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2022年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及答案 2022考研数学一真题 一选择题1.曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)2(x?4)2拐点A〔1，0〕 B〔2，0〕 C〔3，0〕 D〔4，0〕 2设数列?an?单调递减，liman?0,Sn??ak(n?1,2,?〕无界，那么幂级数n??k?1n?a(x?1)kk?1nn的收敛域A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，那么函数z?f(x)lnf(y)在点〔0，0〕处取得微小值的一个充分条件Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?04.设I??0lnsinxdx,J??0lncotxdx,K??0lncosxdx那么I、J、K的大小关系是444???A I

记A=?1?1AP1P2 BP2P1 DP1P2 CP2P1那么6.设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，假设(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个根底解系，那么A*x?0的根底解系可为A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?47.设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，那么必为概率密度的是Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)8.设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},那么E(UV)=A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题9.曲线y??0tantdt(0?x?)的弧长s=____________4x?10.微分方程y??y?e?xcosx满意条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数F(x,y)??0xysint?2Fdt，那么21?t2?xx?0?__________12.设L是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正憧憬zy2_ 轴负向看去为逆时针方向，那么曲线积分?xzdx?xdy?dz?__________213.假设二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y12?4z12?4，那么a?_______________ 三解答题ln(1?x)ex?1() 15求极限limx?0x116设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，?2z且在x=1处取得极值g(1)=1,求?x?yx?1,y?117求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。

18证明：1〕对随意正整数n，都有121n111?ln(1?)? n?1nn2〕设an?1?????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛 19确定函数Df(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,??f(x,y)dxdy?a，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdyD?20.?1?(1,0,1)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T不能由?1?(1,a,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,5)T线性表出，?求a；?将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出11???11?????21.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00???11??11?????〔1〕求A的特征值与特征向量；〔2〕求A 22.X P 0 1/3Y P P(X2?Y2)?11 2/3 -1 1/3 0 1/3 1 1/3 求：〔1〕〔X，Y〕的分布；〔2〕Z=XY的分布；〔3〕?XY23.设x1,x2,?xn为来自正态总体N(?0,?2)的简洁随机样本，其中?0确定，??0未知，x和S2分别表示样本均值和样本方差。

2_1〕求参数?的最大似然估计?2口22〕计算E(?)和D(?) 答案： CCABDDDB 填空题：9.ln(1?2) 10y?e?xsinx 11 4 12? 13a?1 14?(?2??2)ln(1?x)?x[1?()15解：原式=limx?0xx1ln(1?x)?xxln(1?x)?xe?1x口2口2]?ex?0limln(1?x)?xx(ex?1)?e1?11?xx2?e1216由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以g?(1)?0?z?f1?[xy,yg(x)]y?f2?[xy,yg(x)]yg?(x)?x?2z??(xy,yg(x)?g(x)f12??(xy,yg(x)]?f1?[xy,yg(x)]?y[xf11?x?y?2z??(1,1)?f12??(1,1)?fx?(1,1)?f11?x?y17解：令f(x)?karctanx?xk?1?x2f?(x)?1?x2(1)当k?1?0,即k?1时，f?(x)?0(除去可能一点外f?(x)?0),所以f(x)单调削减，又因为limf(x)???,limf(x)???,所以方程只有一个根x???x???〔2〕当k?1?0,即k?1时，由f?(x)?0得x??k?1,当x?(??,?k?1)时，f?(x)?0,当x?(?k?1,k?1)时，f?(x)?0;当x?(k?1,??)时，f?(x)?0，所以x??k?1为微小点，x?k?1为极大点微小值为?karctank?1?k?1,极大值为karctank?1?k?1,令k?1?t,当k?1时，t?0,令g(t)?karctank?1?k?1?(1?t2)arctant?t,明显g(0)?0,因为g?(t)?2tarctant?0,所以g(t)?g(0)?0(当t?0),即karctank?1?k?1?0,微小值?karctank?1?k?1?0,极大值karctank?1?k?1?0,又因为limf(x)???,limf(x)???,所以方程有三个根，分别位于x???x???〔??，k?1〕〔,?k?1,k?1)及〔k?1，??〕内。

