线性代数与解析几何-序言.ppt

1,线性代数与空间解析几何,,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,国家精品课,,,2,,《线性代数与解析几何》序言,学时 60学时, 4 学分,共15 周课 成绩 平时: 20%,期中: 30 %，期末: 50 %.,,,3,一、教学内容 线性代数 ( 抽象) —为了解决多变量问题 形成的学科. （代数为几何提供了便利 的研究工具, 几何为代数 提供了直观想象的空间) . 解析几何 ( 直观),,,4,二、课程特点,内容抽象 概念多，符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛,,,5,掌握三基——基本概念 ( 定义、符号) 基本理论 ( 定理、公式) 基本方法 ( 计算、证明) 提前预习——体会思路 多动手，勤思考——深入体会思想方法 培养——自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力,三、学习方法,,,6,1.《线性代数与空间解析几何》习题解答哈工大数学系编（偏工）教材科有. 2.《线性代数与空间解析几何学习指导》 俞正光 ( 清华) 等编，科学出版社. 3.《线性代数复习指导》恩波组编，胡金德 ( 清华) 国家行政学院出版社. 4.《代数与几何考研》答疑室BX215 .,四、教学参考书,,,7,1.上课关，不迟到 !!! 2.答疑时间: 每周二、四 11:50 —— 13:30. 答疑地点: BX215. 3.交作业时间: 周一至周五 9:00 —— 16:00. 交作业地点: BX215( 程老师). (每章结束后一周内以班为单位上交）,使用作业本, 写上学号!!!,,,五、教学要求,8,《线性代数与空间解析几何》,,,,第一章 n 阶行列式,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,9,本章主要内容,,,行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 Cramer法则,10,设二元线性方程组为,1.1 n阶行列式,1.1.1 二阶和三阶行列式,其中,,,行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.,11,对方程组用加减消元法求出解:,此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解．,如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：,,,,,12,,,当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,13,解,,则方程组的解为,例1 求解方程组,,,由于,14,如果定义三阶行列式如下(对角线法则） ：,那么对三元一次方程组,,,在系数行列式 D 0 时,,,,,,,,,,,,,,,,方程组有唯一解,其解可表示为:,15,其中,例2,,,16,问题1：怎样定义n阶行列式?,定义 由1,2, …, n 组成的有序数组称 为一个 n阶 ( 全) 排列, 一般记为:,例如 自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种.,例如 12 … n 是一个n阶排列,叫自然排列.,1.1.2 全排列的逆序数、对换,,,17,在一个排列 中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构 成一个逆序.一个排列的逆序总数称 为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,,,如果,18,例3,因为,所以 23541 是一个奇排列.,例4,,,19,对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动).,对换改变排列的奇偶性.,需要进行 2s+1 次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,,,定理1,所以对换改变排列的奇偶性.,20,奇排列 s 个,偶排列 t 个,(1,2)对换,,,(1,2)对换,证,全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半.,定理2,,,21,,用排列观点总结三阶行列式:,,1.1.3 n 阶行列式的定义,,,22,定义,,,记一阶行列式,n阶行列式定义:,23,由 个元素组成; 为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,,,归纳如下：,注 用定义只能计算一些简单的行列式.,24,证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积, 即,例5,,,25,以下三角行列式为例来证明.,先决定所有可能的非零项,其次决定非零项的符号,证,,,26,其中 * 表示此处元素可以是任意的数.,例6,,,27,这个行列式的值一般并不等于,当 n=4,5 时:,当 n=6,7 时:,问题 2: 如何决定下面一般项的符号?,注意,,,28,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值,注,,,29,定义,为D的转置行列式．