34基本不等式.ppt

3.43.4基本不等式基本不等式基本不等式的推导及其证明第1课时 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 设直角三角形的两条直角边长为a、b, 那么正方形的边长为 . 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有结论1：证明： 作差比较 a2+b2-2ab=(a-b)2 当ab时，(a-b)2>0 得 a2+b2>2ab 当a=b时，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab 特别地，如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替上面结论中的a、b，可得证明同前面结论1结论2基本不等式的几何意义 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么 ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.由于CD不大于圆的半径 所以 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a＝b时，等号成立.的几何意义是“半径不小于半弦”因此，基本不等式 如果把 看作是正数a、b的等差中项，把 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 基本不等式 代数意义 为a、b的算术平均数， 为几何平均数，那么两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的推广：基本不等式的推广： 若若 则则 叫做叫做n个正数的算术平均数，个正数的算术平均数， 叫做叫做n个正数的个正数的几何平均数几何平均数.n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 例1. 求证证明：当且仅当a= 即a=1时，等号成立.当且仅当 = 即a=b时，等号成立.2.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc三式相乘得当且仅当a=b=c时等号成立.基本不等式的应用第2课时复习：基本不等式例4.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y22xy， ∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y22即x2+y2的最小值为2,当且仅当x=y=1时取得最小值.3.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc三式相乘得当且仅当a=b=c时等号成立. 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由可得 分析：对于(1)矩形菜园的面积是确定的,长和宽没有确定.篱笆最短即矩形的周长最短.当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 解：（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2.由可得 分析：对于(2)矩形菜园的周长是确定的,长和宽没有确定.菜园的面积最大即矩形的面积最大.当且仅当x=y时，等号成立，此时x=y=9. 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 1. 已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 利用基本不等式 求最值的要点2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等” 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为z元，根据题意，得当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 例3.已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值. 解：因为 x＞1 所以 x－1＞0 当且仅当x－1＝ （x>1)即x=2时，取“＝”号.答：最小值是3，取得最小值时x的值为2.1．下列函数中，最小值为．下列函数中，最小值为4的是的是( )(A)(B)(C)(D)C 练习 2.某某公公司司租租地地建建仓仓库库，，每每月月土土地地占占用用费费y1与与仓仓库库到到车车站站的的距距离离成成反反比比，，而而每每月月库库存存货货物物的的运运费费y2与与到到车车站站的的距距离离成成正正比比，，如如果果在在距距离离车车站站10公公里里处处建建仓仓库库，，这这两两项项费费用用y1和和y2分分别别为为2万万元元和和8万万元元，，那那么么要要使使这这两两项费用之和最小，仓库应建在离车站项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) (A)5公里公里 (B)4公里公里 (C)3公里公里 (D)2公里公里 A 4. 若正数若正数x、、y满足满足x+2y＝＝1.求求 的最小值的最小值. 3. 已知已知lgx+lgy＝＝1，， 的最小值是的最小值是______. 5. 已知正数已知正数a、、b满足满足a+b＝＝1. (1)求求ab的取值范围；的取值范围；(2)求求 的最小值的最小值. 当且仅当 时取“=”号即当 时,函数的最小值为解解:6.求函数 的最小值.) 1(113)(2->++-=xxxxxf 7. 如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab 成反比. 现有制箱材料60平方米， 问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计). ABab小结 1. 已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”一正,二定,三相等③必须有自变量值能使函数取到等号.①各项必须为正;②含变数的各项和或积必须为定值;3.利用基本不等式求函数最值的步骤:作业习题P100-101．Ａ组，2,3,4Ｂ组1,2。