函数的连续性和间断性的条件.pptx

数智创新变革未来函数的连续性和间断性的条件1.连续函数的-定义1.函数在点处的连续性判别1.函数在区间上的连续性1.间断点的分类1.可去间断点与跳跃间断点1.无穷间断点与本质间断点1.间断点的存在性定理1.函数连续性判定定理Contents Page目录页 连续函数的-定义函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件连续函数的-定义-连续定义1.-定义的本质：给定一个函数f(x)和一个点x，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当x与x的距离小于时，|f(x)-f(x)|小于，则函数f(x)在点x处连续2.-定义的严谨性：该定义提供了一种严格的数学方法来定义函数的连续性，它不依赖于直观概念或图形表示3.-定义的适用性：该定义适用于所有实值函数，并提供了一种统一的方法来检查在不同点上的连续性间断定义1.跳跃间断：如果函数在一点存在极限，但在该点处函数值不等于极限值，则该点称为函数的跳跃间断点2.可去间断：如果函数在一点不存在极限，但通过去除该点，函数在该点的某个领域内连续，则该点称为函数的可去间断点3.无穷间断：如果函数在一点的极限为无穷大或无穷小，则该点称为函数的无穷间断点。

函数在点处的连续性判别函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件函数在点处的连续性判别函数在点处的连续性判别1.定义：在点x0处连续意味着当x趋于x0时，函数值f(x)也趋于f(x0)2.-定义：对于任意给定的正数，都存在一个正数，使得当|x-x0|时，都有|f(x)-f(x0)|x0f(x)且limx-x0f(x)=f(x0)从左/右边连续1.定义：在点x0处从左连续意味着当x趋于x0-时，函数值f(x)也趋于f(x0)2.-定义：对于任意给定的正数，都存在一个正数，使得当xx0且|x-x0|时，都有|f(x)-f(x0)|x0-f(x)且limx-x0-f(x)=f(x0)函数在点处的连续性判别1.定义：在区间I上连续意味着I内的每个点处都连续2.关键条件：若函数f(x)在区间I上连续，则满足以下条件：*f(x)在I上有定义f(x)在I内每个点处都连续3.闭区间上的连续性：如果f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b内有界且取得最大值和最小值函数在无穷处是否连续1.定义：在无穷处连续意味着当x趋于无穷大或无穷小时，函数值f(x)也趋于某一个确定的有限值2.水平渐近线：当x趋于某个特定的值（有限或无限）时，f(x)趋于某一个有限值L，则称直线y=L是f(x)的水平渐近线。

3.无穷大的渐近线：当x趋于某个特定的值（有限或无限）时，f(x)趋于无穷大，则称直线x=c或y=c是f(x)的无穷大的渐近线函数在区间上的连续性判别函数在点处的连续性判别间断点的类型1.可去间断点：如果存在一个有限值L，使得limx-x0f(x)=L且f(x0)L，则称点x0为可去间断点2.跳跃间断点：如果f(x0+)f(x0-)，则称点x0为跳跃间断点函数在区间上的连续性函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性1.函数值存在：函数在区间内的每个点都有确定的函数值2.极限存在：函数在区间上各点的左右极限都存在，并且相等3.极限等于函数值：函数在区间内的每个点的左右极限都等于函数值函数在区间上的左连续性1.函数值存在：函数在区间内每个点的左邻域都存在函数值2.左极限存在：函数在区间上各点的左极限都存在3.左极限等于函数值：函数在区间内的每个点的左极限都等于函数值函数在区间上的连续性1.函数值存在：函数在区间内每个点的右邻域都存在函数值2.右极限存在：函数在区间上各点的右极限都存在3.右极限等于函数值：函数在区间内的每个点的右极限都等于函数值。

可去间断点1.函数极限存在：函数在可去间断点处极限存在2.函数值不存在：函数在可去间断点处没有确定的函数值3.修改函数值可使之连续：通过修改可去间断点处的函数值，可以使函数在该点连续函数在区间上的右连续性函数在区间上的连续性跳跃间断点1.函数左右极限存在：函数在跳跃间断点处左右极限都存在2.左右极限不等：函数在跳跃间断点处左右极限不相等3.函数值介于左右极限：函数在跳跃间断点处的函数值介于左右极限之间无穷间断点1.极限为无穷：函数在无穷间断点处极限为无穷大或无穷小2.函数值不存在：函数在无穷间断点处没有确定的函数值间断点的分类函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件间断点的分类一阶可去间断点*定义：函数在一点处存在左极限和右极限，但左极限不等于右极限，且存在有限非零值原因：函数在该点处存在跳跃不连续或无穷大间断二阶可去间断点*定义：函数在一点处存在左极限和右极限，但左极限不等于右极限，且其中一个极限为无穷大原因：函数在该点处存在本质无穷大间断间断点的分类跳跃间断点*定义：函数在一点处的左极限和右极限存在，但不等，且其中一个极限为有限非零值原因：函数在该点处发生跳跃，即函数值的突然变化。

