高等数学36平面曲线的曲率.ppt

第六节第六节 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 弧微分弧微分曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径小结小结 思考题思考题 作业作业(curvature)(arc element)第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用1一、弧微分一、弧微分 为了得出曲线为了得出曲线 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先计算弧长函数先计算弧长函数s(x)对对x的微分的微分,称为弧微称为弧微分分. 规规定定 设函数设函数 f (x)在区间在区间(a, b) 内内具有连续导数具有连续导数.基点基点:(1) 曲线的正向与曲线的正向与x增大的方向一增大的方向一致致;当当 的方向与的方向与曲线正向一致时曲线正向一致时,曲曲 率率2单调增函数单调增函数.如图，如图，于是于是弧弧 s的增量为的增量为那末那末曲曲 率率3取取极限极限,即即又又得得弧微分公式弧微分公式为单调增函数为单调增函数,曲曲 率率4如将如将代入公式代入公式,得得弧微分公式弧微分公式可化为参数方程形式可化为参数方程形式如如曲线以极坐标方程给出曲线以极坐标方程给出如如曲线为参数方程曲线为参数方程写到根式内写到根式内,得得曲曲 率率5是描述曲线局部性质是描述曲线局部性质(弯曲程度弯曲程度)的量的量.弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大越大转角相同弧段转角相同弧段越短越短1. 曲率的定义曲率的定义曲率曲率转角转角越大越大弯曲程度大弯曲程度大二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲曲 率率6设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，定义定义曲线曲线C 在点在点M处的曲率处的曲率为为⌒⌒（平均曲率平均曲率为为存在的条件下存在的条件下,曲曲 率率72. 曲率的计算公式曲率的计算公式(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒圆上各点处的曲率等于半径的倒数数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.注注曲曲 率率8二阶可导二阶可导,由公式由公式曲曲 率率9例例解解显然显然,为抛物线的顶点为抛物线的顶点,∴∴ 抛物线在顶点处的曲率最大抛物线在顶点处的曲率最大.K最大最大.曲曲 率率10定义定义(circle of curvature)三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径使使曲率圆曲率圆. .曲率中心曲率中心, ,曲率半径曲率半径. .设曲线设曲线 y = f (x) 在点在点M(x, y)处的曲率为处的曲率为K (K≠ 0).在点在点M处的曲线的法线上处的曲线的法线上,在在凹的一侧取一点凹的一侧取一点D,以以D为圆心为圆心,为半径作圆为半径作圆(如图如图).称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点M处的处的曲曲 率率11(1) 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的的(2) 曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处(3) 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注注曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);附近曲线弧附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数曲率互为倒数, 即即曲曲 率率12基本概念基本概念: 弧微分弧微分, 曲率曲率, 曲率圆曲率圆,曲曲率中心率中心,曲率半径曲率半径;研究曲线的弯曲程度研究曲线的弯曲程度: 曲率曲率;四、小结四、小结基本计算基本计算: 弧微分弧微分, 曲率曲率; 曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近近 曲线弧曲线弧,使问题简化使问题简化.曲曲 率率13思考题思考题 的曲率最小？的曲率最小？曲曲 率率 t为何值时为何值时, 曲曲线线 求出最小曲率求出最小曲率, 写出该点的曲率半径写出该点的曲率半径.解解 要使要使K(t)最小最小, 等价于等价于 最大最大, 故当故当 即即曲率最小曲率最小, 且且14。