fredholm,离散积分方程_高等教育-微积分.pdf

1 第一类 Fredholm 积分方程，具有形式如下： baxfdssysxk)()(),(,bxa (1) 其中核函数),(sxK和自由项)(xf为已知函数，)(sy是未知函数此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍 2 第二类 Fredholm 积分方程，具有如下的形式： baxfdssysxkxy)()(),()(,bxa (2) 离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散 一、复化梯形公式离散过程如下： )]()(2)([2)(1bfxfafhdxxfnkkba 下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程 ],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(21100211111100112110baxgfxkabhsysxksysxksysxksysxkhfxkabhsysxksysxkhsysxksysxkhsysxksysxkhdssysxkdssysxkdssysxkdssysxkdssysxknniinnnniiiissssssssbannii－ 最后对变量x进行离散， 将区间],[ba等分为n份， 步长为nabh，同时忽略积分公式误差项： )](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100nniiiiiiiisysxksysxksysxksysxkhxyxg 其中ni, 2 , 1 , 0 得到线性方程组nngAf  其中)](),(),(),([210nnsysysysyf，)](,),(),(),([210nnxgxgxgxgg ),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000nnnnnnyxhkyxhkyxkhyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkA 再对上述方程进行数值求解，即可。

例： 求解积分方程10223) 1( 85254)()11()(xxxxdssyxsxy， 其解析解为2)1 ()(xxy 代码如下： function K=K(x,y) K = 1/(1+y) - x; function w1=fun1(x) w1=1./((1+x).*(1+x)); function f=f(x) f = (4*x.*x.*x + 5*x.*x - 2*x + 5)./(8*(x+1).*(x+1)); function w5=fww(a,b,n)% 第一类fredholm 方程解的程序 %w5=[w1,w2,w3,w4], 各列分别表示真解、数值解、最小二乘解、正则解 %a,b表示积分区间[a,b] %n 表示将区间n等分 %m 表示正则参数的取值 h=(b-a)/n; x=a:h:b; y=a:h:b; A=zeros(n+1,n+1);% 初始化矩阵A为n+1阶零矩阵 g=zeros(n+1,1);% 初始化列向量g为n+1维零向量 w1=zeros(n+1,1);% 初始化列向量w1为n+1维零向量 for i=1:n+1 for j=1:n+1 A(i,j)=K(x(i),y(j)); end 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由 g(i)=f(x(i)); w1(i)=(fun1(x(i)));% 计算方程的真解 end A(:,1)=A(:,1)/2; A(:,n+1)=A(:,n+1)/2; A=h*A; A=eye(n+1,n+1)-A; w2=A\g; % 得到的数值解 aa=norm(w1-w2)/norm(w1); % 相对误差 bb=norm(w1-w2); % 绝对误差 cc=[w1 w2]; plot(x,w1,'b+' ) % 真解 hold on plot(x,w2,'r*' ) % 数值解 %axis([0 1 -100 100]);%设置坐标轴 title(' 数值解与真解的比较' ); % 加图形标题 xlabel(' 变量y' ); % 加x轴说明 ylabel('y 对应的解' ); % 加y轴说明 运行结果： >> fww(0,1,50) aa = 0.000178436779942824 % 相对误差 bb = 0.000693865370887685 % 绝对误差 00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2数 值 解 与 真 解 的 比 较变 量 yy对应的解 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由二、辛普森公式离散过程如下： )]()2(4)([6)(bfbafafhdxxfba 下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。

由于辛普森公式中取到中点的值，所以我们在区间],[ba上取12 n个点 ],[)()(2880)()](),()(),(4)(),(2)(),(4)(),([6)(2880)()](),()2()2,(4)(),([6)](),()2()2,(4)(),([6)](),()2()2,(4)(),([6)(),()(),()(),()(),()4(4221212221100)4(41111222121211110100012110baxgfhabsysxksysxksysxksysxksysxkhfhabsysxkssyssxksysxkhsysxkssyssxksysxkhsysxkssyssxksysxkhdssysxkdssysxkdssysxkdssysxknnnnkkkkkkkkssssssbakk 最后对变量x进行离散，将区间],[ba等分为n2份，步长为nabh2，同时忽略积分公式误差项： )](),()(),(4)(),(2)(),(4)(),([6)()(221212221100nninniiiiiisysxksysxksysxksysxksysxkhxyxg 