量子物理之角动量空间量子化模型.pdf

{范例 14.8} 角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子化模型，求出角动量与特定方向 (例如 Bz方向 )的夹角 [解析 ]氢原子是由质子和电子组成的系统，质子形成带正电的原子核，其质量是电子质量的 1836倍，因此在电子绕核运动时可认为原子核是静止的 电子和原子核之间的电势能为 其中， e为电子电量， r为电子到核的距离 由于 V(r)不随时间改变，所以是一个定态问题 电子绕核运动的薛定谔方程为 20() 4 πeVr r22 e202 ( ) 04 πm eEr    h势能是球对称的 直角坐标和球坐标变换如下 x = rsinθcosφ， y = rsinθsinφ， z = rcosθ {范例 14.8} 角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子化模型，求出角动量与特定方向 (例如 Bz方向 )的夹角 电子在球坐标系中的薛定谔方程为 ψ=ψ(r,θ,φ)是球坐标系中的波函数 设 ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)， R(r)， Θ(θ)和 Φ(φ)分别是r， θ和 φ的函数。

经过严密数学运算，可得三个函数所满足的三个常微分方程 其中 ml和 λ是常数 222 e2 2 2 2 2 2021 1 1( ) ( s i n ) ( ) 0s i n s i n 4 πm erEr r r r r r                    h222d 0,d lm  221 d d( s i n ) ( ) 0s i n d d s i nlm       22e2 2 2021 d d( ) [ ( ) ] 0d d 4 πmRer E Rr r r r r   h解这些微分方程并利用波函数标准条件 (单值，连续和有限 )和归一化条件，可得出一些重要的结论 {范例 14.8} 角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子化模型，求出角动量与特定方向 (例如 Bz方向 )的夹角 (1)氢原子的能量是不连续的，处在第 n个定态的总能量为 n是主量子数 根据氢原子的定态薛定谔方程解得的能级公式与玻尔氢原子理论所得结果完全相同，但是不需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件。

(2)氢原子中电子的角动量也只能取分立的值，其大小为 (l = 0， 1， 2， … ， n - 1) l为角量子数或副量子数 4e2 2 2018nmeEhn( 1 )L l l h对于同一个 n值， l可以取从 0到 n - 1共 n个不同的值 l = 0， 1， 2， 3， 4， 5的状态通常用字母 s， p， d， f， g， h表示 {范例 14.8} 角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子化模型，求出角动量与特定方向 (例如 Bz方向 )的夹角 (3)在量子力学中，氢原子核外电子的角动量在空间任意方向 (如外磁场方向 )的投影也是不连续的，只能取一些特殊的不连续的值 Lz = mlħ (ml = 0， ± 1， ± 2， … ， ± l) 即：角动量在空间任一方向的投影也是量子化的，这种现象称为角动量空间量子化 对于确定的 l， ml只能取 0， ± 1， ± 2， … ，± l共 2l + 1个值， ml称为轨道磁量子数 如图所示，角动量与某一方向的夹角为 由于 ml是整数，所以角动量只能取一些特定的方向 。

(L在 LxLy平面的投影用 Lr表示 ) a r c c o s a r c c o s ( 1 )lz mLL ll  O Lz=mlħ L Bz θ Lr 当氢原子中电子的角量子数为 1时，轨道角动量为 1.414ħ 轨道磁量子数可取 -1， 0， 1，这时，轨道角动量与竖直方向的夹角分别为 45º， 90º和135º 当氢原子中电子的角量子数为 2时，轨道角动量为 2.450ħ 轨道磁量子数可取 -2， -1， 0， 1，2，这时，轨道角动量与竖直方向的夹角分别为35.26º， 65.9º，和 90º等 当氢原子中电子的角量子数为 3时，轨道角动量为 3.464ħ 轨道磁量子数可取 -3， -2， -1，0， 1， 2， 3，这时，轨道角动量与竖直方向的最小夹角为 30º，最大夹角为 150º 当氢原子中电子的角量子数为 4时，轨道角动量为 4.472ħ 轨道磁量子数可取 -4到 4共 9个整数 ，这时，轨道角动量与竖直方向的最小夹角为 26.57º，最大夹角为153.4º 当角量子数为5时，轨道角动量为 5.477ħ 轨道磁量子数可取 -5， -4， ...， 4，5， 共有 11个值，因而轨道角动量与竖直方向的夹角有 11个不同值 。