浅析求解三重积分的计算方法.docx

          浅析求解三重积分的计算方法                    摘要：积分是高等数学中比较重要的概念，同时也是研究数学必不可少的内容，积分贯穿于整个高等数学中本文主要是针对三重积分，总结出常用的几种方法，希望对学员学习高等数学有一定的帮助关键词：三重积分；总结；方法； 一、三重积分的理解三重积分的一般表示如下： ，它的物理背景是求空间物体的质量空间物体占据空间区域  , 在点  处的体密度为  ，整个空间物体的总质量就是 三重积分也是一个“分割、近似、求和、取极限”的过程，即：2. 三重积分的计算1. 直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算有两种方法，“投影法”和“截面法”，也称为“先一后二法”与“先二后一法”下边分别介绍两种方法以及举例说明投影法：先求出积分区域在 面的投影区域 ，再以 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面，柱面与曲面的交线从曲面分出上下两部分，求出 的取值范围，确定积分上下限，再利用投影区域 求出 的取值范围，从而把三重积分转化为三次积分例1：计算三重积分 ，其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域解：空间闭区域 在 面的投影区域 ，且 ，则。

截面法：空间闭区域 ，则 这种方法要求对积分区域的图形非常熟悉例2：计算三重积分 ，其中 是由椭球面 所围成的闭区域解：空间闭区域 可以表示为 ，则2. 柱面坐标系下的计算空间直角坐标系下一点 与柱面坐标的关系为 ，然后把三重积分转化为柱面坐标系下的三重积分计算例3：计算三重积分 ，其中 是由曲面 与平面 所围成的闭区域解：闭区域在 面的投影区域 ，令 ，则 ，所以3. 球面坐标系下的计算空间直角坐标系下一点 与球面坐标的关系为 ，然后把三重积分转化为球面坐标系下的三重积分计算例4：计算三重积分 ，其中 是由球面 所围成的闭区域解：令 ，则 ，所以4. 利用对称性计算对于有些三重积分用上述方法比较困难，因此需要选择比较简单的方法计算对于积分区域关于 面对称，若被积函数 是关于 的奇函数，则三重积分 ；若被积函数 是关于 的偶函数，则三重积分 ，其中 为 面上方部分区域；积分区域关于 面对称计算方法类似例5：计算三重积分 ，其中 是由球面 所围成的闭区域解：由于积分区域关于 面对称，若被积函数 是关于 的奇函数，则三重积分 三重积分的计算难度偏大，技巧性高，因此，需要学员掌握各种计算方法，适当的练习，做到融会贯通。

参考文献：1. 华东师范大学数学系编. 数学分析（第三版）[M]. 高等教育出版社, 2001.2. 同济大学数学系编，高等数学（第七版下册）[M]. 高等教育出版社，2014.7  -全文完-。