcccabab（3）分配律： ， c提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？cba)(8、向量平行(共线)的充要条件： ＝0/ab22||12xy9、向量垂直的充要条件： .0||特别地 )()ABCA10、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，||||abab特别地，当 同向或有 ； ab、 0|||ab||ab当 反向或有 ；、 |当 不共线 (这些和实数比较类似). 、 ||||（3）在 中，①若 ，则其重心的坐标为ABC123,,,xyBCxy123123,xyG② 为 的重心，特别地 为 的重心；1()PGPGA0PABCPABC③ 为 的垂心；④向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线) ；()(0||ABCB⑤ 的内心；| |C（4）若 P 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ，特别地 为 12M12MPP12的中点 ；PM（5）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 . ABC、 、 AB、 、 、 ABC期末复习（7）第 5 页，共 4 页 52014 高一期末考试复习系列之 07——平面向量一、向量的概念理解1、下列命题：（1）若 ，则 。

（2）两个ab向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 （3）若 ，则 是平行四边形ABDC（4）若 是平行四边形，则 ABDC（5）若 ，则 （6）若 ，,abca/,abc则 其中正确的是_______/c2、设 为单位向量， （1）若 为平面内的某个向量，0则 =| |· ;(2)若 与 a0 平行，则=| |· ；（3）若 与 平行且| |=1，则 =a a上述命题中，假命题个数是（）A．0B．1 C．2 D．33、下列命题中：① ；cba)(② ③ ；cba)(2|2||b④ 若 ，则 或 ；0 0⑤ ；2⑥若 则 ；⑦ ；,abca2a⑧ ；⑨ 2() 2()bb其中正确的是_____________4、下列命题中， （1） ；（2） ；00（3）若 ，则 ；（4）若,ac，则 当且仅当 时成立；bca（5） 对任意 向量都()()b,bc成立；（6）对任意向量 ，有 ，正确的2有______5、下列命题正确的有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.4 （1）两个向量相等，若起点相同，则终点也相同（2）若两个单位向量平行，则这两个向量相等 （3）若 ，则 与 不一定平行，若||ba，则 不一定等于 （4）若/ |b，则有 （5）共线向量不)(a/一定是平行向量，平行向量也不一定是共线向量（6） 中，必有ABC0CAB二、线性运算1、 （1） __________；FD（2）_________．()()ABMOBC2．已知下列各式：① A② ③ OMBA)( COBA④ ，其中结果为 的个数为DC0（）A.1 B.2 C.3 D.43、化简与计算：（1） （2）a1)(()(2ba（3） )()(ba（4） )]76(413)[(2ba4．解方程（组）（1）设 是未知向量，解方程x0)(3)(5ba（2）若 ， ，其中 是已nm2bn3a,知向量，求 ,5．已知向量 和 不共线，实数 ， 满足abxy，则byx)2(54)2(____．6．已知 ， ，213e21e，则向量 写为 的形式是cac__________．三、向量的坐标运算1、已知平面上三个点 ，)8,1(5,7)6,4(CBA求 ACB32, 2、已知 , , , ，以 ,)1(A2B)3(C)2DAB为一组基底来表示期末复习（7）第 4 页，共 4 页 4=__________CDBA3、已知 ， ，则 =_____,)8,2(ba)16,(baa=______4、已知向量 ,4,5(,0),,OkOkABC且 三 点 共 线 则 k=_且 ABC 共线，则 k=______________5．已知四个点 、 、 、)3,2(A)6,(B,，则四边形 的形状是（　　）,10(DCDA．梯形　B．邻边不相等平行四边形　 C．菱形 D．正方形6．已知 ， ，若 ，则)2,(x)2,5(y)6,4(AB的值分别为_________．y,7．向量 ， ，若 ，则7,a4,6xbba____8．两点 ，则与 同向的单位向量)3,()1,4BA是_________反向的单位向量是________9、设 },),21(,|{RmaP是两个向)(nQ量集合,则 ____________10、向量 与,2)6,(b（1）当 ______时，共线且方向相同；m（2）当 _____时， 与 共线且方向相反．a（3）当 _____时， 与 垂直11、 (1)若向量 ，当 ＝_____时(,1)(4,)xbx与 共线且方向相同a（2）已知 ， ，,,2uab，且 ，则 x＝ ______v/v（3）设 ，则(,12)(4,5)(10,)PAkBPCkk＝ _____时，A,B,C 共线12、已知点 ， ，若,,7,，则当 ＝____时，()R点 P 在第一、三象限的角平分线上13、已知 ，1(2,3),4(sin,co)2ABAxy且，则 xyy14、设 ，且 ，(,)1,53CB，则 C、D 的坐标分别是 __________3AB四、平面向量基本定理1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 2(0,)(1,)e12(,)(5,7)eC. D. 135632、 ， ，若 ，24a21)(nbba/则 的值为_________．n3、已知 ， ，则向量21ea21eb与 （　　）A．一定共线　　B．一定不共线C．仅当 与 共线时共线　D ．以上均不成立124、设 ， 是两个不共线的向量，已知ab， ，kbaB3baC2，若 、 、 三点共线，则实数 的值为k_________5、平面直角坐标系中， 为坐标原点.已知两点O，若向量)3,1(,2A成立，其中 ，且BC1,0，求点 的轨迹方程__________________.6、已知 分别是 的边 上的中线,,DEAC且 ,则 可用向量 表示为Aabab________7、已知 中，点 在 边上，且 ，B  DB2，则 的值是________  srCsr8、平行四边形 ABCD 中， ，连接FCE,21BE、AF 相交于 H，求 关于基底的分解式}AD{且9、向量 ，(3,4)(6,3)(5,3)OABOCm。