不定积分的基本公式和运算法则直接积分法.pdf

. ·复习 1 原函数的定义2 不定积分的定义3 不定积分的性质4 不定积分的几何意义 ·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法 ·讲授新课 第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法 一 基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 导数公式 微分公式 积分公式 1 ( )kxk ( )d kxkdx Ckxkdx (k0) 2 21()2xx  21()2dxxdx 212xdxxC 3 211()xx 211()ddxxx 211dxCxx  4 1(ln)xx  1d(ln)xdxx Cxdxxln1 5 1()1xx 1d()1xx dx Cxdxx11 (1) 6 (e )exx  d(e )exxdx Cdxxxee 7 ()lnxxaaa  d()lnxxaa dxa Caadxaxxln 8 (sin )cosxx d(sin )cosxxdx Cxxdxsincos 9 ( cos )sinxx d( cos ) sinxxdx Cxxdxcossin . . 10 2(tan )secxxdx 2d(tan )secxxdx Cxxdxdxxtanseccos122 11 2( cot )cscxx 2d( cot )cscxxdx Cxxdxdxxcotcscsin122 12 (sec )sec tanxxx d(sec )sec tanxxxdx Cxxdxxsectansec 13 ( csc) csccotxxx d( csc) csc cotxxxdx Cxxdxxcsccotcsc 14 21(arctan)1xx  21d(arctan)1xdxx Cxdxxarctan112 15 21(arcsin)1xx  21d(arcsin)1xdxx Cxdxxarcsin112 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法 例 1.求下列不定积分.（1）dxx21 （2）dxxx 解： （1）dxx21＝212121xxdxCCx  （2）dxxx＝Cxdxx252352 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分 . . 二 不定积分的基本运算法则 法则 1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([ 法则 1 对于有限多个函数的和也成立的． 法则 2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dxxfkdxxkf)()( （0k） 例 2 求3(21)xxe dx  解 3(21)xxe dx =23x dx+dx-xe dx =412xxxeC 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。

如上例由于41()2xxxeC =321xxe ，所以结果是正确的 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法 例 3 求下列不定积分. （1）1(1)()xxdxx （2）dxxx1122 解 ：（ 1 ） 首 先 把 被 积 函 数1(1)()xxx化 为 和 式 ， 然 后 再 逐 项 积 分 得 . . 11(1)()(1)xxdxxxxdxxx 1xxdxxdxdxdxx 5122221252xxxxC 注： （1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误 （2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可 （3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数若相等，积分结果是正确的，否则是错误的 （2）2222211 22(1)111xxdxdxdxxxx  222arctan1dxdxxxCx。

上例的解题思路是设法化被积函数为和式， 然后再逐项积分， 是一种重要的解题方法， 须掌握 练习 1 322324xxxdxx，2 22221(1)xdxxx，3 421xdxx 答案 1 21432ln | |2xxxCx  ， 2 1arctan xCx， 3 31arctan3xxx C  例 4 求下列不定积分.（1）xdx2tan （2）dxx2sin2 解： （1）22tan(sec1)xdxxdx 2sectanxdxdxxxC （2）Cxxdxxdxxsin21212cos12sin2 上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式. . 的恒等变换 练习 1 2cot xdx 2 2cos2xdx 3 cos2xdxcosx-sinx 答案 1 cot xxC 2 1(sin )2xxC 3 sin-cosxxC 例 5 设xxf22cos)(sin，求)(xf. 解：由于xxxf222sin1cos)(sin， 所以xxf1)(，故知)(xf是x1的原函数，因此 Cxxdxxxf2)1()(2． 小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。

练习 求下列不定积分. （1）2(12sin)xdxx（2）2212()cossindxxx， （3）dttt2) 1(， （4）2223()11dttt， （5）dxxx)6(6， （6）dxxx2411， （7）dxxx)cotcsc(csc， （8）dxxx2sin2cos， （9）2(cossin )22ttdt， （10）dxx ) 1(tan2， （11）22ee (3)1xxxdxx 答案 1 2cos2ln| |xxxC， 2 tan-cotxxC， 3 212ln | |2tttC， 4 2arcsin 3arctantt C， 5 761ln67xxC， 6 313xxC， 7 cotcscxxC， 8 cot2xC， . . 9 costtC， 10 tan2xxC，11(3)2arcsin1 ln3xex C 小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算． 作业 P81:2,3 板书设计 一 基本公式 例 1 二 不定积分的法则 例 2 三 直接积分法 例 3 例 4 例 5 练习 小结 作业 。