2007数学建模竞赛 A甲1.doc

双模型中国人口增长与人口结构预测摘要本论文建立了两个模型，模型一是中国人口的数学增长模型，它是针对中国人口总数的发展趋势的预测，模型二是中国人口结构的发展模型，它是针对中国人口中各种比例关系做出的预测两个模型彼此独立，又彼此影响在中国人口总数的发展预测中,模型一采用了灰色GM(1,1)模型，并在其基础上进行了优化，提出了新陈代谢GM(1,1)模型通过GM(1,1)模型我们得出了未来50年内人口总数的变化，到2010年，人口总数预测值为13.422亿，到2020年，人口总数预测值为13.987亿，到2050年，人口总数预测值为14.997亿而这个发展趋势恰好体现了国家在人口总数方面的战略目标为预测我国人口峰值出现的时间及大小，我们又建立了最小二乘数模型，通过线性拟和，得出2046至2047年间出现人口峰值，峰值为15.214亿为此，我们提出在做人口的短期与中期预测时宜采用灰色GM(1,1)模型；而做长期预测时，应采用最小二乘数模型为预测人口结构的发展趋势，我们引入了Leslie模型，通过该模型我们预测出了2005—2050年各年龄段的男性、女性比率值，并在此数据的基础上绘制了未来几十年的人口结构分布图，分析出了未来50年的育龄妇女的比重，以及死亡率、出生率的发展趋势，从中得出人口老龄化趋势逐年加深的结果。

到2020年，64岁以上老年人口比重从2005年的10%增长到21.0%；预计本世纪2030—2050年间形成老龄人口高峰平台，64岁以上老年人口比重达30%人口老龄化已成为未来一段时间我国所面临的主要人口问题最后，我们还对模型进行了评价与推广，使得模型具有更强的适用性和普遍性关键字： 灰色GM(1,1)模型、 新陈代谢GM(1,1)模型、 最小二乘数模型、 Leslie模型、人口结构分布图、人口老龄化一、 问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、 基本假设及说明1 、 死亡率只与年龄有关2 、 生育率与年龄和时间有关3 、 总和生育率趋于稳定4 、 我国迁入和迁出平衡5 、 每年出生人口男女比例相对稳定6 、 城镇乡人口比例趋于稳定7 、 出生人口性别比趋于稳定8 、 抽样调查的数据能体现总体的情况三、符号和变量说明 ： 为发展系数； b ： 为灰色作用量； C ： 为均方差比值； ： 为平均模拟相对误差； ： 绝对关联度； (k) ： 第k年i岁女性人口比重 (k) ： 第k年i岁的女性生育率 ： 第k年i岁的女性死亡率 ： 总和生育率 ： 第k+1年新增人口比例 ： 最低生育年龄 ： 最高生育年龄k ： 年 ： 年龄四、模型的建立及分析模型一、中国人口的数学增长模型一、模型的分析本论文采用了灰色模型中的GM（1,1）模型建立中国人口的数学增长模型1.1、GM(1,1)模型的基本形式 GM(1,1)模型是整个灰色理论体系的基础，如果序列为非负准光滑序列，则的1一AGO序列具有准指数规律。

定义1.1： 称+a=b为GM(1,1)模型的灰色微分方程，其中=0.5 + 0.5 定理1.1： 设为非负序列: =( , ,… ，) ；其中≥0, =1,2, …,n;为的1一AGO序列: =（，…，)其中= ， k=1, 2,…，n为的紧邻均值生成序列: =（，…，） 其中: =0.5 + 0.5; k=2, 3,…，n若= 为参数列，且Y= B= 则灰色微分方程+ a = b的最小二乘估计参数列满足 = 定义1.2 ： 设为非负序列，为的1-AGO序列，为的紧邻均值生成序列，=，则称为灰色微分方程 +a=b 的白化方程，也叫影子方程 定理1.2 ： 设B,Y, 如定理3.1.1所述，，= =则(1)白化方程，的解也称时间响应函数为 (2) GM(l，1)灰色微分方程+a=b的时间响应序列为 ； k=l，2，…，n (3)取则 ； k=l，2，…，n (4)还原值＝- ； k=l，2，…，n (3 .5) 定义1.3 ： 称CM(1，l)模型中的参数-a为发展系数，b为灰色作用量。

