（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 4 第4讲 简单的三角恒等变换刷好题练能力 文.doc

第4讲 简单的三角恒等变换1．函数y＝sin xsin的最小正周期是________．解析：因为y＝sin xcos x＝sin 2x，所以T＝＝π.答案：π2. 若＝，则tan 2α＝________．解析：因为＝＝＝，所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.答案：－3．化简的结果是________．解析： ＝＝＝cos 1.答案：cos 14．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________．解析：设三边分别为a，b，c，则＝，a＝sin A，＝，b＝sin，△ABC的周长l＝sin A＋sin＋2＝2sin A＋2cos A＋2＝4sin＋2.答案：4sin＋25．函数y＝cos 4x＋sin 4x的最小正周期为________．解析：y＝cos 4x＋sin 4x＝2＝2＝2cos，故T＝＝.答案：6.＝________．解析：＝＝＝＝－.答案：－7．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________．解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin ＋，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝时，f(x)max＝1＋＝.答案：8．若f(x)＝2tan x－，则f的值为________．解析：因为f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋＝＝，所以f＝＝8.答案：89．设α∈，则＋的最小值为________．解析：＋＝＝＝－2sin αcos α.令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.因为α∈，所以t∈.令g(t)＝－2t，则g(t)在上是减函数，所以当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.答案：110．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C 的最小值是________．解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C>2，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时取得等号，故tan Atan Btan C的最小值为8.答案：811．(1)化简；(2)求值：4cos 50°－tan 40°.解：(1)原式＝＝＝＝＝2cos 2x.(2)原式＝4sin 40°－＝＝＝＝＝＝.12．(2019·泰州模拟)已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值．解：(1)因为cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，所以sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以sin 2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)因为α∈，所以2α∈，又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.1．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝________.解析：法一：因为tan θ＋＝＝4，所以4tan θ＝1＋tan2θ，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.法二：因为tan θ＋＝＋＝＝，所以4＝，故sin 2θ＝.答案：2．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝sincos －cossin ＝.答案：3.(2019·南通调研)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．解析：法一：在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cos∠BAC＝－，tan∠BAC＝－，tan ∠CAD＝tan(∠BAC－45°)＝＝.法二：同上得tan∠BAC＝－ ，再由tan(45°＋∠CAD)＝－，解之得tan∠CAD＝.答案：4．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________．解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，所以tan(α＋β)＝1.又因为α，β∈，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，所以tan α＜0，tan β＜0，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.答案：－5．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．解：(1)因为由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α－3cos(α＋β)sin α，所以sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，即＝2x，所以y＝，即f(x)＝.(2)因为角α是一个三角形的最小内角，所以0＜α≤，则0＜x≤ ，f(x)＝＝≤＝，故函数f(x)的值域为.6．(2019·江苏省四星级学校联考)已知向量a＝(2，cos 2x)，b＝，函数f(x)＝a·b.(1)若f(α)＝，α∈，求f的值；(2)若函数g(x)＝af(x)＋b的定义域为，值域为[1－，3]，求实数a，b的值．解：由题意知f(x)＝2cos2－cos 2x＝cos＋1－cos 2x＝2sin＋1.(1)因为f(α)＝2sin＋1＝，所以sin＝－.又α∈，所以2α－∈，则cos＝.因为f＝2sin＋1＝2sin 2α＋1，sin 2α＝sin＝－×＋×＝，所以f＝2×＋1＝＋1＝.(2)因为g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋a＋b，由x∈可得，2x－∈，所以sin∈.显然a≠0，①当a＞0时，由题意可得，解得；②当a＜0时，由题意可得，解得 .综上，或 .8。