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1 第一章 抽象群基础第一章 抽象群基础 §1.1 群 §1.1 群 【定义【定义 1.1】】 G 是一个非空集合，是一个非空集合，G =｛…，｛…，g，…｝ ， “·，…｝ ， “· ”” 为定义在任意两个元素之间 的二元代数运算 为定义在任意两个元素之间 的二元代数运算(乘法运算乘法运算)，若，若 G 及其运算满足以下四个条件：及其运算满足以下四个条件： （（1）封闭性：）封闭性：∀f, g ∈G, f··g=h, 则则 h∈G; （（2）结合律：）结合律：∀f, g, h∈G，，（（f··g））··h＝＝f··(g··h); （（3）有单位元：）有单位元：∃e ∈ G, ∀f ∈ G, f··e＝＝e··f＝＝f; （（4）有逆元素：）有逆元素：∀f ∈G，，∃f -1 ∈G, 使使 f··f -1= f -1··f = e; 则称则称 G 为一个群，为一个群，e 为群为群 G 的单位元，的单位元，f--1为为 f 的逆元 ·系·系 1. e 是唯一的是唯一的 若若 e、、e´ ´ 皆为皆为 G 的单位元，则的单位元，则 e··e´ ´= e´，´，e··e´ ´= e，故，故 e´ ´= e。

·系·系 2. 逆元是唯一的逆元是唯一的 若存在若存在 f 的两个逆元的两个逆元 f´ ´=f“，则，则 f''f''ef''f)(f'f'')(ff'ef'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= , 即即' ' ff' = ·系·系 3 e –1 = e e –1 = e -1··e = e, 即：即：e –1 = e ·系·系 4 若群若群 G 的运算还满足交换律，的运算还满足交换律，∀f，，g∈G, 有有 f··g=g··f, 则称则称 G 为交换群，或阿贝 尔群 为交换群，或阿贝 尔群 群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽 象结构的实际对象通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质 群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽 象结构的实际对象通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质 例例 1.1 整数集整数集{z}及其上的加法及其上的加法+ 单位元为单位元为 0, 逆元逆元 z-1 = -z,构成整数加法群构成整数加法群 例例 1.2 实数集实数集 R，运算为加法：，运算为加法： 单位元单位元 e = 0, 逆元：逆元：∀a∈R，，a –1 = -a，构成加群。

构成加群 若运算为数乘，若运算为数乘，R 不构成群，不构成群，0 -1不存在 不过不包含不过不包含 0 的所有实数的所有实数 R/0，构成乘法群，单位元，构成乘法群，单位元 e =1，， 逆元：逆元：∀a∈ R/0, a-1= a 1 例例 1.3 空间反演群空间反演群{E，，I}，元素为对向量的变换，元素为对向量的变换: rr, IrrE ???? −== 运算定义为群元对向量由右到左的相继作用： 运算定义为群元对向量由右到左的相继作用： rrErEE ??? ==，， EEE = r IrrErEI ???? =−=−=)(，， IEI = rErrIrII ???? ==−=)( EI= 2 乘法表如右：乘法表如右： 例例 1.4 R3 中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操作 的相继转动 中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操作 的相继转动 群元：群元：)(α n C?, n ? 为转轴，为转轴，α为转角，乘法：为转角，乘法：)()()(βαβα+=⋅ nnn CCC ??? E II I I E E E 2 单位元：单位元：e = n C?(００) 逆元：逆元：)()( 1 αα−= − nn CC ?? 例１例１.5 平面正三角形对称群平面正三角形对称群 D3 （六阶二面体群）（六阶二面体群） o 为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二元运算 构成一个群。

为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二元运算 构成一个群 保持正三角形不变的对称操作：保持正三角形不变的对称操作： e: 不转动；不转动； d: 绕绕 Z 轴转轴转 120 度；度； f: 绕绕 Z 轴转轴转 240 度；度； a: 绕绕 y 轴转轴转 180 度；度； b: 绕绕 2 轴转轴转 180 度；度； c: 绕绕 3 轴转轴转 180 度；度； D3＝＝{e, d, f, a, b, c} 例例 1.6 置换群置换群 Sn, 又称又称 n 阶对称群阶对称群 群元：将（群元：将（1，，2…，…，n）映为自身的置换）映为自身的置换 P：： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n mmm n p . .21 21 ，， 2 1 2 1 m m → → …… 置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3124 4321 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1423 3124 单位元：单位元： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n e .21 .21 P 的逆元：的逆元： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3.21 . 211n mmm p n 个数码所有可能的置换数为个数码所有可能的置换数为 n！ ，其乘法：！ ，其乘法： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1423 3124 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2413 4321 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2341 4321 则所有置换及其乘法结构成一个群，记为则所有置换及其乘法结构成一个群，记为 Sn群。

