正交设计及其资料的统计分析.pdf

正交设计及其资料的统计分析正交设计及其资料的统计分析1. 正交设计的概念和正交表的初步认识正交设计是利用一系列规格化的正交表来安排多因素试验的一种十分有效的设计方法正交表是已经制作好的规格化的表, 是进行正交设计的基本工具 正交表可分为同水平的和混合水平的２大类,常用的同水平正交表有2n 型:L4(23)、L8(27) 、L16(215)、⋯; 有 3n 型:L9(34)、L27(313)、⋯; 有 4n型:L16(45)、⋯; 有 5n 型:L25(56)、⋯ 常用的混合水平的正交表有:L8(41 × 24) 、L18(37× 21) 、L50(511 ×21) 等Ln(Km)中的 L━正交表 , n ━正交表的行数 ,K━各列的水平数 , m ━列数正交表一般分成表头(列号)喉身(水平的标志 )进行正交设计 ,实际上就是把试验因素及其交互作用合理地安排到正交表的表头中去现以 L8(27) 及其交互作用表为例 ,获得对正交表的初步认识与 对应的 2 列间的交互作用表━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━试验 列号1234567列列号号设计ABA×B C A×C B×C D号1234567 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━111111111(1)325476 211122222(2)16745 312211223(3)7654 412222114(4)123 521212125(5)32 621221216(6)1 722112217(7) 82212112━━━━━━━━━━━━━━━━━━━∪ └──┘└──────┘注:在左表中 ,又把 1 组称为 1 群,把 1、2 组结组123合起来称为 2 群,把 1～3 组结合起来称为 3 群; ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━显然,不同组中水平改变的频率是不同的。

从左表身可看出 :数字 1 与 2 在各列中出现的次数相同(均为 4 次), 任何２列不同数对 (如:1 ━1;1 ━2;2 ━1;2━2) 出现的次数也相同 (均为 2 次); 正交表的各列所具有的这一性质, 称为正交性 ,使得用正交表挑选出来的试验点具有在空间中均匀分散、在分析时整齐可比的特点所谓正交设计 ,就是先根据需要考察的因素数、水平数及其交互作用的个数(以专业知识为依据 ), 选择合适的正交表;然后,结合该表的交互作用表 , 把单个因素及其交互作用分别安排在表头的各列号之下,称这一过程为表头设计如将 2 水平因素 A,B,C,D及其交互作用 A×B,A×C,B×C 安排在 L8(27) 的表头上交互作用表的查法 :第 i 列与第 j 列的交互作用在哪一列呢?从左边找到列号 i,从上边找到列号j, 这２列的交叉处的数字就是交互作用所在的列号因正交表中各列的自由度等于水平数减1, 而 2 个都具有 m 水平的因素的交互作用的自由度为 (m-1) × (m-1),故正交表中 2 个因素的交互作用所占的列数为水平数减1 列另外, 在左表中, 第 1～第 7 列的列名分别叫 a,b,ab,c,ac,bc,abc。

当需考虑 3 因素交互作用 B×C×D( 以下简写成 BCD)时,其所在的列名应该是 :b · c· abc=a·b2· c2=a·b0· c0=a, 即第 1 列同理 , ACD 、ABD 分别出现在第 2 和第4 列上,CD 、BD、AD 分别出现在第 3、5、6 列上由此可看出 , 4 个主效应 (A,B,C,D)全部是与 3 因素交互作用相处在一起的 ;6 对 2 因素交互作用每2 个相处在一起 这种在 1 个列中 ,安排 2 个要因 (即重要因素 )的现象,称为“ 相互有别名 (aliases)关系” 或“ 互相混杂 ” 此时, 当各列中仅有 1 个要因(指单个因素及交互作用 )占有主导地位时 ,忽略掉作用小的一方 ,才能对主要要因的效应作出较准确地估计对于上面左表的设计 ,把有这种别名关系的 2 个要因相乘 , 则不管哪一列均为ABCD 把这 4 个因素交互作用 ABCD 称为定义这种 “1/2实施( 即4 个 2 水平因素的全面试验本应进行16 次,现在只做 8 次) ” 的要因效应 ,简称为定义对比一旦知道了某种设计的定义对比 ,寻找和自身有别名关系的要因就容易了,即用自身的列名乘以定义对比,如: 对于因素 B 而言,B· (ABCD)=AB2CD≡ACD, 即 B 与 ACD 之间相互有别名关系 ; 对于 AB 而言,AB· (ABCD)=A2B2CD≡CD, 即 AB 与 CD 之间相互有别名关系。

