运筹学II练习题.doc

运筹学II练习题1 试判定下述非线性规划是否为凸规划：（1）（2）（3） max 解 （1）的海赛矩阵的行列式： 知为严格凸函数，为凸函数，为凹函数，所以不是一个凸规划问题 （2）同上有的海赛矩阵的行列式 是凹函数，是凸函数，不是凸规划问题3） min 说明是凸函数，、、是凹函数因此，本模型是一个凸规划2 试用斐波那契法求函数 在区间[0，10]上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8%1.5）3 用分数法求在区间上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间长的8%0.538）4 试用最速下降法求函数 的极大点，先以为初始点进行计算，求出极大点；再以为初始点进行两次迭代最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程2，0）解 求的极大点，即求的极小点1）取初始点，取精度 即即为极小点 为的极大点 （2）取初始点，取精度，同上方法进行两次迭代有： 两次步长 两次迭代结果 比较：对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说，椭圆的圆心即为最小值，负梯度方向指向圆心，但初值点与圆心在同一水平直线上时，收敛很快，即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。

5求的极小点，取1,1)解 由于，故即极小点，计算经两步终止6试用牛顿法求解 (0,0) 取初始点解 求的极大点，即求的极小点 所以极大点为 7 试用共轭梯度法求二次函数 (0,0) 的极小点，此处 解 现从，开始 于是 故 故得到极小值点 8考虑下面的非线性规划：max 验证它为凸规划，并用K-T条件求解0,3)解 原问题可写为min 计算目标和约束函数的海赛阵故此问题是凸规划K-T条件表达式为若，则无解，于是，有令，则有解得，显然是可行点，从而是极小点9试写出下述非线性规则的Kuhn-Tucker条件并进行求解： 清华版，7章例110求解二次规划min ()见天大版例3-1611试解二次规划 解 将上述二次规划改写为 可知目标函数为严格凸函数，此外 由于和小于零，故引入的人工变量和前面取负号，这样得到线性规划问题如下 解此线性规划问题得 12试用SUMT外点法求解 （1，2） 解 原问题转化为构造惩罚函数 解得最优解为 13 一工人管2台机器，每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为1/2小时的负指数分布，修理时间也属负指数分布，均值为1/3小时。

1） 画出转速图2） 列出平衡方程式求出状态概率P0，P1，P23） 求故障机器数的均值Ls4） 一台机器每次停机时间均值Ws解 （1）λ1＝2台/小时，μ＝3台/小时 M/M/1/·/2 模型 2λ1＝4 λ1＝2 μ＝3 μ＝3（2）3P1＝4P0 , 5P1=4P0+3P2 , 3P2＝2P1 P1＝P0， P2＝P0＝P0 P0＋P1＋P2＝P0＋P0＋P0＝1∴ P0 ＝ P1 ＝ P2＝ （3）Ls＝0 P0＋1P1＋2P2＝＋＝（台）＝0.966 （4）λe＝μ（1－P0）＝3（1－）＝ Ws＝＝＝0 .47（小时）＝28（分钟） 14 某风景区有一小客店，每天平均到达4人，顾客平均逗留时间为2天，到达服从泊松分布，逗留时间服从负指数分布，若该旅馆只有（C＝）2个单人房间，客房住满时再到达的顾客会离去（N＝2）。

M/M/2/2模型） （1）画出转速图，列出平衡方程式 （2）求空闲概率P0和满员概率P2 （3）求每天客房占用数的均值Ls 解 λ＝4人/天 μ＝1/2人/天（1） λ λ μ 2μ 1/2P1＝4P0 P1＝8P0 P2＝4P1 P2＝32P0（2）1＝P0（1＋8＋32）＝41P0 P0＝1/41 P1＝8/41 P2＝32/41 （3）Ls＝（间） 空闲概率为P0＝1/41 满员概率为P2＝32/41 客房占用数均值为1.76（间）15 某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布，加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。

试求： （1）这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油？ （2）每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间？ （3）管理部门规定，若加油的平均等待时间超过 3 分钟或系统内的平均汽车数超过8辆，则需要增加加油设备，试计算现在的情况是否需要增加加油设备？ （4）如果加油的汽车流有所变化，那么当 l 超过多少时需要增加加油设备？ 需要增加加油设备； 故当λ超过（3／28）时，需要增加加油设备16 设表示系统中顾客数，表示队列中等候的顾客数，在单服务台系统中，我们有 试说明它们的期望值 ，而是 根据这关系式给以直观解释解 因为为单服务台，只有超过1个顾客时，才会出现排队等待 则 17 在模型中，如，试证：下式成立 于是 解 在模型中，其状态转移图如下：则又则，依次类推 又，则 即 故 18 对于模型，试证：并对上式给予直观的解释解 设由模型的数字特征有故 当时 显然 当时 即则 即 故 由于系统的容量为N，则有效到达率为：当系统平衡时，有效到达率和有效服务率应当相等，即 19 对于模型，试证 ，并给予直观解释。

证 由于系统的有效服务率为： 表示系统中平均出故障的机器数，则系统外的机器平均数为，则系统的有效到达率，即m台机器单位时间内实际发生故障的平均数为： 当系统达到平衡时 则 故 21（订货决策）某商店经营一种易腐食品，出售后一个单位可获利a＝5元若当天售不出去，则每单位损失b＝3元该店经理统计了连续40天的需求情况（不是实际销售量）现将所得数据列出如下：3,3,4,2,2,4,2,3,4,4,4,3,2,4,2,3,3,4,2,2,4,3,4,3,2,3,4,2,3,2,2,3,4,2,4,4,3,2,3,3经理想应用马尔可夫链来预测需求量，确定明天进货量1）已知当天需求量为3个单位，明日应进货多少单位？（2）若不知当天需求量，明日应进货多少单位？23、计算下列判断矩阵的权重。