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习题（计算题）解答 第一章 习题（计算题）解答 第一章 绪论绪论 1．解 根据普朗克的黑体辐射公式 3 3 81 1 vhv kT hv ddv c e π ρ ν=⋅ − ， （1） 以及 cv =λ， （2） vdv d λ ρρλ= −， （3） 有 2 5 ( ) ( ) 81 , 1 v v hc kT dv d c d d c hc e λν λ ρρ λ λ ρ λ λ ρ λ λ π λ = − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = − =⋅ =⋅ − 这里的d λ ρλ是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度 本题关注的是λ取何值时， λ ρ取得极大值，因此，就得要求 λ ρ 对λ的一 阶导数为零， 由此可求得相应的λ的值， 记作 m λ 但要注意的是， 还需要验证 λ ρ 对λ的二阶导数在 m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m λ就 是题目所要求的具体如下： 0 1 1 5 1 18 6 ' = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅+− − ⋅= − kT hc kT hc e kT hc e hc λλ λ λλ π ρ ⇒ 0 1 1 5= − ⋅+− − kT hc e kT hc λ λ ⇒ kT hc e kT hc λ λ =− − )1 (5 如果令 hc x kTλ = ，则上述方程为 xe x =− − )1 (5 这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证， 此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x以及三个物理常量代入到上式便知 KmT m ⋅×= −3 109 . 2λ 这便是维恩位移定律据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低 2．解 根据德布罗意关系，可知 Ehν= h p λ = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ 2 e Ecµ ? (3) 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(xU，要等式成立，必须 0)( 1 =xψ 3( ) 0xψ= 即粒子不能运动到势阱以外的地方去 方程(2)可变为0)( 2)( 2 22 2 2 =+x mE dx xd ψ ψ ? 令 2 2 2 ? mE k=，得 0)( )( 2 2 2 2 2 =+xk dx xd ψ ψ 其解为 kxBkxAxcossin)( 2 +=ψ (4) 根据波函数的标准条件确定系数A、B。

由连续性条件，得 )0()0( 12 ψψ= (5) )()( 32 aaψψ= (6) (5)0=⇒ B (6)0sin=⇒kaA ), 3 , 2 , 1( 0sin 0 ? ∵ ==⇒ =∴ ≠ nnka ka A π ∴x a n Ax π ψsin)( 2 = 由归一化条件 1)( 2 = ∫∞ dxxψ 得 1sin 0 22 = ∫ a xdx a n A π 由 mn a b a xdx a n x a m δ ππ ∫ =∗ 2 sinsin x a n a x a A π ψsin 2 )( 2 2 =∴ =⇒ 2 2 2 ? ∵ mE k= ), 3 , 2 , 1( 2 2 2 22 ? ? ==⇒nn ma En π 可见E是量子化的 对应于 n E的归一化的定态波函数为 2 sin, 0 ( , ) 0, 0, n i E t n n xexa x t aa xxa π ψ −⎧ ≤≤⎪ =⎨ ⎪ ⎩ ? 4．证： sin(), 2 0, n n Axaxa a xa π ψ ⎧ ′+ ⎩ 222 2 2 n n E a π µ = ? (1 2 3 )n =?，，， 动量的几率分布函数为 2 ( ) n ECω= * 0 2 ( ) ( )sin( ) a nn n Cxx dxxx dx aa π ψψψ ∞ −∞ == ∫∫ 先把( )xψ归一化，由归一化条件， 2 2222222 00 1( )()(2) aa xdxA xaxdxAxaaxxdxψ ∞ −∞ ==−=−+ ∫∫∫ 22234 0 (2) a Aa xaxxdx=−+ ∫ 5555 22 () 32530 aaaa AA=−+= ∴ 5 30 A a = ∴ 5 0 230 sin() a n n Cx x ax dx aaa π =⋅⋅− ∫ 2 3 00 2 15 [sinsin] aa nn axxdxxxdx aaa ππ =− ∫∫ 23 2 322 23 2233 0 2 15 [cossincos 22 sincos] a ananan xxxxx ananana anan xxx nana πππ πππ ππ ππ =−++ −− 33 4 15 [1 ( 1) ] n nπ =− − ∴ 2 2 66 240 ( )[1 ( 1) ] n n EC n ω π ==− − 66 960 1 3 5 02, 4, 6, n n n π ⎧ = ⎪ =⎨ ⎪ = ⎩ ? ? ，， ， ， ， 2 ˆ ˆ ( )( )( )( ) 2 p Ex Hx dxxx dxψψψψ µ ∞∞ −∞−∞ == ∫∫ 22 52 0 30 () [()] 2 a d x xax xa dx adxµ =−⋅ −− ∫ ? 2233 55 0 3030 ()() 23 a aa x xa dx aaµµ = −−=− ∫ ?? 2 2 5 aµ = ? 