2. 常用的正交表和表头设计: 主效应不与交互作用混杂的表头设计━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━因素数 实施 列号 1234567 定义对比试验号 列号 1234 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━31ABACAB－11111 BCC21222 31333 ──────────────────────42123 41/2ABACABD1=ABCD52231 BCC62312 ‖‖ ‖73132 CBA83213 DDD93321 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:实施━实际试验次数 /全面试验次数注:任意 2 列间交互作用出现于另2 列━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━试验号列号: 123456789101112131415 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━1111111111111111 2111111122222222 3111222211112222 4111222222221111 5122112211221122 6122112222112211 7122221111222211 8122221122111122 9212121212121212 10212121221212121 11212212112122121 12212212121211212 13221122112211221 14221122121122112 15221211212212112 16221211221121221 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━: 主效应不与交互作用混杂的表头设计━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━因素数 实施 列号:123456789101112131415 │定义对比列名:ab abc ac bc abc d adbd abdcd acd bcd abcd｜━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━41AB ABC AC BCD ADBDCD｜－51/2DECEBEAEE ｜ 1=ABCDE ────────────────────────────────AB ABC AC BCD ADBDCD｜DEBEAEECE ｜ 1=ABDE 61/4DF EFCFAFFBF ｜ 1=ACDF 71/8FGEG DGCGBGGAG ｜ 1=BCDG 81/16CHBH AHHGHFHEHDH ｜ 1=ABCH ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:5 个因素所在行里所列的项是在4 个因素设计的基础上需要添加的项;同理,可理解后 3 行。

如最后 1 行的第 3 列,包含 AB,DE,FG,CH四对交互作用 ,仅当其中之一起决定作用时,对它的估计才是有意义的及主效应不与交互作用混杂的表头设计━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━试验号列号: 12345678910111213 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━1111111111111121111222222222 311113333333334122211122233351222222333111 612223331112227133311133322281333222111333 91333333222111102123123123123 112123231231231 122123312312312 132231123231312142231231312123152231312123231162312122312231172312233123312182312311231123 193132132132132203132213213213 213132321321321 223213132213321 233213213321132243213321132213253321132321213 263321213132321273321321213132━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━因素数列名: ababa2bcaca2cbcabca2bc b2c ab2c a2b2c ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━3ABABA2BCACA2CBCB2C 4C2DB2DA2DDADBDC2D2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:当因素数为 4 时,定义对比为 1=ABCD2 。

任何 2 个主效应的交互作用出现在某2 列上,如:第 1 列上的 A与第 2 列上的 B 的交互作用出现在第3、4 两列上 ,用 AB 和 A2B 表示3. 应用举例完成了表头设计之后 ,应该将放有主效应的列的代码水平转换成因素的真实水平,然后按表中各试验号所对应的试验条件做试验 ,将试验数据写在各行的最后,用方差分析处理数据[例 2.3.14]用固化法制静脉注射用的蛋白微球试验,根据药剂学的理论 ,若蛋白微球的颗粒大于12μm时,静脉注射后即属于机械截流,故本试验以微球直径大于12μm 的比例作为质控标准 (即观测指标 ), 希望尽量减少12μm的微球比例制作过程中主要涉及下列6 个因素 ,各取 2 个水平 : 因素1 水平2 水平因素1 水平2 水平A(蛋白浓度 )8%12%D( 乳化剂量 (ml))1.00.5 B(固化油相 (ml))4060E(搅拌速度 )快档慢档C( 固化温度 (℃))130150F(固化时间 (分))3060 可以不考虑交互作用 ,将 A～F6 个因素依次安排在L16(215)正交表的 1、2、4、8、11 、13 列上(这样安排的目的是尽量避免主效应与可能的交互作用混杂在一起), 16次试验数据依次为:0.3,4.2,3.0,12.1,13.1,8.1,10.5,11.4,12.3,17.0,17.9,5.8,8.4,26.2,13.8,20.0。

试分析此资料 ,并给出最优的试验条件[分析与解答 ]H0: 任何 1 个因素的 2 个水平所对应的总体均数相等, H1: 任何 1 个因素的 2 个水平所对应的总体均数不等或不全相等, α=0.05 方差分析的总模型是非常显著的,因 F=11.56,P=0.0009;除 C、D２因素外 , 其他因素均非常显著A～F 各水平下的均数分别为:A(7.8,15.2);B(9.1,13.9);C(11.2,11.8);D(9.9,13.1);E(8.5,14.5);F(14.0,9.0)因观测指标是大于12μm 的颗粒所占的比例 ,观测值越小越好 ,A,B,C,D,E均取 1 水平,F 取 2 水平效果最好若将[ANOVAW15.PRG]过程步的 MOEDL 语句中 C 删除,再运行该程序 , 等价于将 C 合并到误差中。