研究生数值分析(10).ppt

如果求解线性方程组如果求解线性方程组§4 迭代法迭代法（其中（其中 ）） （（1））（（2））建立迭代公式建立迭代公式（（3））可参照迭代法求非线性方程近似根的方法可参照迭代法求非线性方程近似根的方法,先将先将(1)转化为等价方程组转化为等价方程组1 迭代法的一般形式及其收敛性迭代法的一般形式及其收敛性然后对某个初始向量然后对某个初始向量按迭代公式（按迭代公式（3））得到一个向量序列得到一个向量序列 其中其中如果如果 ,即即 成立，成立，则由则由(3)有有 即即 为为(2)的解，也为的解，也为(1)的解 这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代方法矩阵基本的迭代方法矩阵B称为迭代矩阵称为迭代矩阵 如果迭代序列如果迭代序列 收敛，则称迭代法收敛，收敛，则称迭代法收敛，否则称迭代法发散。

否则称迭代法发散关于迭代公式关于迭代公式(3),有如下结论有如下结论定理定理1 (充分条件判别法充分条件判别法)如果如果 ，则，则1. 方程组方程组 有唯一解有唯一解 ；；给定方程组给定方程组收敛于收敛于 ，且有，且有 3.4.定理中条件定理中条件 较强2. 对任意初始向量对任意初始向量 ，迭代公式，迭代公式证明证明 1. 因为因为 , 根据根据p11定理定理1.5 , 可知可知矩阵矩阵 I-B 非奇异非奇异 , 其中其中 I 是单位矩阵是单位矩阵故方程组故方程组的解的解 存在且唯一存在且唯一. 2. 由迭代公式由迭代公式减去减去得得由此得由此得因为因为, 所以由上式得所以由上式得于是有于是有3. 设设 m>k , 则有则有4. 设设 m>k , 则有则有令令 m→∞,∞,由于由于, 故由上式得故由上式得令令 m→∞,∞,由于由于, 故由上式得故由上式得下面我们给出迭代法收敛的基本定理下面我们给出迭代法收敛的基本定理.定理定理2(充要条件判别法充要条件判别法)给定方程组给定方程组 X=BX+f则迭代公式则迭代公式对任意初始向量对任意初始向量 ，都收敛的充要条件为，都收敛的充要条件为（其中（其中 ，，为为B的矩阵范数的矩阵范数 中最小）中最小）例例7 用迭代法解线性方程组用迭代法解线性方程组解：将原方程组写成如下等价方程组解：将原方程组写成如下等价方程组得迭代公式得迭代公式它的迭代矩阵为它的迭代矩阵为 显然显然 迭代公式收敛。

迭代公式收敛取迭代初始向量取迭代初始向量 得迭代序列得迭代序列012…910…01.6667 0.8333 …1.00050.9998…02.51.6667 …2.00041.9997…若交换原方程中两方程的次序，若交换原方程中两方程的次序，得迭代公式得迭代公式它的迭代矩阵为它的迭代矩阵为 显然，趋向于方程组的准确解显然，趋向于方程组的准确解取取 作为方程组得近似解，作为方程组得近似解，再写成如下等价方程组：再写成如下等价方程组：事实上，仍取事实上，仍取由迭代公式由迭代公式计算结果为：计算结果为：012345…05-525-35145…05-1020-70110…因为因为 迭代公式发散迭代公式发散 由这个例题可以看出，性方程组改写由这个例题可以看出，性方程组改写成同解方程组时，使成同解方程组时，使是应用迭代法解线性方程组的关键是应用迭代法解线性方程组的关键 以下我们假设方程组以下我们假设方程组 AX=b 的系数矩阵的系数矩阵 A 的的主对角元主对角元介绍两种常用的迭代法。

介绍两种常用的迭代法。