MMN排队系统建模与仿真(共25页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上M/M/N 排队系统的模拟仿真摘 要 排队是在日常生活中经常遇到的事，由于顾客到达和服务时间的随机性，使得排队不可避免因此，本文建立标准的M/M/N模型，并运用Matlab软件，对M/M/N排队系统就行了仿真，从而更好地深入研究排队问题 问题一，基于顾客到达时间服从泊松分布和服务时间服从负指数分布，建立了标准的M/M/N模型运用Matlab软件编程，通过输入服务台数量、泊松分布参数以及负指数分布参数，求解出平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长等重要指标然后，分析了输入参数与输出结果之间的关系得出当服务台数增加时，几个参数都会变小的结论 问题二，为了更加清晰地反映出实际排队过程本文通过运用Matlab软件编程，制作了M/M/1排队过程的动画仿真，通过输入泊松分布参数以及负指数分布参数来模拟不同情况下的排队过程通过仿真动画，可以看到明显的等待和排队过程 问题三，为了清晰地展示程序执行的效果以及程序功能的使用方法本文特意制作了程序运行指南，并做了程序运行实例分析通过详细地介绍，使读者能更好地理解M/M/N模型以及如何使用该仿真程序。

最后，对建立的M/M/N模型做了评价，并提出了一些改进的思路同时，指出了程序实现的难点等问题关键词： M/M/N排队系统 泊松分布 负指数分布 动画模拟仿真1. 问题分析 排队论 （Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决有关排队问题而发展的一门学科它研究的内容有下列三部分： 1． 性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形 2． 最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计后者指现有排队系统的最优运营3． 排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究 其过程如下图： 本文需要解决的问题：1． 建立顾客到达时间服从泊松分布、服务时间服从负指数分布的M/M/N排队模型，并利用Matlab软件实现输入参数的键入以及输出参数的显示2． 运用Matlab软件编程制作M/M/1排队系统的动态仿真模拟动画，并拥有输入参数的键入功能3． 制作程序运行指南，并结合程序运行实例对程序功能作深入分析4． 对本文建立的标准M/M/N排队模型作评价。

2. 模型假设针对本问题，建立如下合理的假设：1． 顾客源是无穷的；2． 排队长度没有限制；3． 到达系统的顾客按先到先服务原则依次进入服务；4． 服务员在仿真过程中没有休假；5． 顾客到达时排成一队，当有服务台空闲时进入服务状态；6． 单位时间内到达的顾客数量服从泊松分布；7． 顾客所需的服务时间服从负指数分布；8． 各服务台工作是相互独立且平均服务时间相同3. 符号说明符号说明单位顾客到达时间参数人数/分顾客服务时间参数人数/分出现某种状态的概率\服务利用率\平均排队长人平均队长人平均逗留时间分钟平均等待时间分钟4. 模型准备4.1 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 4.1.1输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： 1. 顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的2. 顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的3. 顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响，否则是相关的4. 输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。

4.1.2排队规则 排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为损失制，等待制和 混合制三种 1. 损失制（消失制）当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去 2. 等待制当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直接受完服务才离去例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况 3. 混合制介于损失制和等待制之间的是混合制，即既有等待又有损失有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度以内就排队等待，超过一定限度就离去 排队方式还分为单列、多列和循环队列 4.1.3服务过程 1. 服务机构主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台同时为不同顾客服务）；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务）；混合型 2. 服务规则按为顾客服务的次序采用以下几种规则： 1) 先到先服务，这是通常的情形2) 后到先服务，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处理3) 随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后4) 优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗 4.1.4排队系统的主要指标1. 平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望。

