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高一 ·联赛班·春季第 2 讲·教师版1第二第二讲讲 递递推数列（推数列（1） ）本讲概述竞赛中出现的数列问题绝大部分是递推数列，即给出数列若干项之间的关系式及初始值，由此确定 整个数列.这种递推数列问题主要应用于计算机技术中，因此近年来随着科技发展越来越受到重视，在高 考和竞赛中经常出现此类问题. 递推数列问题一般出法有：1、给出初值与递推式，探讨该数列各种性质，如通项、求和、增减性、 界、数论性质等等；2、对于一个组合问题或代数问题，通过归纳给出其递推模型进而求解； 对于第一类问题，往往给出的递推式较为晦涩，难以直接看出其关系，需要较高的变形技巧才能将 其变为“可识别”的已解决问题；第二类问题的难点则主要在于如何通过实际情境建立递推模型，至于 求解往往是平凡的.本讲主要解决第一类问题，并侧重于利用代数变形技巧进行转化的问题，下一讲则结 合数学归纳法讲述先猜后证的方法. 本讲首先给出关于递推数列的一些常见结论，以及常见的递推数列变形技巧，相当大比例的递推数 列问题最终将利用这些基本结论和方法求解. 定义定义 1 1 对任意n∈N，由递推关系),,,(21nknknknaaafaL确定的数列{an}称为递推数列，或称递归数列。

若f是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列 定义定义 2 2 若数列{an}从第k项以后任一项都是其前k项的线性组合，即①1122n kn kn kknaaaar  L其中n∈N，是常数，，则称{an}为k阶线性递推数列，①称为{an}的线性递归方程12,,,,kr L0k如果，则有0r②1122n kn kn kknaaaa  L由此所确定的数列{an}称为k阶齐次线性递推数列，与递归方程组②相应的代数方程③ 12 12(0)kkk kkxxx L称为k阶齐次线性递归数列{an}的特征方程 例如，公比为q的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为an+1 =q an（n∈N，a1≠0，q≠0） 等 差数列是二阶线性递归数列，递归方程为an+2=2 an+1―an（n∈N） 著名的裴波那契（Fibonacci）数列也 是二阶线性递归数列，递归方程为an+2= an+1+an (n≥1)，初始条件为a1= a2=1 但在竞赛问题中，我们不必过多理会上述严格的定义,而只需要对二阶、三阶的递推数列问题掌握一 些常见技巧就可以了. 竞赛中的递归数列一般有以下类型： 一、一阶递归数列一、一阶递归数列 1．常系数的一阶递归数列一般形式为：，其特例为：  为常数）aaapqpaann ()0(11高一·联赛班·春季第 2 讲·教师版2(1) ，这是等比数列。

1(0)nnapap(2 ) 1(0)nnapaqp当p=1 时数列为等差数列； 当p≠1，p≠0，q=0 时数列为等比数列 (可以看到，我们以前所学的等差等比数列只是递推数列 的最简单情况) 2．变系数的一阶递归数列一般形式为：，其特例为：  为常数）aaanpnqanpann ()0)(()()(11(1) 1( )(0)nnapaq np当时，称为等差型数列；进一步，当时即为等差数列1p 1( )nnaaq n( )q nd(2) 1( )( ( )0)nnap n aqp n当时，称为等比型数列；进一步，若（非零常数） ，即为等比数列0q 1( )nnap n a( )p nd二、二、二二阶递归数列阶递归数列 二阶齐次线性递推数列的递推关系可表示为：21(1)nnnapaqa这里都是常数，且.一般地，我们称（1）式所对应的一元二次方程为特征, p q,0p q 2rprq方程，并记其两解为，那么：, （1）当两解互异时，可设，其中 A,B 为待定系数，可由初值确定；nn naAB（2）当两解相同时，可设，其中 A,B 为待定系数，可由初值确定；()n naAnB对于 3 阶乃至一般的 n 阶的情形，由于联赛中一般不涉及，此处不再赘述，有兴趣的同学请自行查 看相关资料；对于特征方程的来由，由于篇幅关系也直接给出结论.三、其它递推数列三、其它递推数列对于非线性或非齐次递推数列，常用的思考方法是将非线性转化为线性关系，非齐次转化为齐次， 也可以先用不完全归纳法探求猜测通项公式或求和公式，再用数学归纳法进行证明。

