2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题08数列含解析.docx

专题08 数列一、选择题部分1.(2021•高考全国甲卷•理T7)等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B．【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选B．2.(2021•浙江卷•T10)已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A B. C. D. 【答案】A．【解析】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选A．3.(2021•江苏盐城三模•T5)已知数列的通项公式为，则其前n项和为A． B． C． D．【答案】A．【考点】数列的求和：裂项相消法【解析】由题意可知，＝＝－，所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－，故答案选A．4.(2021•江苏盐城三模•T10)设数列{an}的前n项和为，若，则下列说法中正确的有A．存在A，B，C使得{an}是等差数列B．存在A，B，C使得{an}是等比数列C．对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列【答案】ABD．【考点】等差与等比数列的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A，取A＝0，B＝C＝1，则有an＋Sn＝n＋1，此时可得到an＝1，即{an}是等差数列，所以选项A正确；对于选项B，取A＝0，B＝0，C＝1，则有an＋Sn＝1，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝1，两式相减可得2an＝an－1，即数列{an}是等比数列，所以选项B正确；对于选项CD，取A＝C＝0，B＝2，则有an＋Sn＝2n，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)，两式相减可得an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)，即数列{an－2}是以为公比的等比数列，所以{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以选项C错误，选项D正确；综上，答案选ABD．5.(2021•河南郑州三模•理T5)已知等差数列{an}的公差不为零，且a32＝a1a7，Sn为其前n项和，则＝（　　）A． B． C． D．n（n﹣1）【答案】A．【解析】设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a32＝a1a7，∴＝a1（a1+6d），化为：a1＝2d，∴Sn＝na1+×＝a1，则＝．6.(2021•河南焦作三模•理T4)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2am＝a6an，am2＝a6a10，则m+n＝（　　）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C．【解析】∵a2am＝a6an，am2＝a6a10，公比q＞1，∴由等比数列的性质可得：m＝8，n＝4，∴m+n＝12．7.(2021•重庆名校联盟三模•T6．)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）A．8日 B．9日 C．12日 D．16日【答案】B．【解析】由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，则数列{an}与数列{bn}的前n项和为1125×2＝2250，又∵数列{an}的前n项和为×（103+13n+90）＝×（193+13n），数列{bn}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）＝×（194.5﹣n），∴×（193+13n）+×（194.5﹣n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．8.(2021•安徽蚌埠三模•文T4．)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1，S5＝25，则＝（　　）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A．【解析】因为等差数列{an}中，a1＝S1＝1，所以S5＝5+10d＝25，所以d＝2，则＝a1+d＝3．9.(2021•贵州毕节三模•文T9．)如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：①每次只能移动一块饼；②较大的饼不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为（　　）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C．【解析】假设甲盘中有n块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要an次，则a1＝1，当n≥2时，可先将较大的饼不动，将剩余的n﹣1块饼先移动到丙盘中，至少需要移动an﹣1次，再将最大的饼移动到乙盘，需要移动1次，最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动an﹣1次，由上可知，an＝2an﹣1+1，且a1＝1，所以a2＝2a1+1＝3，a3＝2a2+1＝7，a4＝2a3+1＝15，则最少需要移动的次数为15次．10.(2021•贵州毕节三模•文T5．)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支纪年法”中的（　　）A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．乙未年【答案】D．【解析】由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2020年为庚子，2019年为己亥，2018年为戊戌，2017年为丁酉，2016年为丙申，2015年为乙未．11.(2021•辽宁朝阳三模•T4．)跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（　　）A．16天 B．17天 C．18天 D．19天【答案】B．【解析】设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，∴，∴n2+31n﹣800≥0，当n＝16时，162+31×16﹣800＜0，当n＝17时，172+17×31﹣800＞0．12.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T4．)“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（　　）A．庚午年 B．辛未年 C．庚辰年 D．辛巳年【答案】D．【解析】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳．13.(2021•安徽宿州三模•理T8．)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a7＝3a4，a2与a3的等差中项为18，则S5＝（　　）A．108 B．117 C．120 D．121【答案】D．【解析】设等比数列{an}的公比为q，q＞0，由a1a7＝a42＝3a4，可得a4＝3，即有a1q3＝3，由a2与a3的等差中项为18，可得a2+a3＝36，即为a1q+a1q2＝36，解得a1＝81，q＝，则S5＝＝121．14.(2021•安徽宿州三模•文T5．)已知{an}为等差数列且a1＝1，a4+a9＝24，Sn为其前n项的和，则S12＝（　　）A．142 B．143 C．144 D．145【答案】C．【解析】解法一、等差数列{an}中，设公差为d，由a1＝1，a4+a9＝24，得（a1+3d）+（a1+8d）＝2a1+11d＝2+11d＝24，解得d＝2，所以S12＝12a1+×12×11×2＝12×1+132＝144．解法二、等差数列{an}中，a1＝1，a4+a9＝24，所以前n项的和S12＝＝6（a4+a9）＝6×24＝144．15.(2021•河南开封三模•文T7．)设数列{an}满足a1＝1，，若，则n＝（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C．【解析】根据题意，数列{an}满足a1＝1，，则数列{an}是首项a1＝1，公比为的等比数列，若，即a1（a1q）（a1q2）……（a1qn﹣1）＝（a1）n×＝＝，解可得：n＝6或﹣5（舍）．16.(2021•四川泸州三模•理T6．)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1+a4＝（　　）A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C．【解析】由题意S5＝5a3＝65，a3＝13，所以a1+a4＝a2+a3＝28．17.(2021•江苏常数三模•T12．)斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n（n＞2）段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是（　　）A．100 B．143 C．200 D．256【答案】BC．【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55＝143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89＝232，∴只需143≤a＜232，BC均符合要求．18.(2021•上海浦东新区三模•T16．)已知函数f（x）＝sinx，各项均不相等的数列{an}满足|ai|≤（i＝1，2，…n），记G（n）＝．①若an＝（﹣）n，则G（2000）＞0；②若{an}是等差数列，且a1+a2+…+an≠0，则G（n）＞0对n∈N*恒成立．关于上述两个命题，以下说法正确的是（　　）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对，②错 D．。