-a反映了别及的发展态势，一般情况下，系统作用量应是外生的或前定的，而CM(1，l)是单序列建模，只用到系统行为序列(或称输出序列、背景值)，而无外作用序列(或称输入序列、驱动量)CM(1，l)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭，也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志1.2、 GM(1,1)建模可行性判断并不是所有的GM(1,1)都是有效的，只有符合灰建模三条件的序列，才可作GM（1,1)建模 定理1.3 ： 令，=( , ,… ，)令为的级比 ＝ , k>3 ；则当满足,可作非畸形的GM(1,1)建模级比可容区((0.1353,7.389)是GM(1,1)建模的基本条件，然而不是实用条件也就是说要想建立满意有效的GM(1,1)模型，级比应落于靠近1的一个子区间(1-,l+)，即(1-,l+)(0.13 53, 7.389)这个子区间，就叫做级比界区确定级比界区的途径是:从原序列的界区出发，最后找出的界区界区的结论即建模的实用条件是:(1) 的界区: ；(2) 的界区: ；从中可得出结论:n越小，数据越少，界区越大，则建模条件越宽裕;n越大，数据越多，界区越小，则建模条件越苛刻。

1.3、 GM(1,1)模型的适用范围 模型都有其适用范围，GM(1,1)模型也不例外，其适用范围是与发展系数-a相关的，只有在<2的条件下，GM(1,1)才有意义而且，随着发展系数的增加，模拟误差迅速增大一般来说，有如下结论， (l)当时，GM(1,1)可用于中长期预测; (2)当时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用; (3)当时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎; (4)当时，应采用残差修正GM(1,1)模型; (5)当时，不宜采用GM(1,1)模型1.4 GM(1,1)模型的检验 定义1.4 ：设原始序列=( , ,… ，) 相应的模型模拟序列 =( , ,…,)残差序列 =(,,…,)其中: = ; k= 1, 2, …,n 相对误差序列 =(, ,…,) = (1)对于kn，称=为k点模拟相对误差，称= 为平均 模拟相对误差;(2)称1－为平均相对精度，1一为k点模拟精度， k= 1, 2, …,n (3)给定，当<且成立时，称模型为残差合格模型。

定义1.5 ： 设为原始序列，为相应的模拟序列，为与的绝对关联度若对于给定的 > 0，有，则称模型为关联度合格模型定义1.6 ： 设为原始序列，为相应的模拟序列,为残差序列， 则 ，分别为的均值、方差； ，分别为残差的均值、方差 (1)称C=为均方差比值对于给定的>0，当C<时，称模型为均方差比合格模型；(2) p=P() 称为小误差概对于给定的 >0当p>时，称模型为小误差概率合格模型 上述三个定义给出了检验模型的三种方法，这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型精度的其中平均模拟相对误差及均方差比值C要求越小越好，关联度和小误差概率p要求越大越好因为C小说明小，大，即模拟误差方差小，原始数据方差大这说明模拟误差比较集中，摆动幅度小;原始数据比较分散，摆动幅度大所以模拟效果好要求与相比尽可能小些)给定, ，，的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级常用的精度等级见表1-1，可供检验模型时参考二、模型一的建立与求解在实际建立模型时, 系统的原始序列数据不一定全部用来建模, 不同维数(或长度)序列建模, 所得参数a , b 的值是不一样的, 因而模型的预测值也不同, 它们构成一个预测灰区间。

为提高预测精度, 必须筛选适当维数的灰色模型从预测实效出发, 本文并不直接由表1-2 中总人口序列建模, 而是先对原始数据进行一阶差分处理, 求出各年净增人口序列, 然后应用净增人口序列建模计算净增人口预测值, 再加上上年总人口值, 得出所预测年份总人口值为筛选合适的模型, 这里分别选取5～8维年净增人口短序列, 建立灰色动态GM (1 , 1)模型并对2005年的我国实际总人口进行检验性预测其结果列表1-3表1-1精度检验等级参照表指标临界值精度等级平均模拟相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.90.350.95二级0.050.80.50.8三级0.10.70.650.7四级0.20.60.80.6一般情况下，最常用的是相对误差检验指标表1-2中国人口总数近10年的统计数据年份1996199719981999200020012002200320042005人口总数（万）12238912362612476112578612674312762712845312927713000130756净增人口数（万）126812371135。