数学分析(西北师范大学)3.docx

SF01(数)Ch3函数极限计划课时:14时P21—302001.09.02.Ch3函数极限§ 1 函数极限概念(4时)一.XT妙时函数的极限：1以xt+a时f(x)=和g(x)=arctgx为例引入.X介绍符号：XT8,XTq,XT00的意义，limf(x)=A的直观意义定义 (^f(x)=A,limf(x)=A和她f(x)=A.)XX-..X,..几何意义介绍邻域U(+R)={XXam},J(—")={xx<—M},U(g)={xx>M},其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.1驯证lim0.X,二X冗验证xlimFctgX=3、2x2'x驯证网x2_2=2.2x2+x八x+4x|/|x|+4X^42|x|4_-2=_三_三_=—X-2X-2|X-2IX|xXT刈时函数f(x)的极限:[2x+1,x#2,由f(x)=」考虑XT2时的极限引入0,x=2.定义函数极限的“名-6”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路例4验证ximiC-C.例5验证段x=x°.32验证证 由x ¥ 3,x-3x3x-912lim2=—x32x2-7x3532___22 -x 3 122x -1 5x3-3x2+3x-912_(x2+3)(x-3)122x2-7x+3~~5—(2x-1)(x-3)~~5|5x—9||x—3|5x-9||x-352x-1―|2x-1为使5x-9=5x-15+6<5x-3+6<11,需有x-3<1;为使2x—1|=|2x—6+5至5—2x—3>1,需有x-3<2.于是，倘限制0

).EX[1]P622—5,7.§2函数极限的性质我们引进了六种极限：limf(x),limf(x),limf(x),limf(x),x1二xb-二xj二x)xof(x0+0),f(x0-0).以下以极限limf(x)为例讨论性质.均给出证明或简证.x—xo一 .函数极限的性质：以下性质均以定理形式给出.1 .唯一性：2 .局部有界性：3 .局部保号性：4 .单调性(不等式性质)：0Th4若limf(x)和limg(x)都存在，且存在点的空心邻域」(％,"),使x>x)x跃00卡xWU(x0,6)都有f(x)0,有aX0f(x)为例..Heine归并原则函数极限与数列极限的关系:0Th1设函数在点的某空心邻域U(%)内有定义.则极限limf(x)存在,x)x00对任何xnwU(x0)且xnTx°,limf(xn)都存在且相等.n%Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系，是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限，还可加强为｛xn｝单调趋于.参阅[1]P70.证明函数极限的双逼原理1c证明limsin0.xTx1一—证明limsin不存在.xTx.Cauchy准则:0Th2(Cauchy准则)设函数f(x)在点的某空心邻域口(％,5)内有定义.则limf(x)x>x00在,uV8>0,第a0(6<6),X/x：x"wU(x0,6),二f(x)-f(x)：二；(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定：limf(x)不存在的充要条件.X_X01一，，用Cauchy准则证明极限limsin一不存在.X0Xf (x)在设在［a,+a)上函数f(x)、.则极限limf(x)存在，=X］二二[a , +°0)上有界.(简证，留为作业).Ex[1]P72 1, 2, 3,4, 6.提示：第1题用反证法，第4题用Heine归并原则.两个重要极限s i nx ( l i m——=1.X—0limXsin xX(同理有 lim = 1,X 0 sin xl i mnsin_j：：1 ,n- =1.)n1 -cosx2Xsin 5x. sin 3xarcsin x证明极限四sin x不存在.1丁 X1l i n(1 x)X = e.证 对nExcn+1,1 1 11 :二 1 一 _ 1 ,X n"+11/+一例6liMl+k〕，特别当k=—1,k=1等.xx2i例7lim(12x)x.x-0例8lim(1-3sinx)c5cx.x05-xf2x-3例9lim竺rI.xB12x+1JEX[1]P76—771,2,4.注意：第4题直接用双逼原理计算§5无穷小量与无穷大量阶的比较一.无穷小量：定义.记法.例1判断：⑴可怜虫是很小很可怜的虫；（）⑵无穷小量是很小很小的量.（）无穷小的性质：性质1（无穷小的和差）性质2（无穷小与有界量的积）32例2lim-^-sin（n23n5）.n>::n1无穷小与极限的关系Th1limf(x)=A,二f(x)-A=。

1),x>x0.x—x0二.无穷小的阶：设xTx0时f（x）=°（1）,g（x）=°（1）.参阅[4]P42.1. 高阶（或低阶）无穷小：2. 同阶无穷小：二.等价无穷小：Th2（等价关系的传递性）.等价无穷小在极限计算中的应用：Th3（等价无穷小替换法则）参阅[4]P59.几组常用等价无穷小：设xT0.以作为基本无穷小，有等价关系：[4]P45—46的五组，再加上nT8时（或xT8时）的（或的）有理分式（分子次数小于分母次数）的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.3例3xt0时，无穷小vsinVx与(arctgJx)是否等价？21xarctgx-1例4lim.x—0(1-cosx)sin2x四.无穷大量：1 .定义：2 .性质：性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用，可仿无穷小讨论，有平行的结果.3 .无穷小与无穷大的关系：无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.EX[1]P841-5,9;[4]P77—8236,37,38,69—72,84⑵，89,90,96,98,99,101—103.(单选题、填空题可以只写出答案)习题课例1设数集无界.试证明：存在数列{}uS,使xnT吗(nT笛).例2设为定义在[a,+笛)上的递增函数.证明：极PMlimf(x)存在的X)二充要条件是函数在[a,+g)上有上界.例3证明：对Vx0e[0,1],limR(x)=0.其中R(x)是Riemann函数.X—X0例4设函数定义在(0,十叫内，且满足条件i>limf(x)=f(1),X—1ii>对Vx>0,有f(x)=f(x2).试证明是(0,+a)内的常值函数.一，…111111…例5求极限limx[]注意x[—]=x.——(一)|=1—x(),()有界X0XXXXXX小..『2-X2c例6lim—ax—b=0.求和.T〈1+X)解法2 -x2 ax1 x,■、2解法-2 -X2一X X2=0, a = -1；2 -x21 x又-a = b,= b = 1.ax-b = xf 2 x2x - X~7~2、x + Xb 2 -———0 ,即 a = lim | ——xr〔 X Xx)由X。