相似三角形讲义.doc

相似三角形相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似用符号“∽”来表示，读作“相似于” 相似 三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似用数学语言表述如下： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’ 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 ③判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可 简述为两角对应相等，两三角形相似 ④判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个 三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似， 可简述为三边对应成比例，两三角形相似 （2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方1 典型例典型例题题 1 1、、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求 AD的长．分析：分析：由已知AC=6，DB=5，选用来解决，考虑△ACD∽△ABC．ABADAC2ABCDE解解：在△ACD和△ABC中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC．∴．∴．ACAD ABACABADAC2设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，∴． )5(62xx03652 xx解得：x=4（舍去负值） ∴AD=4．针对练习：针对练习： 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，底边上的高 AD=10cm，腰 AC 上的高 BE=12cm．（1）求证：；35BDAB2 典型例题典型例题 2 2 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于 D． 求证： BC2＝2CD·AC．思考：思考：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2” ，无法直接找到它们所在BCAC CDBC2 的相似三角形，该怎么办？证明证明（构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DE＝DC， ∵BD⊥AC 于 D， ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC， 又∵ AB＝AC， ∴∠C=∠ABC． ∴ △BCE∽△ACB．∴， ∴BCAC CEBCBCAC CDBC2 ∴BC2＝2CD·AC．典型例题典型例题．如图，为的角平分线，垂直于的延长线于，于，ADABCBEADEADCF F ，的延长线交于点，BFECP 求证：APCF // 证明证明，，QADCF ADBE  ，.90CFABEABECF //PECP BECFABCDABCDE又，QCAFBAE∽ABEACF，AFAE CFBE即.AEAF BECFAEAF PECPAPCF //针对练习：针对练习：如图，梯形中，，为的中点，分别连结，，，ABCDCDAB//MABACBDMD，且与交于，与交于，求证：MCACMDEDBMCFCDEF //典型例题典型例题 例：两相似三角形的对应边的比为 4：5，周长和为 360cm，这两个三角形的周长分别是多少？解： 因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是 4 比 5，则周长比也是 4 比5 设小三角形周长为 A，大三角形周长为 B A：B=4：5 A=360÷（4+5）×4=160 cm B=360÷（4+5）×5=200 cm 所以这两个三角形的周长分别是 160 cm 和 200 cm针对练习：针对练习：如图，D、E 分别是 AC，AB 上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE于点 F.若 AD＝3，AB＝5，求：（1） ；AG AF（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；典型例典型例题题 1 1．如图，已知：在与中，，交于，且，ABCCADBCDA//CDABE2:1:EBAE交于，。

求和BCEF //ACF1ADESBCESAEFSABCDE FG解答解答：，∽QBCDA//ADEBCE22::BEAESSBCEADE又，Q2:1:BEAE4:1:BCEADESS，Q1ADES4BCES，∽QBCEF //AEFABCABAEBCEF:: ，Q2:1:EBAE3:1::ABAEBCEF 又∽，，QADEBCE2:1:BCADADBC23:2:ADEF ，与等高QEFAD//ADEAEF3:2::ADEFSSADEAEF32AEFS针对练习针对练习．如图，已知，在梯形中，对角线、相交于点，若的面积为，ABCDACBDOCOD2a的面积为，其中，. AOB2b0a0b求：梯形的面积ABCDS典型例典型例题题 2 2．已知等腰直角三角形的面积为，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比2cm36为 5：2，求矩形的面积 解：解：如图，中，，，内接矩形ABC90AACAB DEFG 由等腰直角三角形和矩形的性质，得FCGFDEBE ，Q2:5:DEEF 2:5:2::FCEFBE设为，则ABx36212xSABC由勾股定理得222xBC 1442BC12BC381292 92BCDE3201295 95BCEF矩形面积DEFG)cm(9717320 382针对练习针对练习 1 1：：如图所示直角中，两直角边长分别为 3 和 4，它的内接正方形有两种情况：①ABC一边在斜边上；②一边在直角边上。

试比较这两种情况中正方形的大小针对练习针对练习 2 2：：是的高，是的中点，交于，若，，ADABCEBCBCEF ACF15BD27DC，求45ACAF 课堂练习：1.若△ABC∽△DEF,△ABC 的面积为 81cm2,△DEF 的面积为 36cm2,且 AB=12cm,则DE= cm2.等腰三角形 ABC 和 DEF 相似，其相似比为 3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）[来源:学#科#网][来源:学科网]A、3：4 B、4：3 C、1：2 D、2：13.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后 在地面上形成（圆形）的示意图 . 已知桌面直径为 1.2 米，桌面离地面 1 米. 若灯泡离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为 （ -）A.、0.36米2 B、0.81米2 C、2米2 D、3.24米24.如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点 D、E、F，得△DEF.若△ABC 的边长为 a.（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 5.如图，在 ΔABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x.（1）当 x 为何值时，ABCQMDNPEPQ∥BC？（2）当，求的值；31ABCBCQ SSABCBPQ SS课后作业：1.在△ABC 中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC 交 CE 的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值.2. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm， 高 AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？我的大学爱情观我的大学爱情观目录：目录：1 1、、大学概念大学概念2 2、、分析爱情健康观分析爱情健康观3 3、、爱情观要三思爱情观要三思4 4、、大学需要对爱情要认识和理解大学需要对爱情要认识和理解5 5、、总结总结1 1、什么是大学爱情：、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。

大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观2 2、什么是健康的爱情：、什么是健康的爱情：1、尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2、理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3、是彼此独立的前提下结合；3 3、什么是不健康的爱情：、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4 4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1、不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。

2、有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情1）有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步5 5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1）明明确确学学生生的的主主要要任任务务“放弃时间的人，时间也会放弃他大学时代是吸纳知识、增长才干的时期作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习— —学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地。