群 可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元运算 也可以有多种类型群可以简单分类为： 可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元运算 也可以有多种类型群可以简单分类为： 有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为|G| 无限群：群元个数无限无限群：群元个数无限 ⎩ ⎨ ⎧ 不可数 可数 y x 3 2 1 O C B A 3 ◆定理◆定理 1.1◆◆ (重排定理重排定理) 设设GugG∈∀=},{ α ，有，有GGguguG=∈≡}|{ αα u 的作用只是将的作用只是将 G 元素重排元素重排 证明：证明： （一）（一）u 的作用是单射， （的作用是单射， （1 对对 1） ，） ， γ ug当当 γ g不同时给出不同时给出 G 中不同群元：中不同群元： 设设 βα gg≠，， 若若 βα ugug=， （即多对一）， （即多对一） 两边左乘两边左乘 u-1,有有 βα gg =，与假设矛盾，与假设矛盾 故故 βα ugug≠ （二）（二）u 的作用是一个满射，即的作用是一个满射，即 G 中任意群元都可写成中任意群元都可写成 ug 的形式：的形式： Gg ∈∀ α ，， )()( 11 ααα guuguug −− ==，记，记 βα ggu≡ −1 即即Gg ∈∃ β ，使，使 βα ugg=。

故故 u 的作用是双射（一一映射） ，即的作用是双射（一一映射） ，即GuG =类似有：类似有：∀u∈G, Gu=G 在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次 §1.2 子群和陪集 §1.2 子群和陪集 【定义【定义 1.2】】 设设 H 是群是群 G 的一个子集，若对于与群的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，同样的乘法运算，H 也构成一个群， 则称 也构成一个群， 则称 H 为为 G 的子群，记为的子群，记为GH = = = = ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ = = == == q p p pp q p p q p n i i p i p p i n i p q p i pAA m m gg n m ggm n p χχ χχ χχχχ ·系·系 4 可约表示的约化表示可约表示的约化表示 A 中不可约表示中不可约表示 p A出现的重复度出现的重复度 mp为：为：) ~ | ~ ( Ap p mχχ= 由 ∑ = = q r r r A m 1 ~~ χχ及及 pr rp δχχ=) ~ | ~ (易得上述结果 ◆ 定理定理 2.9◆◆ （类函数空间完备性定理）（类函数空间完备性定理） 有限群的所有不等价不可约表示的特征标生成的群函数矢量，有限群的所有不等价不可约表示的特征标生成的群函数矢量，qp p ,.,2 , 1, ~ =χ，在类 函数空间中是完备的。

，在类 函数空间中是完备的 证明：所谓类函数即以群的一个类中的不同元素为自变量时，具有相同函数值的群函数 即 证明：所谓类函数即以群的一个类中的不同元素为自变量时，具有相同函数值的群函数 即)()(,, 1− =∈∀ jljljl gggfgfGgg ?? 设群设群 G 的所有不等价不可约酉表示为的所有不等价不可约酉表示为 Ap(p=1,2,……,q)，群函数空间中任意群函数，群函数空间中任意群函数f ? 可用可用 AP 生成的群函数矢量生成的群函数矢量))(( ~ 1 i g n i i p uv p uv fgAA ∑ = =展开，即：展开，即： ∑ ∑∑∑∑∑∑ ∑ ===== === q p s vu g n i i p uv p uv q p g n i i p uv s vu p uv q p s vu p uv p uv p ii pp fgAafgAaAaf 1,111,1, )( ))(( ~ ? ，， )( )()( )( 11,111, l q p p uv s vu p uvlgi n i q p p uv s vu p uvl gAagfgAagf p i p ∑ ∑∑∑ ∑ ===== == ? 。

若若f ? 是类函数，则有：是类函数，则有：成立对任意Ggggggfgf jljljl ∈= − ,)()( 1?? 可以验证任 意类函数都可以表示为不可约表示特征标矢量的叠加 由类函数满足由类函数满足)()( 1− = jiji gggfgf ?? ，得：： 52 i p i i i g n i jij q p s vu p uv p uv n j n j n i gjij n i gjij n i gi fgggAa n fgggf n fgggf fgff ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ = − === == − = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = = = = 1 1 11,1 11 1 1 1 1 )( 1 )( 1 )( )( ? ? ?? p q p p p s u p uu p p q p s u p uu p gi n i p q p s u p uu p g n i i s p q p s u p uu p g q p s u s n i i pp uu p g q p uv s vu n i s i pp uv p gj p u n j j p v q p s i pp uv s vu n i gj p v q p s j p j p u s vu n ji p uv pp i p i pp i pp i pp i pp i pp a s a s fga s fgAa s fgAa s fgAa s fgAgA n gAa fgAgAgAa n χα αχ χ δδ λ λλ λ λλ σλ σλ λσ λσ σλ λσ σ σλ λσλ ~ ) 1 ( ~ 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )(*)( 1 )( )()()( 1 1 111 111 1111 1111 11,11, 111,1,1 1 11,1,。