《一元二次不等式与解法》典型例题透析.doc

《一元二次不等式与解法》典型例题透析 - 教育文库 WORD格式 可编辑 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解以下一元二次不等式 〔1〕x?5x?0； 〔2〕x?4x?4?0； 〔3〕?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法那么解答. 解析： 〔1〕方法一： 因为-(?5)2?4?1?0?25?0 所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为： 2222 因此不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}. 2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0- 或? x?5?0x?5?0-2解得-x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x-. ?x?5?x?52因此不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}. 〔2〕方法一： 因为-0， 方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为： 2 所以，原不等式的解集是{x|x?2} 方法二：x?4x?4?(x?2)?0〔当x?2时，(x?2)?0〕 所以原不等式的解集是{x|x?2} 〔3〕方法一： 原不等式整理得x?4x?5?0. 专业知识整理分享 2222 WORD格式 可编辑 因为-0，方程x?4x?5?0无实数解， 函数y?x2?4x?5的简图为： 2 所以不等式x?4x?5?0的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵?x2?4x?5-(x?2)2?1-1?0 ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并进步数形结合的分析^p 才能； 2. 当-0时，用配方法，结合符号法那么解答比拟简洁〔如第2、3小题〕；当-0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法那么比拟快捷，〔如第1小题〕. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解以下不等式 (1) 2x?3x?2?0；(2) ?3x?6x?2?0 (3) 4x?4x?1?0； (4) ?x?2x?3?0. 【答案】 〔1〕方法一： 因为-(?3)2?4?2?(?2)?25?0 2方程2x?3x?2?0的两个实数根为：x1-222221，x2?2 2函数y?2x?3x?2的简图为： 2 因此不等式2x?3x?2?0的解集是：{x|x-21或x?2}. 2〔2x?1)(x?2)?0, 方法二：∵原不等式等价于∴ 原不等式的解集是：{x|x-〔2〕整理，原式可化为3x?6x?2?0, 因为-0, 方程3x?6x?2?0的解x1?1?221或x?2}. 233，x2?1?， 33 专业知识整理分享 WORD格式 可编辑 函数y?3x2?6x?2的简图为： 所以不等式的解集是(1?〔3〕方法一： 因为-0 2方程4x?4x?1?0有两个相等的实根：x1?x2?33,1?). 331， 2由函数y?4x2?4x?1的图象为： 原不等式的的解集是{}. 方法二：∵ 原不等式等价于：(2x?1)?0, ∴原不等式的的解集是{}. 〔4〕方法一： 因为-0，方程?x?2x?3?0无实数解， 由函数y-x2?2x?3的简图为： 212212 原不等式的解集是?. 方法二：∵?x2?2x?3-(x?1)2?2-2?0， ∴ 原不等式解集为?. 【变式2】解不等式：?6?x?x?6?6 【答案】原不等式可化为不等式组 22-?(x?4)(x?3)?0?x?x?6?6?x?x?12?0 ? ，即，即， ?2?2-?x(x?1)?0?x?x?0-6?x?x?6-3?x?4解得? x?1或x?0?2∴原不等式的解集为{x|?3?x?0或1?x?4}. 类型二：一元二次不等式的解集求待定系数 例2. 不等式x?mx?n?0的解集为x?(4,5)，求关于x的不等式nx?mx?1?0的解集。

思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x?mx?n?0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得. 专业知识整理分享 222 WORD格式 可编辑 解析：由题意可知方程x?mx?n?0的两根为x?4和x?5 由韦达定理有4?5-m，4?5-n ∴m-9，n-20 ∴nx?mx?1?0化为?20x?9x?1?0，即20x?9x?1?0 222211(4x?1)(5x?1)?0，解得-x-， 45112故不等式nx?mx?1?0的解集为(?,?). 45总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键 举一反三： 2【变式1】不等式ax+bx+12>0的解集为{x|-30对一实在数x恒成立，务实数m的取值范围 思路点拨:不等式对一实在数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数 解析： 2(1)当m+4m-5=0时，m=1或m=-5 假设m=1，那么不等式化为3>0, 对一实在数x成立，符合题意。

假设m=-5，那么不等式为24x+3>0，不满足对一实在数x均成立，所以m=-5舍去 2(2)当m+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时， 22由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m+4m-5)x-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 2-m?4m?5?0所以?， 22--16(m?1)?12(m?4m?5)?022即-m?1或m-5?1?m?19， ∴ 1