9、解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22 2 222 28 ss ee E n µµ = −= − ?? (2)n = 角动量平方有确定值为 222 (1)2L =+=? ??? (1)=? 角动量Z分量的可能值为 1 0 Z L= 2Z L= −? 其相应的几率分别为 1 4 ， 3 4 其平均值为 133 0 444 Z L =× − ×= −?? 10、解：据题意，在ra≥的区域，( )U r = ∞，所以粒子不可能运动到这一 区域，即在这区域粒子的波函数 0ψ= (ra≥) 由于在ra∞ ≤≤ ∞ = ax ax x xU ， ， ， 0 0 0 )(，则能量表象中 基矢：x a n a xun π sin 2 )(= (0xa≤≤) 能量： 222 2 2 n n E a π µ = ? 于是 * 0 2 ( )( )sinsin a mnmn mn xux xux dxx xxdx aaa ππ ==⋅ ∫∫ 0 1()() coscos a mnmn xxx dx aaa ππ−+⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 当mn=时 0 12 (1 cos) 2 a mm ma xxx dx aa π =−= ∫ 当mn≠时 0 1()() [sinsin] ()() a mn axmnaxmn xxx amnamna ππ ππ ⎡ −+ =− ⎢ −+ ⎢⎣ 00 ()() sinsin ()() aa amnamn xdxxdx mnamna ππ ππ ⎤−+ −+ ⎥ −+ ⎦ ∫∫ 2222 0 ()() [coscos] ()() a amnamn xx mnamna ππ ππ −+ =− −+ 222 2222 11 ( 1)1 ()() 4 ( 1)1 () m n m n a mnmn amn mn π π − − ⎡⎤ ⎡⎤=−−− ⎢⎥⎣⎦ −+ ⎣⎦ ⎡⎤=−− ⎣⎦ − * 0 2 ˆ( )( )sinsin a mnmn mdn pux pux dxixxdx aadxa ππ ==−⋅ ∫∫ ? 2 0 2 sincos a nmn ixxdx aaa πππ = −⋅ ∫ ? 2 0 ()() sinsin a nmnmn ixx dx aaa πππ+−⎡⎤ = −+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ ? 当mn=时 2 0 2 sin0 a mm mm pixdx aa ππ = −= ∫ ? 当mn≠时 2 0 ()() coscos ()() a mn namnamn pixx amnamna πππ ππ ⎡⎤+− =+ ⎢⎥ +− ⎣⎦ ? 2 22 11 ( 1)1 ] ()() 2 ( 1)1 () m n m n na i amnmn i mn mn a π π − − ⎡⎤ ⎡⎤=+−− ⎢ ⎥⎣ ⎦ +− ⎣⎦ ⎡⎤=−− ⎣⎦ − ? ? 3．解：定态薛定谔方程为 22 22 2 1 ( , )( , )( , ) 22 dp C p tC p tEC p t dp µω µ −+=? 即 22 22 2 1 ( , )() ( , )0 22 dp C p tEC p t dp µω µ −+−=? 两边乘以 2 ω? ，得 0),() 2 (),( 1 1 2 2 2 =−+−tpC pE tpC dp d ?? ? µωω µω 令 11 , ppβξβ µωµω === ?? ， ω λ ? E2 =，则 0),()(),( 2 2 2 =−+tpCtpC d d ξλ ξ 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 1 2 () n Enω=+? 22 1 2 ( , )() n i pE t nn C p tN eHp e β β −− = ? 式中 n N 为归一化因子，即 2/1 2/1 ) !2 ( n N n n π β = 4．解： 22 22222 2 111 ˆ ˆ 2222 d Hpxx dx µωµω µµ =+= −+ ? ∫ = ′ dxxHxH pppp )( ˆ )( * ψψ 22 22 2 11 () 222 ii pxp x d ex edx dx µω πµ ′− =−+ ∫ ?? ? ? ∫∫ ∞ ∞− −′∞ ∞− −′ +′−=dxexdxep i xpp i xpp i )( 22 )( 2 2 2 1 2 1 2 1 )( 2 ?? ??? ? π µω πµ ∫ ∞ ∞− −′ ′∂ ∂ +−′ ′ =dxe pi pp p xpp i )( 2 2 22 2 )( 2 1 2 1 )( 2 ? ? ?π µωδ µ 22 () 22 2 11 ()( ) 222 i pp x p ppedx ip δµω µπ ′∞− −∞ ′∂ ′=−+ ′∂ ∫ ? ? ? )( 2 1 )( 2 2 2 22 2 pp p pp p −′ ′∂ ∂ −−′=δµωδ µ ? )( 2 1 )( 2 2 2 22 2 pp p pp p −′ ∂ ∂ −−′=δµωδ µ ? 22 22 2 1 () () 22 p pp p µωδ µ ∂ ′=−− ∂ ? 5．解：设 ˆ x L的本征值为λ，本征函数为 1 2 3 a a a ψ ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ，则 ˆ x L的本征方程 11 22 33 010 101 2 010 aa aa aa λ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ? x L的久期方程为 00 2 0 22 0 2 23 =+−⇒= − − − λλ λ λ λ ? ? ?? ? ??−===⇒ 321 0λλλ，， ∴ ˆx L的本征值为0−??， ， 当 1 0λ=时，有 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜。