三角形辅助线的添加方法和经典习题和答案.docx

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角 形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1:已知如图1-1: D E为△ ABC内两点，求证:AB+AC> BA DE+ CE.证明：（法一） 在△ AMN^, 在△ BDM43, 在△ CEN中,将DE两边延长分别交 AR AC于M NAM^ AN > MD+ DE+ NE; (1)M 即 MD> BD;CW NE> CE;(2)(3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AM + AN+ MB^ M[> CW NE> MM DE+ NE+ BD+ CEAB+ AC> BD+ DE+ EC（法二：）如图1-2 ,延长BD交AC于F,延长 CE交BF于G,在△ ABF^A GFC^D△ GDE中有：AB + AF> BD+ DO GF (三角形两边之和大于第三边)GF +FO G曰 CE (同上) DG +GE> DE (同上) 由(1) + ( 2) + ( 3)得：AB +AF+ GF+ FC+ DG^ GE> BD+ DG^ GF+ G曰 CE+ DEAB+ AC> BD+ DE+ EG(1)⑵(3)二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某 个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1 :已知 D为△ ABC内的任一点，求证：/ BDO/ BAC布而 因为/ BDC与/ BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDCM于在外角的位置，/BAC处于在内角的位 证法一：延长BD交AC于点E,这日BDC^△ EDC勺・ •/ BDO / DEC 同理/ DEO / BAGBDO / BAC证法二：连接 AD,并延长交BC于F・ ••/ BDF>A ABD的外角・ ./ BDF> / BAD 同理，C CDF> / CAD・ •/ BD斗 / CDF> / BA* / CAD 即：/ BDO / BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将置； 外角,大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1 :已知 AD为4ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3=/4,求证:BE+ CF> ER分析|要证 BE+ CF> EF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/ 1 = 7 2, /3 = /4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN, FN EF移到同一个三角形中证明：在DA上截取 DN= DB,连接NE, NF,则DN= DC；在△ DBE^A DNE中：龙文教育・教育精品文档DN DB（辅助线的作法）v 1 2（已知）ED ED（公共边）・•.△DB珞 △ DNE （SASBE= NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF= NF在△ EFN中EN+ FN> EF （三角形两边之和大于第三边）• .BE+ CF> EF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全 等三角形的性质得到对应元素相等四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形例如：如图 4-1 : AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2, / 3= / 4,求证：BE+ CF> EF证明：延长ED至M,使DM=DE连接CM MF。

在△ BDE和△CDMfr,BD CD（中点的定义）v 1 CDM （对顶角相等）ED MD （辅助线的作法）. .△BD® ACDM （SAS又••• /1 = / 2, / 3=7 4 （已知）/1 + /2+/3+/4= 180° （平角的定义）Z3+Z 2=90°即：/EDF= 90°/FDM= / EDF =90°在△ EDF^A MD冲ED MD （辅助线的作法）- # -欢迎下载EDFFDM （已证）DF DF （公共边）△ ED障△ MDF （ SA9EF= MF （全等三角形对应边相等）•••在△ CM冲，CF+ CM> MF （三角形两边之和大于第三边）BE+ CF> EF注：上题也可加倍 FD,证法同上构造全等三角形，使题叵 当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段, 中分而修件集中五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形例如:如图 5-1 : AD为 △ ABC的中线，求证： AB+ AC> 2Ad所以有 AB+ AO BD + CD> AD+2AD想到要构造2AD即加倍中线，分析 | 要证 AB+ AC> 2AD,由图想至U： AB + BD> AD,AC+ CD> AQAD= 2ADT左边比要证结论多 BD+ CD故不能直接证出此题，而由把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

