量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第11章.pdf

第十一章：量子跃迁P552——10.2，10.311.1——10.111.2 具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为 )(ωρ ，波长较长，求：（1）跃迁选择定则2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率解：本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致1）跃迁选择定则：为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）)(34 //'2222kkkkkk rqW ωρpi →= （1）式中2'→kkr 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→kkr / 仅有一项2/kkx)(34 //' 2222kkkkkk xqW ωρpi= （2）根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元dxxxx kkkk ∫ ∞∞−∗= )()0()0('/ ψψ （3） 式中 )(2)( !)0( axHkax kkk piψ = ， µ ω=a要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：}212{1 )0( 1)0( 1)0( +− ++= kkk kkx ψψαψ （4）代入（3），利用波函数的正交归一 ：mnnx n dx δψψ =∫)0(*)0(dxkkx kkkkk ∫∞∞− +−++⋅= }212{1 )0(1)0(1*)0('' ψψαψ 1,1, '' 21121+−++=kkkkkk δαδα （5）， 定的 态k来 ，要 矢径矩阵元（ 矩阵元） 为 ， 态 'k 和 态k的 是：,1' −= kk 这时 21,1' kxx kkkk α== − （6）,1' += kk 这时 211k,1' +== + kxx kkk α因 ：一维谐振子跃迁的选择定则是： 态 态的量子数 数是1。

2）每秒 基态 0=k 跃迁到第一激发态的几率可以 （2）式和（7）式 到：)()211(34 10222210 ωραpiqW = )(321010222ωρµ ωpi q=11.3设有一 电q的 子， 量为µ ，在 为a的一维无 ¡¢中运动，£在入射光照射下发生跃迁，波长 a> >λ 1）求跃迁的选择定则2）设 子⁄来处于基态，求跃迁速率公式解：本题¥是一维运动，ƒ§¥是currency1'“微扰，«可用‹题›fi方fl1）跃迁选择定则：第–章§3.1一维无 ¡¢定态波函数是：（⁄†‡在¡¢· ）axkaxkpiψ sin2)( = （1）根据 式计算矩阵元：dxaxkxaxkax axkkpipi sinsin20'' ⋅⋅= ∫ = dxaxkkaxkkxaax∫ =+−−=0''])(cos)([cos1 pipi利用 定¶•公式：2cossincosppxxppxpxdxxx+⋅=∫ (2)akkaxkkkkaaxkkkkaxaxkkkkaaxkkkkaxax0'22'2'''22'2''})(cos)()(sin)()(cos)()(sin)({1'pipipipipipipipi+−−++−−−+−−=222'2')(1)1(4 'kkkak kk−−−⋅= +pi (3)‚„一式 ，要 矩阵元 0' ≠kkx ， kk +' 要是”数。

但这»…‰ 可以用¿ 方式`´，ˆ kk +' 是 ” 数 时 kkkkk −=−+ '' 2 ˜ 是”数，因 一维无 ¡¢¯光照的选择定则是：˘˙ 态和 态的量子数¨和（ ）应是»”数),2,1,0()12(' ⋯⋯=−=± nnkk因 ',kk ˚¸¨中，一»是”数 一»是 数2）跃迁速率：˝‹题公式（1）)(34 ''' 2222kkkkkk xqW ωρpi= )(]1)1[()(364'' 2422'22'2222kkkkkkkkqa ωρpi ⋅−−⋅−⋅=+ （4）=± kk' 数时 0' =kkW ， =± kk' ”数时)()(31027'' 422'22'2222kk2kk kkkkhqaW ωρpipi−⋅= （5）子 基态 1=k ，跃迁到˛ˇ一» 数态 nk 2' = 的速率：)()14()(31024 1,242221,2 nn nnhqaW ωρ−=11.4——10.411.5——10.511.6——10.611.7设—处于基态的 ⁄子 在平 电 中，‡平 fl 方向为z 方向 电场 z 方向可 作 ，设电 ˜ 电˜„ 电，电场随时间变 …‰是：>>ω 电离能，用微扰 一级近fi，计算 ⁄子的每秒电离的几率。

解：本题的“ 属currency1'“微扰问题范围，但这过程中的 状态是电离态，电离态可以包括一切方向传播的平 几率波，因 在跃迁几率方 要用›fi于弹“散射的¶•计算根据11.3章currency1'“微扰 ，若体 ¯微扰：)(2' e tie tiWH ωω −+=∧（1）则在较长的时间以„，体 一»单态Ek，跃迁到一»单态Ek’的跃迁几率Wk’k是以下式˘˙的：( )ωδpiω hEkEkkkkk −−= 'W ' 22' 在本题的情形，微扰能量乃是 ⁄子在交变电场中的¡能（忽略磁¡能）， ⁄子Ø作 子OP（附图），则微扰算 是：))(0(' e tie tiEreEreH ωω −+⋅=⋅=∧假定电场矢量的振æE0在参 中的•量是（E0x，E0y，E0z）用球坐标˘˙电子位置时，有：))(cos0sinsin0cossin0())(000('e tie tirE zrE yrE xee tie tizE zyE yxE xeHωωθϕθϕθωω−+++=−+++=∧（2）因 微扰算 中坐标有 的部•是：)( cossinsincossin21000^ θϕθϕθ rErErEeWzyx ++= （ 3）为ø计算单态与单态间的跃迁速率（2）， 要求 态矩阵元Wk’k， 题Ł， 态是 的基态，其波函数是：ea ar−= piψ 2100 1 （a是玻尔半径）跃迁的 态是 态（ 正的能态），£的波函数是平 德布罗Ł波，但这 态的波矢量k（与动量 p成正比）与能量Ek的 ： µ222kEk = 是˛Ł的，方向¥是˛Ł的。

