不定积分的非初等性的探究及其定积分的若干解法.docx

不定积分的非初等性的探究及其定积分的若干解法学院： 数学与应用数学 专业： 数学与应用数学 年级： 数本一班 学号： 14027032 作者姓名： 汪振兴 指导老师; 谢如龙 完成日期： 2018.3 目录 01 引言 102不定积分非初等性的探究 203原函数不能用初等函数表示的定积分的解法 63.1根据函数的奇偶性 63.2根据定积分的性质和换元公式 63.3引入参量，构造含参量积分 73.4将定积分转化为二重积分 93.5利用级数的泰勒展开 113.6根据留数定理进行围道积分 1204结论 15参考文献 16不定积分的非初等性的探究及其定积分的若干解法摘要：本文主要讨论不定积分的非初等性，并通过刘维尔定理给出部分不定积分非初等性的证明，同时给出具有此性质的定积分的若干解法关键词：不定积分； 刘维尔定理； 解题方法The non-elementary  properties of indefinite Integrals And some solutions to definite integralsABSTRACT: discuss The non-elementary properties of indefinite integrals and provide some demonstrate of it by liouville theorem.in addition .give a number of solving method of definite integral of possess these property. Key words: indefinite integrals; liouville theorem; solving method0 引言积分学在数学分析中占有很大的比重，在数学分析中，我们学习到了很多求解定积分的方法，如换元法，分部积分法等。

但此方法都是有条件的，都只能适用于被积函数的原函数是初等函数的定积分，而我们的课本中的积分问题几乎其原函数都能用初等函数表示但现实生活中还是有很多被积函数的原函数都不能用初等函数表示，即其不定积分具有非初等性，进而一部分的读者在看课本时，就会产生一个疑问，即给定一个不定积分，我们如何来判断这个不定积分是否具有非初等性，以及当我们判定了一个不定积分具有非初等性，那么对于具有此类性质的定积分又该如何求解？基于这样的一个思考，本文讨论了对于给定的一个不定积分怎么判断其是否具有非初等性并给与一些方法来求解具有此类性质的定积分来供读者参考1不定积分非初等性的探究定理 （刘维尔第三定理）：：定理 （刘维尔第四定理）：定理：我们通常用反证法来证明一个函数没有初等函数，因此在证明之前先对刘维尔第三定理的等式进行求导，在约去非零因子，从而得到等式 (1)又R（x）为有理函数，令R(x)=P(x)/Q(x)，其中R(x)和P(x)是互质多项式带入上述等式又得到等式 （2）下面我们用反证法对一些常见的不存在初等函数的不定积分进行证明：（1） 证明：对应刘维尔定理中的f(x)=1,g(x)=bx^2所以假设Q(x)中x的次数为k ()，那么必然存在一个复数a使得a是Q(x)的k重根，又由于P(x)与Q(x)互质，所以P(a)≠0，从而上式左边是a的k-1重根，但右边则大于或等于k重，从而导致矛盾，因此假设错误，即x的次数为0，令Q(x)=1得因为P(x)是多项式，所以左边x的次数比右边x的次数多2，故等式不可能成立，所以不是初等函数（2）证明：对应刘维尔定理中的f(x)=1/x,g(x)=x代入方程得假设复数a是Q(x）的k重根，当时，方程左边为复数a的k-1重根。

但方程右边复数a的k重根，故矛盾，所以只有在x=0的时候，左边的重根次数才有可能和右边相等，所以假设Q(x)=x^k H(x)，其中H(0)≠0，代入上式可得可以看出左边0重根数不大于1，右边则大于或等于2，所以假设不成立，因此Q(x)=1，所以由于P(x)为任意一多项式，但等式左边x次数大于或等于0，右边x次数为-1，所以等式不成立，所以原积分无初等原函数（3）证明：记R（x)= （3）其中p(x),q(x),r(x)和s(x)为有理多项式将（3）两边同时求导得比较等式两边系数得三者同时成立，从而的P(x),q(x)不是有理多项式，矛盾故R(x)不是初等函数这里只举出了三个例子，但是在现实生活中还有很多原函数不是初等函数的例子大多都可以用刘维尔定理来证明，值得注意的是，我们还可以通过变量替换和分部积分的方法来引出更多非初等函数的类型比如在第一个不定积分中令 n=1,2,...得 （4）在第二个不定积分中令得 （5）在第三个不定积分中取底数为e,令得 （6）（4） （5）（6）这些不定积分均为非初等的通过刘维尔定理和变量替换，分部积分方法的扩展我们发现以下不定积分都具有非初等性，有兴趣的读者可以自行推导证明。

