人教版八年级数学下册《1.2勾股定理》专题练习(附带答案）.docx

人教版八年级数学下册《1.2勾股定理》专题练习(附带答案）【目标导航】【知识梳理】1.勾股定理：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a b 斜边长为c 那么（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有 （4）证明勾股定理时 用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形 然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．2.勾股定理逆定理：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c满足 那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形 作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．3.勾股定理的应用：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形 以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【典例剖析】考点1 勾股定理【例1】）如图 在Rt△ABC中 ∠C＝90° AC＝8 AB＝10 AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【分析】由勾股定理先求出BC＝6 连接BE 根据中垂线的性质设AE＝BE＝x 知CE＝8﹣x 在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程 解之可得答案．【解析】在Rt△ABC中 ∠C＝90° AC＝8 AB＝10 ∴BC=AB2−AC2=102−82=6 连接BE ∵DE垂直平分AB ∴AE＝BE 设AE＝BE＝x 则CE＝8﹣x 在Rt△BCE中 ∵BC2+CE2＝BE2 ∴62+（8﹣x）2＝x2 解得x=254 ∴AE=254．【变式训练】1．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级校考期末）已知直角三角形一个锐角60° 斜边长为1 那么此直角三角形的周长是（    ）A．52 B．3 C．3+2 D．3+32【答案】D【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中 30°角所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边 然后利用勾股定理求得另一条直角边 即可解答．【详解】解：如图所示 在Rt△ABC中 ∠B=60°，∠C=90°，AB=1 ∴∠A=30° ∴BC=12AB=12 ∴AC=AB2−BC2=12−122=32 ∴此三角形的周长是1+12+32=3+32．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形 熟悉直角三角形的性质：直角三角形中 30°角所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键．2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt△ABC中 ∠C=90° 若AB−AC=2 BC=3 则AC的长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．54【答案】D【分析】在Rt△ABC中 根据勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中 ∠C=90° AB−AC=2 BC=3 ∴AC2+BC2=AB2 ∴AC2+32=AC+22 解得：AC=54 故选D．【点睛】本题考查了勾股定理 解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．3．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图 Rt△ABC中 ∠C=90° AC=6 BC=8 AD平分∠BAC 则点D到AB的距离是（       ）A．3 B．4 C．25 D．121313【答案】A【分析】过点D作DE⊥AB于点E 由勾股定理可得AB=AC2+BC2=10 根据角平分线的性质定理可推导CD=DE 再证明Rt△ADC≌Rt△ADE 易得AE=AC=6 设CD=DE=x 在Rt△BDE中 由勾股定理可解得DE=3 即可获得答案．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E 如下图 ∵∠C=90° AC=6 BC=8 ∴AB=AC2+BC2=62+82=10 ∵AD平分∠BAC DE⊥AB ∠C=90° ∴CD=DE 又∵AD=AD ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL) ∴AE=AC=6 ∴BE=AB−AE=10−6=4 设CD=DE=x 则BD=BC−CD=8−x ∴在Rt△BDE中 由勾股定理可得BE2+DE2=BD2 即42+x2=(8−x)2 解得x=3 ∴DE=3 即点D到AB的距离是3．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理解直角三角形、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识 熟练掌握勾股定理和角平分线的性质定理是解题关键．考点2勾股定理与数轴【例2】利用勾股定理可以在数轴上画出表示20的点 请依据以下思路完成画图 并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足20=a2+b2 使其中a b都为正整数 你取的正整数a＝　4　 b＝　2　；第二步：（画长为20的线段）以第一步中你所取的正整数a b为两条直角边长画Rt△OEF 使O为原点 点E落在数轴的正半轴上 ∠OEF＝90° 则斜边OF的长即为20．