当然还有一些其它 的方法,如换元法，不动点法，幂函数方法等.其中幂函数方法高中阶段原则上不涉及；下面我们再给出 不动点法的几个结论：定义定义 3 3 方程的根称为的不动点 )f xx( )f x定理定理 1 1 若，p 是 f 的不动点，满足递推关系 (n≥1)，则( ),0,1f uaub a{}nu1()nnuf u，即是公比为的等比数列事实上这就是一 1（2)所列出之数列）1()nnupa up{}nupa高一 ·联赛班·春季第 2 讲·教师版3定理定理 2 2 设，{un}满足递推关系 (n≥1)，初始条件( )(0,0)aubf ucadbccud1()nnuf u11()xf x①若f有两个相异不动点p，q，则 . 其中 11nnnnupupkuquqapckaqc②若f只有唯一不动点p，则，这里111nnkupup2ckad上面两个结论证明较易，此处略去.事实上，以上给出的几乎所有的结论都不要刻意地记忆，而是通过一 定量的相关问题的训练，达到“得其神而忘其形”的效果.近年来，上述本属于竞赛内容的数列知识逐渐普及到高中常规教学内容中，并常在高考中以压轴题 形式出现.因此本讲假定各位学生对这些基础知识已有一定程度的理解，本讲除前几道问题较为基础以外 后面都需要一些变形的技巧.教师版特别备注教师版特别备注：部分班次可能层次较高，前几道基础性问题可选择讲述.例题精讲 【例 1】 求解下列各数列的通项：（1）11211,21nnaaan （2）11121,2(...),1,2,3...nnanaaaan【解析】(1) ,11211,21nnaaan111112 111111111()()2(1)1222nnnnkk kkkaaaakkk 11111111111(1...)2232435211nnnn25 (1)4252 4 (1)4 (1)n nnnn n nn n（2）1121212(...)2(...)2(1)2(1)nnnnnnnnaaaaaaaanaana11(1)2 3(1)(2) ...(1)...1 21n nnnanaaafff nnnn 注注 本题实际上给出了类似型与型数列求通项的一般方法1( )nnaaf n1( )nnaf n a【例 2】 求解下列各数列的通项： （1）；432nnSan（2）2 112,23nnaSann【解析】（1）原式中取 n=1 得到，11 3a ，111(432)(43(1)2)443nnnnnnnaSSananaa高一·联赛班·春季第 2 讲·教师版4，取，并令，1413nnaa134113q p3nnnbaa则为首项为，公比为等比数列，{ }nb8 34 3故1184844( )33( )32 ( )33333nnn nnnbaa   （2）22 111(23)[(1)2(1)3]23nnnnnnnaSSannannaan，取，则，1 11123223222nn nnnnnaanaan  2n nnab 1123 2nnnnbb以下可完全按照例 1（1）连消法来解：，则，将两式相减最后得到1111 123 2nnk kkbbbT 12 123 22nk kTk 11211213211 ()222222nnnnnnnTbbT 注注 本题实际上给出了类似型与型数列求通项的一般方法1nnapaq1( )nnapaq n【例 3】 求满足下列条件数列的通项：；12211,2,56nnnaaaaa【解析】这是典型的 2 阶齐次线性递归数列，可直接利用特征方程法求解：原递归关系式对应的特征方程为，其根为 2,3.256rr设通项为，并由23nn naAB1221011,2,562nnnaaaaaa从而1211 22 2310n nABAABBa   注注 本题利用先猜后归纳证明的方法可方便地猜出通项.【例 4】 求解下列各数列的通项：（1）；1 1 140,(2)2n n naaana（2）21 12 ,2n naaa aaa【解析】本例两道题目都符合不动点方法的形式，故以下用不动点方法求解： （1）易求得不动点为； 此处给出不用套公式的普通方法：1,4设，代入原式并整理得（也可直接代入公式44 11nn nn nnabbaab13 2nnbb ）apckaqc从而1143204 ()42214()3nn nn nnbbab    （2）设1111nnnnn nnnabbbbaaaaaaabn注注 (1)中找到不动点之后也可设，亦可化简，可能运算量还要小一些.1 4n nba高一 ·联赛班·春季第 2 讲·教师版5【例 5】 已知 a1＝1，，求 an，nnaa41 (1611) 1)(241nan【解析】为了使递推关系不含根号，我们自然令，即代入原递推关系得nnab241),1(2412nnba，即]) 1(24141 [161) 1(24122 1nnnbbb.)3()2(22 1nnbb因 bn＞0，故有，即令(即 x＝3)，两式相减得321nnbb23 211nnbb23 21xx，即．)(211xbxbnn)3(2131nnbb可见 bn－3 是首项为 b1－3＝，公比为的等比数列，所以23532411a21. 32,)21(2321n nn nbb于是) 1(2412nnba).)(23/() 1232(] 1)32[(2411211222 Nnnnnn注注 本题为 1986 年联邦德国数学奥林匹克题，将难以消去的部分整体换元是一种重要方法【例 6】 设正整数列 a0，a1，a2，…满足 a0＝a1＝1 且，求该), 3 , 2(21212Lnaaaaannnnn 数列的通项公式． 【解析】原递推关系两边除以可得21nnaa).2(21211naa aannnn令，则 b1＝1，且 bn－1＝2bn－1(n≥2)，即 bn＋1＝2(bn－1＋1)，1nn naab故 bn＋1 是以 b1＋1＝2 为首项，q＝2 为公比的等比数列，所以 , 12,22211 1 n nnn nbb即 ，221) 12( n nnnbaa所以 .) 12() 12() 12(121212 00121LLnnnnn naaa aanaaa注注 本题为 1993 年全国高中联赛题【。