,(转置)行列互换值不变,即,1.2 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,,,性质1,30,(换法)换行(列)换号,即,性质2,,,31,两行(列)同值为零,即,推论,,,32,(倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这个行列式,即,性质3,,,33,,如果行列式有两行(列)成比例， 则该行列式为零．,推论1,例如,,,如果行列式某一行(列)有公因子k时, 则该公因子k可以提到行列式符号的 外面．,推论2,34,,(分拆)如果行列式某行(列)的所有 元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和,即,,性质4,35,,,36,例如,,,37,(消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即,性质5,,,38,总结行列式性质,性质1,性质2,推论,性质3,推论,性质4,性质5,换行(列)变号.,两行(列)同，值为零.,某行(列)乘数 k=kD.,两行(列)成比例,值为零.,D可按某行(列)分拆成两行列式之和.,D某行(列)乘数 k 加至另行(列), 行列式值不变.,(转置),(换法),(倍法),(消法),,,39,计算,例7,解 通过行变换将D化为上三角行列式,,,40,,,41,设有四阶行列式:,则展开式中x4的系数是( ). (A) 2; (B) 2; (C) 1; (D) 1.,,,,,解 含x4的项只有一项,,例8,(1)(4321) a14a23a32a41=2x4,,,42,已知,计算,,,,例9,43,解,,,由性质4,44,,,45,下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行 列式计算的问题, 即,,,,1.3 行列式展开定理,定义 在给定的n阶行列式 中,把元素,所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素,记作 ;,而元素 的代数余子式记作,构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式,,46,,,,,47,在行列式,中,例10,,,48,若 D 的第 i 行元素除 外都是零，,引理,,,则,行(列)的所有元素与其对应的代数 余子式的乘积之和, 即,定理3,n阶行列式 等于它的任意一,49,50,n阶行列式 ,则,定理4,,,51,证,及降阶法将 G 按 j 行展开有,,,由,52,1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算； 4. 加边法(升阶法); 5. 递推公式法； 6.归纳法.,总结 n行列式的计算方法,,,,53,计算 n 阶行列式(行和相同),例1,,,54,解,,,55,,,56,计算 n 阶行列式（两道一点）,例2,解,,,57,计算n+1阶行列式(爪形),其中,例3,,,58,解,,,59,当 全不为零时,,,60,证明n阶(三对角)行列式,例4,,,其中,61,对行列式阶数n用数学归纳法证明,n=2 时，,结论成立.,,,证,n=1 时，,结论成立.,62,则对于n阶行列式 按第一行展开有,设n-1, n-2时结论成立,,,,63,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,例5,,,64,用数学归纳法证明,证,n=2 时，,结论成立.,假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立,从第 n 行开始, 每一行减去前一行的 x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都 化为零.然后按第一列展开, 并提取各列的公因子, 可以得到:,,,,65,,,66,或者利用递推公式,由上述递推结果即可得到结论.,,,67,1.4 克莱姆（Cramer)法则,(Cramer法则)如果n元线性方程组,的系数行列式不等于零，,,,(1),定理5,下面给出利用n阶行列式求解方程个 数与未知量个数都是n而且系数行列式不 为零的线性方程组的求解公式.,68,即,,,则方程组(1)只有唯一解,且其解为,69,其中 是把的 的第j 列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即,,,70,如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即,推论1,,,则此方程组只有唯一零解,即,71,如果n元齐次线性方程组,推论2,有非零解,则系数行列式等于零,即,,,72,求解线性方程组,例1,线性方程组的系数行列式,解,所以方程组有唯一解.,,,73,所以方程组的唯一解为,,,74,典型例题,75,练 习,1.,,,76,不计算行列式值，利用性质证明,证 令,4.,,,77,,,78,因此有,,,注 的系数为1.,79,计算行列式的值,5．,,,80,解,,,81,计算行列式:,,6.,,,82,解,此行列式用加边法计算,即,,,83,,,84,,,85,已知,计算（1）,7.,,,（2）,86,解,=–3,=–25,,,87,,,,,分析: a相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).,设a=4A41+8A42+5A43+6A44, 则a的值为: (A) -2; (B) -1; (C) 0; (D) 2.,,,,,8. 设有四阶行列式,88,计算行列式,9.,,,89,解,,,90,,,91,10.,多项式,如果存在 n 个互不相同的数,使,证明:,证 设,由已知,92,这是关于,的n元一次,线性方程组,其系数行列式,得,93,所以方程组只有唯一零解,即,故,,94,预 习 第 二 章,。