空间向量及其运算的坐标表示.docx

1.3空间向量及其运算的坐标表示学习目标】课程标准学科素养1•学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示.2•会判断两向量平行或垂直.3•掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式.1、 直观想象2、 数学运算3、 数学抽象【自主学习】1.空间直角坐标系在空间选定一点0和一个单位正交基底g,鬧，以0为原点，分别以i, j, k方向为 正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，尹轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时 我们就建立 ，O叫做 ，i，j，k都叫做 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组｛x，y，z｝，使得p=xe1 +ye2+ze3，则把x， y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 2. 空间向量的坐标运算空间向量a，〃，其坐标形式为a=(a1, a2，a3)，b=(b1, b2, b3).向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=减法a_ba_b=数乘Xa加=数量积a^ba・b=3. 空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a=(a1, a2，a3)，b=(b1, b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式aDba=Xb(XDR)d] =2b], a? =2b?, a3=kb^^^DR)aDba・b=Oa-b=模ai=vaa|a| =夹角abC0S〈a，b>-|a||b|cos 〈a, b〉=a]b]+a2b2+a3b3 '\/a2+a2+a2 b^ + bg+b?［预1•已知i, j, k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且 AB=—i+j—k,则点B的坐标是( )A. (—1,1,—1) B. (—i, j,—k) C. (1,—1,—1) D.不确定 2、判断对错。

1) 空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点B的坐标相同.() ⑵设 a=(x1，y1，z1), b=(x2，y2, z2)且 b^O,则 4口〃口?=十=?.()x2 y2 z2(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同.() ⑷设 A(0,1,—1), O 为坐标原点，则OA = (0,1,—1).()【经典例题】题型一 空间直角坐标系 注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系,选择合适的基底,在写向量的坐标时,考虑 图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,分别是AB、PC的中点， 并且PA=AD=1,建立适当坐标系，求向量龙而的坐标.［跟踪训练］1如图在边长为2的正方体ABCD~A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O, M分别是AC, DD1的中点，写出下列向量的坐标AM= , obB 1= .题型二 空间向量的坐标运算例 2 (1)设 “=(1,一1, 3), b=(—2, 1, 2),则 a+2b= .(2) 设 a=(1,—1, 1), b=(—2, 0, 1),贝U cos〈a, b〉= .(3) 已知点A(—1, 2, 0), B(—1, 0, 2),则|AB|= .［跟踪训练］2 若向量 a=(1,1, x), b=(1,2,1), c=(1,1,1),且满足条件(c—a)・(2b)=—2，则x题型三 空间向量坐标运算的运用例 3 设 a=(1,5,—1), b=(—2,3,5).(1) 若(ka+b)D(a—3b)，求 k；(2) 若(ka+b)D(a—3b)，求 k.［跟踪训练］3已知正三棱柱ABC—ABC,底面边长AB=2, AB1DBC1，点O, O1分别是棱AC, A1C1的中点•建立如图所示的空间直角坐标系.(1) 求三棱柱的侧棱长；(2) 求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.【当堂达标】1•已知向量a=(0, 2, 1), b=(-1, 1,—2)，则a与b的夹角为( )A.0°B.45。

C.90D.1802•设O为坐标原点，M(5,—1, 2), A(4, 2,-1)，若OM—鮎，则点B应为( )A.(—1, 3, —3) B.(9, 1, 1) C.(1, —3, 3) D.(—9, —1, —1)3. 若口ABC的三个顶点坐标分别为A(1,—2,1), B(4,2,3), C(6,—1,4)，贝忙ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形4•已知a=(2,—3,1)，则下列向量中与a平行的是( )A．(1,1,1) B．(—4,6,—2) C．(2,—3,5) D．(—2,—3,5)5•已知向量a=(1,1,0), b=(—1,0,2)，且ka+b与2a—b互相垂直，则k的值是( )A. 11B.5C.5D.71 —/, t), b=(2, t, t),则|a—b|的最小值为( )B亨 C琴11D.§6.已知 a=(1—t, A並A，57•已知 A(—2,3,1), B(2,—5,3), C(8,1,8), D(4,9,6),求证：四边形 ABCD 为平行四边形.8•设 O 为坐标原点，向量OA = (1, 2, 3), OB=(2, 1, 2), OP=(1, 1, 2),点 Q 在直线 OP 上运动，则当0A・QB取得最小值时，求点Q的坐标.。