我 假定波矢量k已经确定，ƒ§ z ，又假设 ⁄子 闭在体¶L3的立方体中（箱归一 ），则可写出 态的波函数：eLeL ikrikk θpiψ cos33 11 == （4）下 计算微扰的空间部•W在‹´ß单态中的矩阵元：)5(sin22)cos0sinsin0cossin0(2cos31100^*1,ϕθθpiθϕθϕθθτψτψddrdrae arrE zrE yrE xee ikrLdWkW k⋅−⋅++⋅−∫ ∫ ∫=∫ ∫ ∫=注Ł这»¶•包括–部•，ƒ§¶•变量r，θ，ϕ 是•离的与ϕ 有 的¶•中，因：∫==piϕϕϕ200cos d ∫==piϕϕϕ200sin d因 （5）式中 有与E0x有 的¶• 为 ，在下 的计算中，¶•的œ序是r，θ，ϕ ：11.9——10.811.10——10.911.11——10.1011.12——10.1111.13没有找到答案∫∞− −−+−−− −−+−⋅=∫∞ −−−−−⋅=∫∞ −+−− −−⋅=∫∞=∫=⋅−+−⋅−=∫∞=⋅∫=−⋅−=∫∞=∫=−−∫==0)](2)([1334 00}{21334 00}|cos| 01{21334 00}0sincos|coscos| 0{13334 00 0cos)cos(13334 00)0cossincos(320332 01,dre ikrare ikrarre ikrare ikrarikrikLaEe xdre ikrikreeikrikre arrikLaEe xdre ikrikreeikr ikre arrikLaEe xrdrde ikre ikrikre arrLaEe xrdrde ikrddikre arrLaEe xrdrde ikre arrdLaEe xWkpipipipiθ pipipipiθθθθθθ pipipipiθθθθθpipipiθθθθθpiϕϕpi利用定¶•公式：andxxennax1!0 +=∫∞ −于‹一¶• ：)221( 3335640]})1(22)1(21[1])1(21)1(21[21{334 01,kaLaEeka iikaikaikikaikakLaEe xW k+−=++−−+−−−=pipipi代（2） ：)()1(2122220211 106331, ωδpipiω  −−⋅+⋅= EEkaLakEeakxk （7）其œ计算 态跃迁到 态为中心的，包括一切邻近态在内的总跃迁速 ，根据11.2章常微扰相›fi，要 虑累计效应，在箱归一 的条件下，电子的动量•量是量子 的，˘˙为：nxLpx pi2= ， nyLpy pi2= nzLpzpi2=º在动量相空间（Px，Py，Pz）中，若以（Lpi2 ）为 相空间•割成立方形细胞，则每一立方形相ˆ于一» 的动量态，因º“单位相空间体¶”中的态数目是)2(3)2(3/1  pipi LL =在相空间体元 ϕθθτ dddpdpdpd '''2 sin2 ΩΩ == ¨中，独立态数目是：dpdpLdLdN Ω== 2)2()2(33 piτpi（8）一方 ，根据态密 ρ 的定义，在 定方向（θ '，ϕ '）上，单位立方体角和单位能量间隔的态数目是态密 ρ ，因º在立方体角 Ωd 和能量间隔dEk中的态数目是ΩµµΩΩ ρρρ ddddEddN pdpp 1)2(2=== （9）*注：本页第˚ 起到下页第九 公式（11）为止一段文字，是为 读¸ 易理解起见插入的有 “态密 ”的补 明。

8）（9）˚式等起来，就 到箱归一 子的态密 公式：ELpL kµµpiµpiρ 2)2()2(33== （10）于独立事件的几率可以相加，因 ， 一单态E1跃迁到 态的总几率用¶•计算，首先，于 动量p在立体角 Ωd ¨内，能量间隔在dEk¨内的态数目是：EdddN kΩ= ρ每一 跃迁的速率（单位时间的几率） Ø作Wk1（ 7式），则 于Œ´的一 列跃迁的总的跃迁速率是»微量dEdwdNwdw kkk Ω⋅== ρ11 （11）因º向一切可能 态跃迁的总速率：Eddww kEkk ΩρΩ∫ ∫= 1dEkEEkEa kEkEkEkLaE xeaLdEkEEkkaLazkEeaEkEkLd)1()2221(622233202211 10)2(34)1()221( 6332。