2. 平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望3. 平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望4. 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望5. 平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望4.2输入过程与服务时间的分布排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流由于顾客到达的间隔时间和服务时间不可能是负值，因此，它的分布是非负随机变量的分布最常用的分布有泊松分布、确定型分布，指数分布和爱尔朗分布由于本文只用到了泊松分布和负指数分布，因此只对这两种分布加以说明4.2.1负指数分布指数分布是单参数的非对称分布，记作，概率密度函数为：它的数学期望为，方差为指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量，即有，在排队论、可靠性分析中有广泛应用本文将用负指数分布来产生顾客的服务时间4.2.2泊松分布泊松分布与指数分布有密切的关系当顾客平均到达率为常数的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数K 服从泊松分布，即单位时间内到达k 位顾客的概率为 记作Poisson(λ) 。

泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等领域都有广泛应用 本文将用泊松分布来产生单位时间内到达的顾客数目 4.3生灭过程在排队论中，如果表示时刻系统中的顾客数，则就构成了一个随机过程如果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，就是一类特殊的随机过程－生灭过程定义 1 设为一个随机过程若的概率分布具有以下性质： 1. 假设，则从时刻起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为的负指数分布， 2. 假设，则从时刻起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为的负指数分别，3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去则称为一个生灭过程 当系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态，即其中表示系统中一共有名顾客，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入＝流出”原理根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：有上述平衡方程，可求得因此，记则平稳状态的分布为由概率分布的要求可以得到即系统空闲状态的概率注意只有当级数收敛时才有意义5. 标准M/M/N模型5.1多服务台模型准备设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为的负指数分布，系统中共有个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。

当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限记为系统达到平稳状态后的队长N的概率分布，注意到对个数为s的多服务台系统，有 和记服务强度，，则当时，由式（3）、（4）、（5）、（6），可以得到故其中为系统空闲的概率因此，系统中有任意多个顾客的概率都可以由式（11）和式（12）得到从而，就可以计算出反映该系统性能的各种重要指标5.2多服务台模型建立5.2.1服务利用率在本文中，简单的把服务利用率定义为系统处于非空闲状态的概率因此，由公式（12），可以得到服务利用率为5.2.2平均排队长对于多服务台排队系统，由公式（11）和公式（12）可以得到系统到达平稳状态的平均排队长5.2.3平均队长对于到达平稳状态的多服务台排队系统，平均队长等于平均排队长与正在接受服务的顾客的平均数之和，即记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，则 因此，平均队长5.2.4平均等待时间对于顾客在系统中平均等待时间的建模，可以先计算顾客在系统中的逗留时间，然后再减去顾客在系统中的服务时间，这样就可以得到顾客的平均等待时间 顾客在系统中的逗留时间可以看作一个服从的负指数分布，即因此，平均逗留时间又因为顾客在系统中的逗留时间等于等待时间与接受服务的时间之和，即故平均等待时间6. 程序设计6.1动画流程图开始输入顾客到达的泊松分布参数、服务时间的负指数分布参数NO判断时间是否等于第i个人的到达时间？ YESNO是否空闲？YES进入系统接受服务NO服务完毕？YES离开NO结束？YESEND6.2 M/M/N流程图开始输入参数NO判断输入是否正确？YES代入公式计算,并显示结果NO结束？YESEND7. 程序运行实例介绍7.1动画实例讲解当运行程序时就会出现下面的窗口：如果要观看M/M/1排队系统的仿真动画，可以现在左下角输入每分钟到达人数和每分钟服务人数。

然后，点击“观看动画”按钮，就可以观看仿真动画例如，设每分钟到达人数为0.35、每分钟服务人数为0.4.程序运行一段时间后，我们可以看到如下的画面： 由上图，可以得到等待人数、总接待人数以及离开人数如果要重新设置参数，可以按左下角的“重置”键当“重置”键按下后，我们可以看到如下画面：然后，重新设置每分钟到达人数以及每分钟服务人数，并点击“观看动画”7.2M/M/N排队系统实例讲解 在窗口的“请设置参数”下方，可以设置服务台数、每分钟到达人数以及每分钟服务人数然后，点击“开始”按钮，在“模型仿真结果”下方就可以得到平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长度。