高三数学专题——空间几何中的向量方法.pdf

分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第1页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日高中新课标数学选修高中新课标数学选修直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体空间距离空间距离1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念2 会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离知识点归纳知识点归纳1 点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点 作，垂足为，则PαPPAα⊥A唯一，则是点到平面的距离PAPAPα即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短αPαPA2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明： 两条异面直线的距离即为直线 到平面的距离即两条异面直线的距离等ABaα于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第2页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行 于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平 面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用 “体积法”来求 10 用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中,a b||AB n dn⋅ =��� ���,,,na nb Aa Bb⊥⊥∈∈��⑵直线 与平面之间的距离：，其中是平面的法向量aα||AB ndn⋅=��� ���,Aa Bα∈∈n�α⑶两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量,α β||AB n dn⋅ =��� ���,ABαβ∈∈n�α⑷点 A 到平面的距离：，其中， 是平面的法向量α||AB ndn⋅=��� ���Bα∈n�α另法：点平面则000(,,),A xyz0AxByCzD+++=000222||AxByCzDd ABC+++= ++⑸点 A 到直线 的距离：，其中， 是直线 的方向向量a22||||AB adABa⎛⎞⋅=−⎜⎟ ⎝⎠��� ����� � �Ba∈a�a⑹两平行直线之间的距离：，其中，是 的方向向量,a b22||||AB adABa⎛⎞⋅=−⎜⎟ ⎝⎠��� ����� � �,Aa Bb∈∈a�a例例1 1 1 1设A（2,3,1） ，B（4,1,2） ，C（6,3,７） ，D（－５,－4,8） ，求D到平面ABC的距离解法一： ∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５ ,－4,8），∴( 7, 7,7)AD= −−����设平面ABC的法向量 =（x，y，z） ，n�则 ·=0， ·=0，∴n�AB��� � n�AC���� ⎩⎨⎧ =⋅=−⋅,0)6,0,4(),,(,0) 1,2,2(),,(zyxzyx分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第3页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日即⎪⎩⎪⎨⎧−=−=⇒ ⎩⎨⎧ =+=+−.,23064022zyzx zxzyx令z=－2，则=（3，2，－2）n�∴由点到平面的距离公式：===||AD ndn⋅=������222|3 ( 7)2 ( 7)2 7|32( 2)× −+ × −− ×++ −1749 171749∴点D到平面ABC的距离为171749解法二：设平面ABC的方程为：0AxByCzD+++=将A（ 2,3,1 ），B（ 4,1,2 ），C（ 6,3, ７ ） 的 坐 标 代 入 ， 得，3 2302 42063705ABABCD ABCDCBABCDDB⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒= −⎨⎨ ⎪⎪+++== −⎩⎪⎩取B＝2，则平面ABC的法向量 =(A,B,C)=（3，2，－2）n�又因为( 7, 7,7)AD= −−����∴由点到平面的距离公式：===||AD ndn⋅=������222|3 ( 7)2 ( 7)2 7|32( 2)× −+ × −− ×++ −1749 171749∴点D到平面ABC的距离为171749点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量 的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内n�任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉MP����MP���� n�MP����||MP nn⋅=������例例2 2 2 2如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点求： （1）与所成的角；PM���� �FQ��� �（2）P点到平面EFB的距离；分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第4页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，则D（0，0，0） 、A（a，0，0） 、B（a，a，0） 、C（0，a，0） 、M（0，0，a） 、E（a，0，a） 、F（0，a，a） ，则由中点坐标公式得P（，0，） 、Q（，，0）2a 2a 2a 2a（1）∴=（－，0，） ，=（，－，－a） ，PM���� � 2a 2a FQ��� � 2a 2a·=（－）×+0+×（－a）=－a2，PM���� �FQ��� � 2a 2a 2a43且||=a，||=a∴cos〈，〉===－PM���� �22FQ��� �26PM���� �FQ��� �||||PM FQ PMFQ⋅���� � ��� � ���� ���� �aaa26 22432×−23故得两向量所成的角为 150°（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即| |=1，⊥平面EFB，∴ ⊥，n�n�n�n�EF��� �⊥n�BE��� �又=（－a，a，0） ，=（0，a，－a） ，即有，EF��� �EB��� �0 0axayxyzayaz−+=⎧⇒==⎨−=⎩取，则1x=(1,1,1)n=�∵=（，0，）∴ 设所求距离为d，则=aPE��� � 2a 2a||PE ndn⋅=��� ���33（3）设=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，m�则由=（－，0，） ，=（，－，－a） ，PM���� � 2a 2a FQ��� � 2a 2a得11111111022022aaxz xzyaaxyaz⎧−+=⎪⎪⇒== −⎨ ⎪−−=⎪⎩取＝－1，则1y(1, 1,1)m=−�分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第5页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日ABCDA1B1C1D1而=（0，a，0）设所求距离为m，则=aMF����||MF mmm⋅=������33例例3 3 3 3已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD 与B1C 的距离分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0, 1),(0,0,1)BDBCBB==−=��� ����� �����设与都垂直的向量为，1,BD B C��� � ����( , , )nx y z=�则由和0BD nxy⋅=+=��� �10,BC nxz⋅=−=����得，1,x=令1,1yz= −=(1, 1,1)n∴=−�异面直线 BD 与B1C 的距离：∴1 11||13|cos,|33BB ndBBBB nn⋅==���������������2 求异面直线的距离方法很多， 但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若n�是与异面直线都垂直的向量，点，则异面直线与之间的距离：ba,bFaE∈∈ ,分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第6页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日cos|,EF ndEFEF nn⋅=<⋅= BEAEBEAEAEBEAEAEd故点 到平面的距离为高考资源网EACF.3526.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=错误！未指定开关参数。

错误！未指定开关参数BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．解：方法一、（1）设 AC∩BD=O，连 OE，则 OE//PB，∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.在△AOE 中，AO=1，OE=,27 21=PB,25 21==PDAE∴即 AC 与 PB 所成角的余弦值为..1473127245 471 cos= ××−+ =EOA1473（2）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于F，则.6π=∠ADFPABCDE分享智慧泉源智愛學習智愛學習智愛學習智愛學習传扬爱心喜乐WisdomWisdomWisdomWisdom&L&L&L&Loveoveoveove第21页（共21页）2010 年 8 月 1 日星期日连 PF，则在 Rt△ADF 中.33tan,332 cos====ADFADAFADFADDF设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面 PAC，从而 NE⊥面 PAC.∴N 点到 AB 的距离，N 点到 AP 的距离121==AP.63 21==AF方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E 的坐标为A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、33P（0，0，2）、E（0，，1），21从而).2, 0 ,3(),0 , 1 ,3(−==PBAC设的夹角为θ，则PBAC与,1473 723||||||cos==⋅⋅=PBACPBACθ∴A。