本质无穷大间断点*定义：函数在一点处的左极限或右极限为无穷大，或两者的极限都为无穷大原因：函数在该点处出现无穷大不连续间断点的分类可去间断点*定义：函数在一点处不存在极限，但可以改变函数在该点处的定义使其连续原因：函数在该点处存在可移动间断，通过重新定义函数值可以消除间断孤立间断点*定义：函数在一点处不存在极限，且该点周围存在一个开区间，函数在这个区间上连续可去间断点与跳跃间断点函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件可去间断点与跳跃间断点可去间断点1.可去间断点的定义：在这一点上函数值不存在，但通过重新定义函数值可以使它连续2.可去间断点的两种类型：第一类可去间断点（无限间断点）、第二类可去间断点（振荡间断点）3.求可去间断点的方法：计算函数在该点的左右极限，如果左右极限不相等或不存在，则该点为可去间断点跳跃间断点1.跳跃间断点的定义：在这一点上函数左右极限均存在，但函数值在该点附近忽大忽小，跳跃变化2.跳跃间断点的特点：可以分成两个单调区间的结合点无穷间断点与本质间断点函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件无穷间断点与本质间断点无穷间断点：1.定义：当函数在某点的极限存在，但与该点处的函数值不等时，该点称为无穷间断点。

2.分类：无穷间断点可分为第一类和第二类两种第一类无穷间断点使得函数值无穷大，而第二类无穷间断点使得函数值无穷小3.性质：无穷间断点不是函数的定义域，但可以是函数的图像的渐近线本质间断点：1.定义：当函数在某点的左右极限均不存在，或左右极限存在但不相等时，该点称为本质间断点2.特征：本质间断点的函数图象存在断裂或跳动间断点的存在性定理函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件间断点的存在性定理间断点的存在性定理：1.每个非孤立点的闭区间上都有间断点2.如果函数在闭区间上连续，则该区间上的所有子区间也连续3.连续函数的闭区间一定是连通的间断点的类型：1.可去间断点：如果函数在该点存在左极限和右极限，且两者相等，但与函数值不同，则该点为可去间断点2.跳跃间断点：如果函数在该点不存在左极限或右极限，或者存在但不相等，则该点为跳跃间断点3.无穷间断点：如果函数在该点极限为正无穷或负无穷，则该点为无穷间断点间断点的存在性定理第一类间断点：1.第一种间断点是可以去间断点，也被称为可消去间断点2.当函数在某点存在左极限和右极限，但函数值与左右极限不同时，会产生可去间断点3.可去间断点可以通过重新定义函数值来消除。

第二类间断点：1.第二类间断点是无法消除的跳跃间断点2.当函数在某点不存在左右极限或左右极限不相等时，会产生跳跃间断点3.跳跃间断点代表着函数在该点存在突变间断点的存在性定理第三类间断点：1.第三类间断点是无穷间断点2.当函数在某点的极限为正无穷或负无穷时，会产生无穷间断点函数连续性判定定理函数的函数的连续连续性和性和间间断性的条件断性的条件函数连续性判定定理一、函数连续性的定义与性质1.函数连续性的定义：在定义域内的某一点处极限存在且等于该点的函数值2.连续函数的性质：加减乘除、组合运算后仍为连续函数；复合函数如果内外函数均连续，则复合函数连续二、无穷小量与无穷大量1.无穷小量：当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于02.无穷大量：当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于无穷大函数连续性判定定理三、函数间断点的分类1.第一类间断点：函数在该点处不连续，但左右极限都存在且相等2.第二类间断点：函数在该点处不连续，且左右极限至少有一个不存在3.第三类间断点：函数在该点处不连续，而且左右极限相等但都不等于该点的函数值四、函数连续性判定定理1.若函数在定义域内某点处可导，则该点处连续2.若函数在定义域内某点处不可导，则该点处可能不连续。

3.若函数在定义域内某一点处可微，则该点处连续函数连续性判定定理五、函数间断性判定定理1.若函数在定义域内某点处不可导或左右导数不相等，则该点处不连续2.若函数在定义域内某点处为分段定义的，且函数在该点左右两侧的极限不相等，则该点处不连续3.若函数在定义域内某点处有跳跃、无穷大或无穷小，则该点处不连续六、函数连续性的应用1.函数连续性在求解极限、定积分、微积分中间值定理等方面有广泛应用2.连续函数可以保证函数图像的连贯性，并可以利用中间值定理来确定函数的值域感谢聆听数智创新变革未来Thankyou。