三角形全等专题倍长中线法.doc

全等三角形基本判定条件：全等三角形基本判定条件： 1、三 边 对应相等(SSS) 2、两边夹角 对应相等(SAS) 3、两角夹边 对应相等(ASA) 4、两角对边 对应相等(AAS) 5、直角三角形全等条件：① 斜 边 及 一直角边 对应相等（HL） ；② 一直角边及 一锐角 对应相等（ASA）或斜 边 及 一锐角 对应相等（AAS） ； ③ 两 直 角 边 对应相等 (SAS) ★注意：注意：直角三角形全等，除边边边（SSS） ，边角边（SAS） ，角边角（ASA） ， 角角边（AAS） 对应相等外，还有直角边及斜边（HL） 、一直角边及一锐角 （ASA)、斜边及一锐角（AAS） 、两直角边（SS）等 对应相等除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件：除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件： 1、三条中线对应相等，两个三角形全等 2、三条高线对应相等，两个三角形全等 3、三条角平分线对应相等，两个三角形全等 4、两个角及第三个角的角平分线对应相等，两个三角形全等 5、两条边及第三条边上的中线对应相等，两个三角形全等。

6、钝角三角形中，一钝角和其一邻边对应相等，钝角所对的较大边也相等，两 个三角形全等或两边及其中一边的对角(钝角)对应相等，两个三角形全等 （SSA） 7、等腰三角形中，底边和顶角分别对应相等，两个等腰三角形全等 8、等腰直角三角形中，周长相等，两个等腰直角三角形全等 （因为等腰直角 三角形三边之比为 1：1：√2，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等， 对应边相等，故全等） 9、等边三角形中，有一边对应相等，两个三角形全等★★特别提示：特别提示：在三角形全等的判定中，一定有边相等，一定没有 AAA 和 SSA（除非此角为钝角） ，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状三角形全等的性质：三角形全等的性质： 1.全等三角形的对应角相等 4. 全等三角形的对应边上的中线相等 2.全等三角形的对应边相等 5.全等三角形的对应角的角平分线相等3.全等三角形面积周长相等 6.全等三角形的对应边上的高对应相等等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写“等边对等角”） 2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写“等腰三 角形的三线合一性质”） 。

3、等腰三角形的两底角平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等 5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证明） 7、等腰三角形是轴对称图形（不是等边三角形的情况下） ，只有一条对称轴， 顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴 8、等腰三角形的腰大于高等腰三角形的腰的平方腰的平方等于高的平方高的平方加底的一半的平底的一半的平 方方 初中三角形全等专题倍长中线法初中三角形全等专题倍长中线法倍长中线法的定义倍长中线法的定义：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点， 则对应角对应边都对应相等常用于构造全等三角形中线倍长法多用于构造全等三角形 和证明边之间的关系以方便求其中一边的范围值1、如图，在、如图，在△ △ABC 中，中，AC=5，中线，中线 AD=7，则，则 AB 边的取值范围是边的取值范围是( )A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：答案：C 解题思路：解题思路：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE，可先证明△ABD≌△ECD，则 AB=CE，在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得 AE-AC＜CE＜AE+AC，即 9＜CE＜19.则 9＜AB＜19.故选 C.2、如图，已知、如图，已知 CB、、CD 分别是钝角分别是钝角△ △AEC 和锐角和锐角△ △ABC 的中线，且的中线，且 AC=AB，给出下列结论：，给出下列结论： ①AE=2AC；；②CE=2CD；；③∠ ∠ACD=∠ ∠BCE；；④CB 平分平分∠ ∠DCE，则以上结，则以上结 论正确的是（论正确的是（ ））A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：答案：A 解题思路：解题思路：①正确，延长 CD 至点 F，使得 DF=CD，连接 AF，可先证明△ ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正 确。

由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则 需 BC=BE，显然不成立，故③选项错误3、如图，点、如图，点 E 是是 BC 的中点，的中点，∠ ∠BAE=∠ ∠CDE，延长，延长 DE 到点到点 F 使得使得 EF=DE，， 连接连接 BF，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ））①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三 角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：答案：A 解题思路：解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到 ∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确④不 正确4、如图，在正方形、如图，在正方形 ABCD 中，中，E 为为 AB 边的中点，边的中点，G、、F 分别为分别为 AD，，BC 边边 上的点，若上的点，若 AG=1，，BF=2，，∠ ∠GEF=90°，则，则 GF 的长为（的长为（ ））A.1 B.2 C.3 D.4 答案：答案：C解题思路：解题思路：延长 FE 交 DA 的延长线于点 M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△ GEM≌△GEF，可以得到 GF=GM=GA+BF=3，答案选 C5、如图，在、如图，在△ △ABC 中，点中，点 D、、E 为边为边 BC 的三等分点，则下列说法正确的有（的三等分点，则下列说法正确的有（ ））①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：答案：D 解题思路：解题思路：点 D、E 为边 BC 的三等分点，∴BD=DE=CE 延长 AD 至点 M，AE 至点 N，使得 DM=AD，EN=AE，连接 EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得 AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得 AD+AC＞2AE，将 两式相加可得到 AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即 AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。

6、、下下列列命命题题：： ①①有有两两个个角角和和第第三三个个角角的的平平分分线线对对应应相相等等的的两两个个三三角角形形全全 等等；；②②有有两两条条边边和和第第三三条条边边上上的的中中线线对对应应相相等等的的两两个个三三角角形形全全等等；；③③ 有有两两条条边边和和第第三三条条边边上上的的高高对对应应相相等等的的两两个个三三角角形形全全等等．．其其中中正正确确的的是是（（ ））解解答答：：解：①正确．可以用 AAS 或者 ASA 判定两个三角形全等； ②正确．可以用 “倍长中线法 ”，用 SAS 定理，判断两个三角形全等； 如图，分别延长 AD、A′D′到 E、E′，使得 AD=DE，A′D′=D′E′， ∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC， 同理： B′E′=A′C′， ∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′， ∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′， ∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′， ∴△BAC≌△B′A′C′． ③不正确 因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部， 也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所 以就不全等了 。

点评： 本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐 个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA 是不能 判得三角形全等的 。