D C证明：延长AD至E,使DE=AD连接BE,贝U AE= 2AD.「AD为△ ABC的中线 （已知）• .BD= CD （中线定义）在△ AC的 4EBD中BD CD （已证）ADC EDB（对顶角相等）AD ED （辅助线的作法）・ .△AC里△ EBD （SAS••• B曰CA （全等三角形对应边相等）•••在△ ABE中有：AB+ BE> AE （三角形两边之和大于第三边） 图5 1AB+ AC> 2AQ（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知△ ABC AD是BC边上的中技,分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 如图5-2 , 求证EF= 2AD,六、截长补短法作辅助线例如：已知如图 6-1 :在△ ABC中，AB> AC, /1 = /2, P为AD上任一点求证：AB- AC> PB- PG研 要证：AB- AO PB- PC,想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两 边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB- AC,故可在AB上截取AN等于AC,彳# AB- AC= BN,再连接PN 贝U PC= PN 又在^ PNB中,PB- PN< BN,即：AB- AC> PB- PC=证明：（截长法）在AB上截取 AN= AC连接PN , 在△ APN和△ APC中AN AC（辅助线的作法）••• 1 2（已知）AP AP（公共边）・ .△APN^△ APC （SAS・ •.PC= PN （全等三角形对应边相等）・ •・在4BPN中，有PB-PN< BN （三角形两边之差小于第三边）BP- PCX AB- AC证明：（补短法） 延长AC至M使AMk AB,连接PM在△ ABP和△ AMP43AB AM （辅助线的作法）v 1 2（已知）AP AP（公共边）. .△AB咤△ AMP （SAS）PB= PM （全等三角形对应边相等）又•••在△ PCW有：CM> PM- PC（三角形两边之差小于第三边 ）AB- AO PB- PG七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 :已知 AC= BD, AD!AC于 A , BC±BD于 B,求证：AD= BC分析：欲证 AD= BC,先证分别含有 AQ BC的三角形全等，有几种方案：△ ADCI△ BCD △ AOD^A BOC △ ABD与ABAC但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角 作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长 DA CB它们的延长交于 巳点,AD± AC BC ±BD （已知）CA& / DBE =90° （垂直的定义）在△ 口8£与4 CAE中E E（公共角）DBE CAE（已证）BD AC（已知）. .△DB® ACAE （AASED= EC EB=EA （全等三角形对应边相等）ED- EA= EC- EB即：AD= BG（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例如：如图 8-1 : AB// CD AD// BC 求证：AB=CD分析：中为四边形,我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决 证明：连接AC （或BD）•. AB// CD AD// BC （已知），/1 = /2, /3=/4 （两直线平行，内错角相等）在△ ABC< △ CDA中1 2（已证）v AC CA（公共边）3 4（已证）. .△ABe ACDA （ASA）• .AB= CD （全等三角形对应边相等）例如：如图 9-1 :在 Rt^ABC中，AB= AG / BAC= 90° , / 1 = / 2, CE! BD的延长于 E 。

求证:BD要CE与/ ABC的平分线垂直，想到九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长 2CE底］要证BD= 2CE,想到要构造线段 2CE同时 将其延长证明：分别延长 BA, CE交于点F「BEX CF （已知）/ BEF= / BEC= 90° （垂直的定义）在△ BEF与△ BEC中，1 2（已知）BE BE（公共边）BEF BEC（B 证）・ .△BEF^ △ BEC （ASA1CE=FEa CF （全等二角形对应边相等）2・ . /BAC=90 BE ±CF （已知）・ ./ BAC= / CAF= 90° /1 + / BDA= 90° / 1 + / BFC= 90°・ ./ BDA= / BFC在△ ABD^ △ ACF 中BAC CAF （已证）BDA BFC （已证）AB = AC（已知）. .△AB®△ ACF （AAS精品文档「.BA CF （全等三角形对应边相等），BA 2CE十、连接已知点，构造全等三角形例如：已知：如图 10-1 ; AC BD相交于点，且 AB= DG AC= BD,求证：/ A= / Db分析：要证/ A= / D,可证它们所在的三角形4 ABOm△DC0等，而只有AB= DC和对顶角两个条件， 差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 AB= DQ AG= BD,若连接BG则△ ABC和△ DCBi:等，所以，证得/ A= Z DoA. D. O证明：连接 BC,在△ABC^△ DCB中ABACBCDC（已知） DB（已知） CB（公共边）. .△ABe △ DCB （SSS），A= D D （全等三角形对应边相等图10、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图 11-1 : AB= DQ / A。