18证明：11111(1)f(x)?ln(1?x)在[0,]应用中值定理，ln(1?)?ln(1?)?ln1?nnn1??n11111110???,?1,即?ln(1?)?11n1?11??nn1?nnn1(2)an?1?1?1/2????ln(n?1)n?1111an?1?an??ln(n?1)?lnn??,n???n?1n?1n?1?其中an?1?an?0,an?1?an即?an?单调递减1111?ln(1?)?(1?)???ln(1?)?lnnn12nn?1?ln2?ln3/2???ln?lnnnn?1?ln(n?1)?lnn?ln?0n?an?单调递减有界，故收敛an?1?1/2???19.解：??(x,y)dxdy??xdx?yfxy??(x,y)dyI???xyfxyD0011?10??(x,y)dy??ydfx?(x,y)?yfxy?(x,y)1?yfxy0??fx(x,y)dy,00111110100011??(x,y)dy??xfx?(x,1)dx??xdx?yfx?(x,y)dy于是，I??xdx?yfxy???xf(x,1)10??xdx?yfx(x,y)dy???dy?xfx(x,y)dx00001111??[?xfx(x,y)dy??dy?fx(x,y)dx]??dy?f(x,y)dx???f(x,y)dxdy?a00000D110111120解：1)??1,?2,?3101?013?1?0115又??1,?2,?3不能由?1，?2，?3线性表示，?r(?1，?2，?3)?3,于是?1，?2，?3?0，解得a?5?10111?2)(?1,?2,?3,?1，?2，?3)??00312?11513??101210???1?2?1?4?2??3?????010420?于是??2??1?2?2?0?3?001?101????0??0???123???11??1??3???0?05???0111131401221??1??3???0?64???01011311?11201??3?1???r(?1,?2,?3)?321.解： 1)?1??1?????令?1??0?，?2??0?那么A?1???1,A?2??2,??1??1?????依据特征值向量的定义，A的特征值为?1??1,?2?1,对应的线性无关的特征向量为?1??1??????1??0?，?2??0??r(A)?2?3,?A?0故?3?0??1??1??????x1???T1?3?0令?3??x2?为矩阵A的相应于?3?0的特征向量?A为实矩阵，所以有??2T?3?0?x??3???0???1?x3?0即x解得?1?x1?x3?0?0?????1??1??1??0??2??1??1??2〕?1?2?3单位化得：r1?〔r1,r2,r3)??0?0?,r2??0?,r3??1?,令Q?2??2????1?0??11???????2???101???101??001???????TT那么QAQ??010?,于是A?Q?010?Q??000??000??000??101???????12022?0??1?,0???22.解：1)P(X2?Y2)?1?P(X2?Y2)?0,即P(X?0,Y?1)?P(X?0,Y??1)?P(X?1,Y?0)?01P(Y?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?1，Y?1)?31?P(X?1,Y?1)?,同理如图：3Y X 0 1 -1 0 1/3 1/3 0 1/3 0 1/3 1 0 1/3 1/3 1/3 1/3 2)Z取值为?1、0、11P(XY??1)?P(X?1,Y??1)?,P(XY?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?0,Y?1)3 1?P(X?0,Y??1)?P(X?0,Y?1)?31P(XY?1)?P(X?1,Y?1)?3Z P 3)EX?-1 1/3 0 1/3 1 1/3 222,EY?0,EXY?0,DX?,DY?,?XY?0 39323.解：i?11(1)似然函数L?f(x1)f(x2)?f(xn)?enn(2?)??(xi??0)22?2nn取对数得，lnL??nln2??ln?2?2令dlnL??n??(x??)i0i?1n22?2?0得2?41n22?的极大似然估计值???(xi??0)2.ni?1d?2?(x??)i0i?1n22?2(2)因为1?22?(x??)i0i?1n2~?(n).所以E221?2?(x??)i0i?1n2?n??于是E???D?n2?2nE(11?n2?(x??)i0i?12i0n)??2,?4niD(?02?(x??)i?12)?2?4因为?(x??)i?1?2~?(n),所以有D(0?(x??)i0i?1n)?2n?2右式?D(2?(x??)ii?1n2?4?)?2n2?那么D(?nn??42?2/?2)?2n)?D(n?本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 。