2023年河南专升本高数真题及答案新编.doc

2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题 号一二三四五总 分分 值602050128150一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个对的答案，用铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．函数的定义域是A． B．C． D．解：.选C.2．下列函数中为偶函数的是A． B．C． D．解：A、D为非奇非偶函数，B为偶函数，C为奇函数选B.3．当时，下列无穷小量中与等价的是A． B． C． D．解：时，.选D.4．设函数，则是的A．连续点 B．可去间断点C．跳跃间断点 D．第二类间断点解：处没有定义，显然是间断点；又时的极限不存在，故是第二类间断点选D.5．函数在点处A．极限不存在 B．间断C．连续但不可导 D．连续且可导解：函数的定义域为，，显然是连续的；又，因此在该点处不可导选C.6．设函数，其中在处连续且，则A．不存在 B．等于C．存在且等于0 D．存在且等于解：易知，且，.故不存在选A.7．若函数可导，，则A． B．C． D．解：根据复合函数求导法则可知：.选B.8．曲线有水平渐近线的充足条件是A． B．C． D．解：根据水平渐近线的求法可知：当时，，即时的一条水平渐近线，选B.9．设函数，则A． B．C． D．解：对两边同时求微分有：，所以.选D.10．曲线在点处的切线斜率是A． B． C． D．解：易知，，，故.选B.11．方程（其中为任意实数）在区间内实根最多有A．个 B．个 C．个 D．个解：令，则有，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。

选D.12．若连续，则下列等式对的的是A． B．C． D．解：B、C的等式右边缺少常数C，D选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A.13．假如的一个原函数为，则A． B．C． D．解：的一个原函数为，那么所有的原函数就是.所以.选C.14．设，且，则A． B． C． D．解：由于，所以，又，故..选B.15．A． B． C． D．解：本题是变下限积分的题运用公式可知.选B.16．A． B． C． D．解：.选C.17．下列广义积分收敛的是A． B． C． D．解：A选项中，故发散；B选项中根据结论，当时发散，本题中，故发散；C选项中根据结论，当时发散，本题中，故发散；D选项中，故收敛选D.18．微分方程是A．二阶非线性微分方程 B．二阶线性微分方程C．一阶非线性微分方程 D．一阶线性微分方程解：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的选A.19．微分方程的通解为A． B．C． D．解：这是可分离变量的方程有，两边同时积分有，即.选B.20．在空间直角坐标系中，若向量与轴和轴正向的夹角分别为和，则向量与轴正向的夹角为A． B． C． D．或解：对空间的任意一个向量有，现有，从而解得，所认为或.选D.21．直线与平面的位置关系是A．直线在平面内 B．平行C．垂直 D．相交但不垂直解：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，直线上的点不在平面内，所以故该直线和平面平行。

选B.22．下列方程在空间直角坐标系中表达的图形为旋转曲面的是A． B．C． D．解：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C.23．A． B． C． D．解：.选B.24．函数在点处可微是在该点处两个偏导数和存在的A．充足条件 B．必要条件C．充足必要条件 D．既非充足又非必要条件解：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充足而非必要条件选A.25．已知，则A． B．C． D．解：.选C.26．幂级数的和函数为A． B． C． D．解：由，可知.选B.27．下列级数发散的是A． B．C． D．解：A选项中一般项趋于，故发散；B、C选项是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛；D选项根据结论中时收敛，本题中，故收敛选A.28．若级数在点处条件收敛，则在，，，，中使该级数收敛的点有A．个 B．个 C．个 D．个解：该级数的中心点是2，又在点处条件收敛，所以可以拟定收敛区间为.故在，处收敛选C.29．若是曲线上从点到的一条连续曲线段，则曲线积分的值为A． B．C． D．解：，，且有，因此该积分与积分途径无关令该积分沿直线上点到积分，可有.选C.30．设，则互换积分顺序后，可化为A． B．C． D．解：积分区域可写为：，在图象中表达为121xy由此可知，积分区域还可表达为.因此积分可表达为.选A.二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知，则 ．解：，，因此.32．设函数，则 ．解：，.33．假如函数在点处可导且为的极小值，则 ．解：由于极值点是或者不存在的点，现已知函数在点处可导，所以.34．曲线的拐点是 ．解：，.令，可得，此时；并且当时，；当时，.因此拐点为.35．不定积分 ．解：36．微分方程满足的特解为 ．解：原方程相应的齐次线性微分方程为，可解得.用常数变易法，可求得非齐次线性微分方程的通解为.将代入有.所以相应的特解为.37．向量在上的投影为 ．解：，，，故向量在向量上的投影.38．设方程所拟定的隐函数为，则 ．解：令.则有，所以.由于时，.代入可知.39．设积分区域为：，则 ．解：，而积分区域表达的是认为圆心，2为半径的圆，所以，即.40．若（），则正项级数的敛散性为 ．解：，由比较判别法的极限形式可知，级数和有相同的敛散性，故正项级数是发散的。

三、计算题（每小题5分，共50分）41．求极限．解：原式．42．已知参数方程（为参数），求．解：由于 所以 ．43．求不定积分．解：令，则，且于是原式．44．求．解：原式．45．求微分方程的通解．解：原方程的特性方程为特性方程的根为 所以原方程的通解为 ．46．求函数的极值．解：由解得驻点又 对于驻点，由于所以，于是点不是函数的极值点．对于驻点有于是 所以函数在点处取极大值为．47．求过点且与直线平行的直线方程．解：由于所求直线平行于直线所以所求直线的方向向量为由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为．48．求函数的全微分．解：由于所以．49．计算，其中为圆环：．解：在极坐标系下，区域（如第49题图所示）可以表达为所以．50．求幂级数的收敛域．解：由于所以原级数的收敛半径为 也就是，当，即时，原级数收敛．当时，原级数为是交错级数且满足，，所以它是收敛的；当时，原级数为，这是一个的级数，所以它是发散的；所以，原级数的收敛域为．四、应用题（每小题6分，共12分）51．求函数在时的最大值，并从数列，，，，，，中选出最大的一项（已知）．解：由于 令，解得唯一驻点．又由于在区间内，严格单调增长；在区间内，严格单调减少；而又在区间连续，所以在处取最大值．已知，由上知于是数列的第三项是此数列中最大的一项．52．过点作曲线的切线，该切线与此曲线及轴围成一平面图形．试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．解：设切线与曲线相切于点（如第52题图所示），第52题图由于则切线方程为 由于切线通过点，所以将代入上式得切点坐标为从而切线方程为因此，所求旋转体的体积为．五、证明题（8分）53．证明不等式：，其中为正整数．证明：设，则在上连续，在内可导，故在区间上满足拉格朗日中值定理条件，于是，至少存在一点，使得又由于，故，从而有所以 ．。