其中ni2 ,, 2 , 1 , 0 得到线性方程组nngAf22 其中)](,),(),(),([22102nnsysysysyf，)](,),(),(),([22102nnxgxgxgxgg 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由),(611),(31),(32),(61),(61),(31),(321),(61),(61),(31),(32),(611),(),(2),(4),(),(),(2),(4),(),(),(2),(4),(6222212022121110120201000222212022121110120201000nnnnnnnnnnnnnnyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxhkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkyxkhIA 再对上述方程进行数值求解，即可。

例：求解积分方程10223) 1( 85254)()11()(xxxxdssyxsxy，其解析解为2)1 ()(xxy 代码如下： function v = knl(x,t) v = 1/(1+t) - x; function f = fnc(x) f = (4*x.*x.*x + 5*x.*x - 2*x + 5)./(8*(x+1).*(x+1)); function y = inteqn(t, kernel, fun, coef) % % Inputs % t evaluation points of the quadrature rule % kernel kernel function K % fun function f % coef quadrature rule coefficients % Output % y discrete solution values at t n = length(t); f = feval(fun, t); % for j=1:n for i = 1:n K(j,i) = feval(kernel, t(j), t(i)); end end % A = eye(n) - K*diag(coef); for j=1:n 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由A(:,j) = -coef(j)*K(:,j); A(j,j) = 1.0 + A(j,j); end y = A\f; k = input('Enter number of pannels: '); x = linspace(0,1,k+1); x = x'; % evenly spaced knots % Note: this x can be replaced by any partition of [0,1] y = zeros(length(x),1); % discrete approximation at x % use Simpson ’ s n = 2*k + 1; % number of points in Simpson’ s rule coef = zeros(n,1); % coeficients in Simpson’ t rule t = zeros(n,1); % points in Simpson’ s rule % generate Simpson’ s rule coefficients and evaluation points for i=1:k coef(2*i-1:2*i+1) = coef(2*i-1:2*i+1) + [1; 4; 1]; t(2*i-1) = x(i); t(2*i) = (x(i) + x(i+1))/2; end t(n) = x(k+1); coef = coef/(6*k); % solve the integral equation yt = inteqn(t, @knl, @fnc, coef); % discrete approximation to y(x) at the partition x y = yt(1:2:n); % check results yexact = 1./((1+x).*(1+x)); aa=norm(y-yexact)/norm(y) % 相对误差 aa=norm(y - yexact) % 绝对误差 cc=[y yexact] plot(x,y,'b+' ) % 真解 hold on plot(x,yexact,'r*' ) % 数值解 %axis([0 1 -100 100]);%设置坐标轴 title(' 数值解与真解的比较' ); % 加图形标题 xlabel(' 变量y' ); % 加x轴说明 ylabel('y 对应的解' ); % 加y轴说明 运行结果： Enter number of pannels: 50 aa = 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由 6.9309212581323e-009 aa = 2.69514294309828e-008 00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2数 值 解 与 真 解 的 比 较变 量 yy对应的解 三、高斯－勒让德离散过程如下： 关于定积分11 -)()(dxxfx，如果1)(],1 , 1[],[xba，则关于权函数1)(x正交多项式就是 nnmnndxxdnxL) 1(!21)(2 这时 Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点， 相应的Gauss 型积分公式为 nkkkxfAdxxf111 -)()( 下面给出高斯公式对第二类积分方程的一般离散过程。

