大学数学函数的连续性课件.ppt

◆◆函数的连续性函数的连续性(continuity)(continuity) 气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是着，反映在函数关系上是函数的连续性函数的连续性 当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性连续性 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线自变量的增量自变量的增量函数的增量函数的增量◆◆增量的概念增量的概念 定义定义1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，在区间在区间(a , b)上每一点都连续的函数上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续叫做在该区间上的连续函数函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续若在该区间左右端点处连续,称函数是闭区间上的连续函数称函数是闭区间上的连续函数。

xyo如果函数如果函数y=f(x)在在x0点连续点连续, 则必须则必须同时同时满足下列三个条件：满足下列三个条件：(1) f(x)在在x0的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义(2) 极限值极限值 存在存在(3) 极限值与函数值极限值与函数值 相等相等定义定义2 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量量的增量Δx=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量趋于零时，对应的函数的增量Δy=f(x0+Δx) - f(x0) 也趋于零，也趋于零，即即那末就称函数那末就称函数 y=f(x)在点在点x0连续连续.◆◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线. .函数在一点处连续的本质特征：函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时，当自变量改变很微小时，函数值变化也很微小函数值变化也很微小◆◆连续性举例连续性举例1. 讨论绝对值函数在讨论绝对值函数在x=0处的连续性处的连续性.解解 因为因为所以所以所以绝对值函数在所以绝对值函数在 x=0 处连续处连续2.作为例子我们来证明函数作为例子我们来证明函数y=sinx在区间在区间 内是连续的内是连续的由由三角公式有三角公式有 一般地一般地, 证明一个函数在某个区间内连续时证明一个函数在某个区间内连续时, 宜使用等价定宜使用等价定义式义式 ; 若要证明函数在某点处连续若要证明函数在某点处连续, 则宜使用原定则宜使用原定义式义式 .3. 设有函数设有函数, 问问 为何值时为何值时, 函数函数在在 点连续点连续?解解 因为因为要使函数在要使函数在 点连续点连续,则应有则应有所以所以◆◆函数的间断点函数的间断点 discontinuitydiscontinuityx xy yo o1 12 23 34 41 12 2Discontinuity at Discontinuity at x x =1 and =1 and x x =2 =2若函数若函数 有下列有下列三种情形之一三种情形之一：：则称函数则称函数 在点在点 处不连续，点处不连续，点 称为函数称为函数 的的间断点间断点。

不连续点不连续点即为间断点即为间断点 可去间断点可去间断点(1)(1)————第一类第一类点点 x =1 是函数是函数 f (x) 的的可去间断点可去间断点xyo11/21◆◆函数的函数的间断点的类型间断点的类型 可去间断点可去间断点(2)(2)————第一类第一类◆◆函数的函数的间断点的类型间断点的类型例如例如但但 不存在不存在点点 称为函数的称为函数的可去间断点可去间断点1 跳跃间断点跳跃间断点————第一类第一类yxo点点 x =0是函数是函数 f (x) 的的跳跃间断点跳跃间断点◆◆函数的函数的间断点的类型间断点的类型◆◆函数的函数的间断点的类型间断点的类型 无穷间断点无穷间断点————第二类第二类 振荡间断点振荡间断点————第二类第二类 点点 x =0是函数是函数 f (x) 的的振荡间断点振荡间断点◆◆函数的函数的间断点的类型间断点的类型1-1解解 这是一个初等函数，其定义域为这是一个初等函数，其定义域为找出函数找出函数 的间断点，并判别其类型。

的间断点，并判别其类型而而 所以，所以，x =1是函数的是函数的第一类第一类的的可去间断点可去间断点；；x =2是函数是函数的的第二类第二类的的无穷间断点无穷间断点不存在不存在而而设设 求函数的间断点，并判别其类型求函数的间断点，并判别其类型解解由由 的定义可知，函数在的定义可知，函数在 内连续内连续而而所以，所以，x=1是函数的第二类间断点是函数的第二类间断点(无穷间断点无穷间断点)，， x=0是函数的第一类间断点是函数的第一类间断点(跳跃间断点跳跃间断点)求求 的值，使函数在点的值，使函数在点 处连续解解 由连续性的定义可知，要使函数在由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有点连续，则应有而而 连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即极限号数值，即极限号 lim 与函数号与函数号 f 可以交换次序可以交换次序连续函数求极限法则例如例如, ,一、一、 连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性例例反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理1 1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。

即单调连续函数的反函数仍是单调连续函数即例例定理定理2 2 连续函数的复合函数仍是连续函数即连续函数的复合函数仍是连续函数即三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. .★★★★★★( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )★★基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法. .例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 求求解解如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,在右端点在右端点b左连续左连续,在左端点在左端点a右连续右连续,那么函数那么函数f(x)就是在闭区间就是在闭区间[a,b]上连续的上连续的定义定义◆◆闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质 最值定理（最值定理（The max-min theoremThe max-min theorem））abxyo在区间内部取得最大值和最小值在区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值在区间端点取得最大值在在闭区间闭区间 [a,b] 上上连续的函数连续的函数, 一定能取得它的最大值和最小值。

一定能取得它的最大值和最小值说明：可在说明：可在区间内部区间内部取得最值，也可在取得最值，也可在区间端点区间端点取得最值取得最值注意注意: :1.1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定成立定理不一定成立. . 介值定理介值定理 The intermediate value theoremThe intermediate value theorem设函数函数在在闭区区间[ [a,b] ]上上连续，且在，且在这区区间的端点取不同的的端点取不同的,为介于介于与与之之间的任意的任意,则在开区间则在开区间(a,b)，， 函数值函数值一个数，即一个数，即内至少有一点，使得内至少有一点，使得 根的存在定理根的存在定理 设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 [ a, b ] 上连续上连续, 且且 f (a) 与与 f (b) 异异号号, 那末，那末， 在在开区间开区间 （（ a, b））内内至少存在一点至少存在一点ξ，，使得使得 o几何解释几何解释: :证证由由零点定理零点定理,由由零点定理零点定理可知，原方程在可知，原方程在[-1，，5]内必有根。

内必有根解解又又练习练习。