（） 上文主要讨论了不定积分的非初等性，即存在一些函数其原函数不能用初等函数表示，在通常情况下，我们求定积分需要先求被积函数的原函数，然后在带入积分上下线的数值继而求出结果，但是对于这类函数，显然，此类方法已经不再适用，那么我们该如何求解具有此类性质的定积分了？这一类定积分求解的通用的方法还未发现，下面我主要介绍四种方法来求解具有这种性质的积分，每一种方法都有自己的适用条件，希望读者认真揣摩，采用2原函数不能用初等函数表示的定积分的解法2.1 根据函数的奇偶性对于这样的一个定积分若f(x)为奇函数，则 即若被积函数是奇函数,而且积分区域正好关于原点对称,则定积分值为0如：（1）设 则所以f(x)为奇函数故2.2 根据定积分的性质和换元公式对于某些原函数不能用初等函数表示的定积分，我们可以根据定积分的性质和换元公式，消去其中无法求出原函数的部分，最后得出这个定积分的值如：（1） 对最末第二个积分做变换，有它与第三个积分相抵消，故得2.3 引入参量，构造含参量积分对于某些定积分，我们可以引入一个未知参量，将其转化成含参量分，并且具有可微性，即函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则在上可微，且。

这时我们可以对进行求导在求积分从而得到的取值如：（1）考虑含参量积分则，且函数在满足可微性，于是（2）引入参量，而收敛，所以由M判别法知一致收敛，又和在上连续故在积分号下可导2.4将定积分转化为二重积分简而易见就是把一维积分转化为二维积分，进而通过变量替换等方法来求解这个二维积分，从而得到这个一维积分的结果如 （1）此类积分中被积函数又叫做误差函数，在求解此类积分时，大多采用此方法，当然，我们也可以通过概率论中正态分布知识，令，从而得到结果，不过，应当注意我们在用正态分布知识来求解相应定积分是也是有条件的，即他要求此类积分的被积函数为的形式，然后根据变量变换的方法将被积函数其转化成标准正态分布的概率函数，在通过查询标准正态分布函数表从而求得该定积分的准确取值而我们根据的原理就是，其中为标准正态分布的被积函数比如求下面我们把积分区间从改成（0,1），再来求一下此积分（2）2.5利用级数的泰勒展开此方法通常需要将被积函数作泰勒展开或洛朗展开，每项积分完了再求和回去在采用级数的方法时，要求原函数必须在定义域内的展开都是收敛的，并且积分完后的级数也是收敛的1）（2）（3）我们知道的收敛域为x>0，倘若我们把积分区域改成（-1.3），此方法也就不再适用了.所以读者一定要注意用级数的泰勒展开求定积分时一定要注意他的条件，即原函数必须在定义域内的展开都是收敛的，并且积分完后的级数也是收敛的。

2.6 根据留数定理进行围道积分上述的几种方法都是采用数学分析中的知识来进行解决的，而此类方法则是根据复变函数中留数定理等相关知识来解决的当然，此类方法对于解决原函数能用初等函数表示的一些复杂积分也是十分有效的下面我们先引入相关的定义和定理定义：设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心领域内解析，则称积分为在点的留数，记为定理（柯西积分定理）：设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则定理（柯西留数定理）：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外解析,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分定理6.1：设a为的n阶极点，,其中在点a解析，且，则这里符号代表，且有设是一个实函数，那么对于沿x轴上的一条有限线段的积分，我们补充一条或几条辅助曲线，使得和一起构成一条周线,围成一个区域,如果存在一辅助函数，在区域内解析，在上连续，那么在内或的实部或虚部中的一个就等于，从而由留数定理就有 （6.1）其中表示在内奇点的留数总和，也就是说，如果我们能够求出上述中的第二个积分，即，则的计算问题也就解决了。

当然，如果这里的a和b不是有限数，则可以对（6.1）左右两端取极限即可以上就是我们用留数定理来解决此类或者一些复杂的原函数能用初等函数表示的定积分的解题思路下面我们通过一个例子让读者深入的了解此类方法1）在前面的内容中我们用了泰勒展开和引入参量两种方法求解，现在我们在用一种新的方法，即复变函数的围道积分法在解出这个定积分考虑函数沿如图6.1所示之闭曲线路径C的积分，由柯西积分定理得即 （6.11）其中这里的和分别表示半圆周和又在（6.11）中，令并取极限得所以 6.1 结论 在本篇文章中，我们在第一部分讨论了不定积分的非初等性，即在给定的一个不定积分中，我们怎么去判断它的原函数是否能用初等函数表示而我们定理的依据就是刘维尔定理，此定理的证明方法较为复杂，且涉及很多数学定理，本文只是加以引入，并没有给出详细的证明，如果读者感兴趣的话，可以阅读相关的文献还有读者应当了解原函数不能用初等函数表示的不定积分还有很多，而在本文并没有给出全部的类型，只是列举了几种常见的具有此类性质的不定积分，如三角积分类型，高斯积分类型，菲涅尔积分类型，指数和对数积分类型等，当然，每一个类型的不定积分又包含很多原函数不能用初等函数表示的不定。