比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由在] 1 , 1-[上 Fredholm 的积分公式为： )()(),()(),(111 -xgsysxkAdssysxknjjjj 第二类 Fredholm 积分方程可以化为： njjjijiisysxkAxyxg1)(),()()( 即)()()()()()(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(12121221122221211212111nnnnnnnnnnnxgxgxgsysysysxkAsxkAsxkAsxkAsxkAsxkAsxkAsxkAsxkA 高斯－勒让德型积分公式的积分区间为] 1 , 1[， 而对于一般的区间],[ba上的积分dxxfba)(需要作变量替换tababx22得到 11)22(2)(dttababfabdxxfba 例：求积分方程)1arctan()1arctan()()(111)(112sxdssfsxxy 其解析解1)(xy function [x,w] = gauss(N) beta = .5./sqrt(1-(2*(1:N-1)).^(-2)); T = diag(beta,1) + diag(beta,-1); [V,D] = eig(T); x = diag(D) ; [x,i] = sort(x); w = 2*V(1,i).^2; N=input( 'N=?' ) ker='(1/pi)*(1+(ss-tt).^2).^(-1)'; [s,w]=gauss(N);t=s; [ss,tt]=meshgrid(s,t) ss=ss';tt=tt'; K=eval(ker) W=diag(w); A=eye(N)+K*W; g=1+(1/pi)*(atan(1-s)+atan(1+s)); ww=cond(K*W) 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由u=A\g % 数值解 plot(s,u); 运行结果： N=?5 N = 5 u = 0.999983504291541 1.00004348065192 0.999891437587449 1.00004348065192 0.999983504291541 四、克伦肖－柯蒂斯（Clenshaw-curtis）离散过程如下： 五、高斯－罗巴托（Gauss-Lobatto）离散： Gauss-Lobatto求积公式的表达式如下： ][)()]1() 1 ([) 1(2)(1211 -fRxfAffnndxxfnnjjj Gauss-Lobatto求积公式的系数和余项分别为： 2)]()[1(2jnjxPnnA ) 1 , 1(, )(])!2)[(12(])!1[(2) 1(][)2(34123nnnfnnnnnfR 其中，jx为)(xPn的零点；)(xPn为n次Legendre(勒让德)多项式 六、伽辽金（Galerkin ）法离散： 设)(xi为],[2baL空间内的一个完备正交系，],[)(2baLxk， 则当N比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由充分大时，有 )()(0xkxiniiN 其中)(xN为)(x的逼近函数。

将上式带入baxgdssysxkxy)()(),()(得 bainiiiniixgdsssxkkxk)()(),()(00 两边分别对)(xj求内积，得 ))(),(())(, )(),()((0xxgxssxkxkjjbaibainii 即： dxxxgkdsdxxssxkdxxxbajniibababajiji )()(])()(),()()([0 得：nnijbbbbkkkka210210 其中ija bababajijidsdxxssxkdxxx)()(),()()( dxxxgbbajj)()( 例：求解第二类积分方程10, )(21)()(03xxxyxxeedssyexy， 其解析解为xexy)( 代码如下： function w=obj(x,y) w=exp(-x-y); function w=obj1(x) w=(exp(-x)+exp(-3*x))/2; function w1=phi_xk(x,k) if k==0 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由 w1=ones(size(x)); elseif k==1 w1=x; elseif k==2 w1=2*x.^2-1; elseif k==3 w1=4*x.^3-3*x; elseif k==4 w1=8*x.^4-8*x.^2+1; elseif k==5 w1=16*x.^5-20*x.^3+5*x; elseif k==6 w1=32*x.^6-48*x.^4+18*x.^2-1; elseif k==7 w1=64*x.^7-112*x.^5+56*x.^3-7*x; elseif k==8 w1=128*x.^8-256*x.^6+160*x.^4-32*x.^2+1; elseif k==9 w1=256*x.^9-576*x.^7+432*x.^5-120*x.^3+9*x; elseif k==10 w1=512*x.^10-1280*x.^8+1120*x.^6-400*x.^4+50*x.^2-1; elseif k==11 w1=1024*x.^11-2816*x.^9+2816*x.^7-1232*x.^5+220*x.^3-11*x; else w1=2048*x.^12-6144*x.^10+6912*x.^8-3584*x.^6+840*x.^4-72*x.^2+1; end function w2=phi_yk(y,k) if k==0 w2=ones(size(y)); elseif k==1 w2=y; elseif k==2 w2=2*y.^2-1; elseif k==3 w2=4*y.^3-3*y; elseif k==4 w2=8*y.^4-8*y.^2+1; elseif k==5 w2=16*y.^5-20*y.^3+5*y; elseif k==6 w2=32*y.^6-48*y.^4+18*y.^2-1; elseif k==7 w2=64*y.^7-112*y.^5+56*y.^3-7*y; elseif k==8 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由 w2=128*y.^8-256*y.^6+160*y.^4-32*y.^2+1; elseif k==9 w2=256*y.^9-576*y.