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图 不要求写画法）第三步：（画表示20的点）在下面的数轴上画出表示20的点M 并描述第三步的画图步骤：　以原点为圆心 OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M 则点M为所作　．【分析】第一步：利用实数的运算可确定a和b的值；第二步：4对应的点为E点 过点E作数轴的垂线 再截取EF＝2 然后连接OF 则OF=20；第三步：如图 在数轴的正半轴上截取OM＝OF即可．【解析】第一步：a＝4 b＝2；第二步：如图 OF为所作；第三步：如图 以原点为圆心 OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M 则点M为所作．故答案为4 2；以原点为圆心 OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M 则点M为所作．【变式训练】4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图 长方形ABCD的边AD在数轴上 若点A与数轴上表示数−1的点重合 点D与数轴上表示数−4的点重合 AB=1 以点A为圆心 对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E 则点E表示的数为（    ）A．−10 B．1−10 C．10−1 D．−1−10【答案】D【分析】根据勾股定理计算出AC的长度 进而求得该点与点A的距离 再根据点A表示的数为−1 可得该点表示的数．【详解】解：∵在长方形ABCD中 AD=−1−−4=3 AB=CD=1 ∴AC=AD2+CD2=32+12=10 则点A到该交点的距离为10 ∵点A表示的数为−1 ∴该点表示的数为：−1−10 故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用 解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．5．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图 长方形ABCD的顶点A B在数轴上 点A表示－1 AB=3 AD=1．若以点A为圆心 对角线AC长为半径作弧 交数轴正半轴于点M 则点M所表示的数为（    ）A．10−1 B．10 C．10+1 D．10+2【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AC 根据AC=AM 求出OM 由此即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∵AB=3,AD=BC=1 ∴AC=AB2+BC2=32+12=10 ∵AM=AC=10,OA=1 ∴OM=AM−OA=10−1 ∴点M表示点数为10−1．故选A．【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识 解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC,AM的长．6．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图 Rt△OAB的直角边OA的长为2 直角边AB的长为1 OA在x轴上 在OB上截取BC=BA 以原点O为圆心 OC长为半径画弧 交x轴的正半轴于点P 则OP中点的横坐标是（   ）A．5−12 B．3−12 C．5−2 D．3−1【答案】A【分析】利用勾股定理得出OB=5 进而求出OC=OP=5−1 即可得出OP中点的横坐标．【详解】解：∵AO=2 AB=1 ∴OB=5 ∵BC=BA=1 ∴OC=OP=5−1 ∴OP中点的横坐标是：5−12．故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及坐标 根据题意得出OP的长是解题关键．考点3勾股定理与网格问题【例3】如图 正方形网格中每个小正方形边长都是1 小正方形的顶点称为格点 在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为5的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为10、面积为3的等腰△DEF．【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为5；（2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为10 再根据面积为3确定△DEF．【解析】（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．【变式训练】7．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图 △ABC的顶点A B C在边长为1的正方形网格的格点上 则BC边上的高为（    ）A．132 B．455 C．302 D．855【答案】B【分析】求出△ABC的面积 根据勾股定理求出BC长 利用面积公式求解即可．【详解】解：∵S△ABC=3×4−12×2×3−12×2×1−12×2×4=4 又∵BC=22+42=25 ∴BC边长的高为：2×425=455 故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理和三角形面积公式 解题关键是会用三角形面积公式求高 利用勾股定理求出边长．8．（2023春·八年级课时练习）如图是3×3的正方形网格 每一个小正方形的边长为1．关于图中的正方形ABCD的面积S 三人的说法如下：甲：要求面积S的值 必须先求出正方形ABCD的边长才行．乙：正方形ABCD的边长是5．丙：正方形ABCD的对角线长m的值介于整数3和4之间．下列判断正确的是（    ）A．甲、乙、丙都对 B．甲和乙对 C．甲、乙、丙都不对 D．乙和丙对【答案】D【分析】如图 根据大正方形EFGH的面积减去4个Rt△ABE的面积即可得到正方形ABCD的面积 即可判断甲；在Rt△ABE中 根据勾股定理可得到AB的长度 即可判断乙；在Rt△ACM 中 根据勾股定理可得到AC的长度 即可判断丙．【详解】解：如图所示 正方形ABCD的面积等于正方形EFGH的面积减去4个Rt△ABE的面积 故可不用求出正方形的边长 故甲不正确；在Rt△ABE中 AB=AE2+EB2。