^7+432*y.^5-120*y.^3+9*y; elseif k==10 w2=512*y.^10-1280*y.^8+1120*y.^6-400*y.^4+50*y.^2-1; elseif k==11 w2=1024*y.^11-2816*y.^9+2816*y.^7-1232*y.^5+220*y.^3-11*y; else w2=2048*y.^12-6144*y.^10+6912*y.^8-3584*y.^6+840*y.^4-72*y.^2+1; end function y=fun_phi1(x) % global i; global j; y=phi_xk(x,i).*phi_xk(x,j); function w=rho_phi(x,y) global i; global j; w=obj(x,y).*phi_xk(x,i).*phi_yk(y,j); function y=fun_phi(x) % global i; y=phi_xk(x,i).*obj1(x); function S=squar_approx(a,b,n) global i; global j; if nargin<3 n=1;end Phi2=zeros(n+1); for i=0:n for j=0:n; Phi2(i+1,j+1)=quad(@fun_phi1,a,b)-quad2d(@rho_phi,a,b,a,@(x)x); end end PhiF=zeros(n+1,1); for i=0:n PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); end S=Phi2\PhiF; S=squar_approx(0,1,5); w=S'; [m,l]=size(w); x = linspace(0, 1, 5); U = 0*x; for j = 1:length(x) for k = 1:l U(j) = U(j) + w(k)*phi_xk(x(j),k-1); end end 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由f1=exp(-x); aa=norm(U-f1)/norm(f1) fun='exp(-x)'; fplot(fun,[0,1]) hold on plot(x,U,'o:') title(' 真解与解析解的比较' ); xlabel(' 变量x' ); ylabel(' 变量x对应的值' ); legend( ' 真解' , ' 数值解' ); cc=[U' f1' U'-f1'] 运行结果： aa = 0.000725420168197738 cc = 1.00150127904464 1 0.00150127904463737 0.948740270169073 0.948729480016437 1.07901526354981e-005 0.899561419195927 0.900087626252259 -0.000526207056332328 0.853426000335993 0.853939665623535 -0.000513665287542486 0.809908936106422 0.810157734932427 -0.00024879882600426 0.768684772899146 0.768620526593736 6.42463054101317e-005 0.729513656549289 0.729212952525235 0.000300704024054244 0.692227307903594 0.691825825270517 0.000401482633076378 0.656714998388834 0.65635555547084 0.000359442917993613 0.622909525580238 0.62270386484775 0.000205660732487511 0.590773188769904 0.590777513901232 -4.32513132808676e-006 0.56028376453522 0.560488043568919 -0.000204279033698573 0.531420482307286 0.531751530130571 -0.000331047823284636 0.504149999939325 0.504488352678721 -0.000338352739395975 0.478412379275109 0.478622972511232 -0.000210593236122825 0.454107061717375 0.454083723834503 2.33378828718434e-005 0.431078843796241 0.430802615197435 0.000276228598805994 0.409103852737631 0.408715141105984 0.000388711631647443 0.387875522031689 0.387760103296325 0.000115418735364359 0.366990567001198 0.367879441171442 -0.000888874170244303 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.911.1真 解 与 解 析 解 的 比 较变 量 x变量x对应的值 真 解数 值 解 比较困难所以这类方程在下文将做详细介绍第二类积分方程具有如下的形式离散积分方程的数值方法有很多种比如可以用复化梯形公式复化辛普森公式等这里我们利用复化梯形公式来进行离散一复化梯形公式离散过程如下下面具体式误差项其中得到线性方程组其中再对上述方程进行数值求解即可例求解积分方程其解析解为代码如下第一类方程解的程序各列分别表示真解数值解最小二乘解正则解表示积分区间表示将区间等分表示正则参数的取值初始化矩阵为解设置坐标轴数值解与真解的比较加图形标题变量加轴说明对应的解加轴说明真解运行结果相对误差绝对误差数值解与真解的比较解的应对变量二辛普森公式离散过程如下下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程由。